垂直于弦的定理

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境24.1.2垂直于弦的定理黄柏初中黄哪活动一

沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

实验发现如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

·OABCDE活动二探索（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴请同学按下面要求完成下题（2）线段：

AE=BE通过上面的问题我们就能得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．AC=BC,︵︵弧：︵︵AD=BD已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为E。.求证：AE=BE，活动三验证·CDABEO分析：要证AE=BE，只要证AE、BE构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB

。证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAE和Rt△OBE中

∴AE=BE

∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，

∴Rt△OAE≌Rt△OBEOA=OB,OE=OE︵︵AD=BDAC=BC,︵︵

∴AC=BC,︵︵︵︵AD=BD与重合，AC︵BC︵与重合．重合．︵AD︵BD垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．并且平分弦所对的两条弧。ＤＣＡＢEＯ几何语言表达垂径定理：推论：∵CD过圆心，AB⊥CD∴AE=___,___=___,___=___∵CD过圆心，AE=___BEBE∴AB⊥___,___=___,___=___BEＤＣＡＢEＯAC︵︵AD︵BDAC︵BC︵BC︵︵AD︵BD1、在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧O活动四例题讲解解得：R≈27．9（m）BODACR2、解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.2AB=37.4，CD=7.2，在图中解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．AB︵AB︵AB︵1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．分析：连OA.巩固练习2、小红、小明在一起做作业，老师布置的一道思考题引起了他们的兴趣：“在半径为10cm的圆中，弦AB为12cm，弦CD为16cm，且AB∥CD，求AB与CD之间距离”，小红得到的结果是“两平行弦之间的距离为14cm”，小明得到的结果是“两平行弦之间的距离为2cm”，你认为他们俩谁对？为什么？说明理由。分析：都不正确，他们均只说了一种情况。本题分两种情况讨论（如下图所示）。ABCDEFABCDEF连OA、OB运用勾股定理、垂径定理就可求出OE、OF的长。(1)AB、CD在圆心O的两侧，过点O坐OE⊥AB于E,由AB∥CD得OF⊥CD,则AB与CD之间距离EF=OE+OF(2)AB、CD在圆心O的同侧，过点O坐OE⊥AB于E,由AB∥CD得OF⊥CD,则AB与CD之间距离EF=OE-OF在RtOAE中，由垂径定理得AE=AB=6由勾股定理得OE==8同理可求：OF=6小结:1、垂径定理及其应用。2、将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。