第十讲导数与函数的极值、最值解析版

第十讲：导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．(2)极大值点与极大值若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．特别提醒：（1），不一定是极值点（2）只有且两侧单调性不同，才是极值点.(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程的根（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况若左正右负，则为极大值；若左负右正，则为极小值；若左右同号，则无极值。3.最大值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有;（2）存在，使得那么，称是函数的最大值4.最小值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有;（2）存在，使得那么，称是函数的最小值【典型题型讲解】考点一：求函数的极值与极值点【典例例题】例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数，.（1）求函数的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.【详解】（1）的定义域为，且，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，故的极大值为，没有极小值.（2）设直线分别切，的图象于点，，由可得，得的方程为，即：；由可得，得的方程，即：.比较的方程，得，消去，得.令（），则.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以在上有一个零点；由，得，所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.例2.已知函数……自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：（ii）证明：【答案】(1)，构建当时，则在上单调递减，且当时，，当时，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)（i）由（1）可知：当时，在上单调递减∴在内存在唯一的零点当时，，当时，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为∴存在唯一的极值点（ii）由（i）可知：∵，即，且∵在单调递减则构建，则当时恒成立则在上单调递增，则则，即∴【方法技巧与总结】1．在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知函数（且为常数）.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)解：函数的定义域为，则.令，则，由，可得，列表如下：减极小值增所以，.①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，此时函数在上单调递增，则函数无极值点；②当时，令，则，由，可得，列表如下：减极小值增且当时，；当时，.作出函数与函数的图象如下图所示：（i）当时，直线与函数的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，当或时，；当时，.此时，函数有个极值点；（ii）当时，由图可知，直线与函数的图象有一个交点，设其横坐标为，且，当时，；当时，.此时函数只有个极值点.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数有个极值点；当时，函数只有个极值点.(2)解：不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，令，其中，则，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，因为，，故存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，因为，则，因为，则，因为函数在上单调递增，由可得，故，可得，所以，，故.2.函数．(1)求函数在上的极值；(2)证明：有两个零点．【答案】(1)极大值，；极小值，；(1)∵，∴，，由，可得，或，∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；(2)∵，∴，∴，当时，单调递增，即单调递增，又，故存在，，所以单调递减，单调递增，∴时，函数，，，故时，有两个零点，当时，，对于函数，则，又，∴，，即，此时函数没有零点，当时，，由上可知，故当时，函数没有零点，综上，函数有两个零点．【典型题型讲解】考点二：根据极值、极值点求参数【典例例题】例1．（2022·广东广东·一模）已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．【详解】（1）因为，所以，因为在处取极大值，所以，所以，所以当时，，+单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以在处取极大值，符合题意；（2）当时，，．又因为对，不等式，所以时，，所以时，，令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，当时，，所以在上单调递增，且，所以当时，，这与题意不符；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以，记，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又因为，即，所以.【方法技巧与总结】极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。【变式训练】1.已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数在上无极值在上无变号零点，故选D.2.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵有两个不同的极值点，∴在有2个不同的零点，∴在有2个不同的零点，∴，解得．故选：D.3.函数在上无极值，则m＝______．【答案】3【详解】函数在上无极值即导函数在上无根．在上恒有①；而，当时，①式解为或；显然时，①式不成立；当时，①式解为或；显然时，①式不成立；当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．故答案为：3．4.已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【答案】(1)解：当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.【典型题型讲解】考点三：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】例1．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)极小值是，无极大值.(2)(1)当时，，的定义域为，，则.令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值且为，无极大值.(2)对任意的恒成立，则对任意的恒成立，令，，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则.实数a的取值范围为：.【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【变式训练】1.已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)定义域为，即解得所以在单调递增(2)对任意，不等式恒成立，即恒成立，分离参数得.令，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，即，故a的取值范围是.2．（2021·广东佛山·一模）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．(1)求函数的表达式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】．(1)(2)(1)由可得，则，2是方程的两根，所以，（*）因为又因为处的切线方程为故，代入（*）式解得，故(2)由（1）知：，①当时，即恒成立，此时，②当时，由即，分离参数可得：，设，则，，故在上单调递减，上单调递减，上单调递增，故当时，在上单调递减，上单调递增，所以的最小值为，所以，③当时，由分离参数可得设，则，由②过程知在上单调递减，故，所以，综上所述：的取值范围为.3．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)(1)的定义域为，，设，则，，所以在上为增函数，所以当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上为减函数.综上可得，的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)对，使恒成立，即对，成立.由（1）知在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以，为和中的较大者，∵，，，又∵，得.∴，即.∴在[0，2]上∴，即，解之，得或，∴对，使恒成立时，a的取值范围为.4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数，其中且.(1)设，过点作曲线的切线（斜率存在），求切线的斜率；(2)证明：当或时，.(1)，，而，即点不在曲线C上，设切点，则切线AT的斜率为，又，于是得，即，整理得：，即，有，而，因此，，，所以切线的斜率为.(2)当时，，，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，因此当时，，当且仅当时取“=”，则，于是得当且时，.当时，，，令，，由得，则，即在上单调递增，又，即当时，，于是得当，时，，而，因此，，从而得当，时，所以当或时，.【巩固练习】一、单选题1．已知是函数的一个极值点，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】，∴，∴，∴故选：D2．已知，函数的极小值为，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．故选：C3．设，若为函数的极小值点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，若，是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，必有，即，若，是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，必有，即；故选：C.4．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，函数，可得，若时，当时，可得，在上单调递减，此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点，画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是.故选：A.5．已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】解：，，，，，，令，则或，当或时，，即函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减；所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，故函数在区间上的最大值为，故选：A．6．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由函数，可得，且在区间上存在最小值，即在区间上存在，使得且，，设，即满足，且，可得，解得，即实数的取值范围是.故选：D.二、多选题7．已知．则下列说法正确的有（

）A．函数有唯一零点B．函数的单调递减区间为C．函数有极大值D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是【答案】ACD【详解】由得：，即，故函数有唯一零点由题可知：设，，则，由得：；由得；；故在上单调递增﹐在上单调递减，作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错，函数在时有极大值，C对，方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，故选：ACD.8．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点【答案】BD【详解】对A.是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；对B.相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；对C.相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；对D.相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.故选：BD.9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A． B．在上单调递增C．为的极小值点 D．仅有两个零点【答案】ABC【详解】由题意，函数的定义域为，因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，故选项A正确；由，得，所以，当时，，此时，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；又由的图象关于直线对称，所以在上单调递减，所以为的极小值点，故选项C正确；由在上单调递增，且的图象关于直线对称，所以，所以没有零点，故选项D不正确．故选：ABC.三、解答题10．已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．【答案】(1)【解析】(1)解：∵，∴，∵函数在上有两个极值点，且∴由题意知方程在上有两不等实根，设，其图像的对称轴为直线，故有，解得所以，实数a的取值范围是.(2)证明：由题意知是方程的较大的根，故，由于，∴，∴．设，，，∴在单调递增，∴，即成立．∴不等式成立,证毕.11．设函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.【答案】(1)1(2)(1)定义域为R，.由题设知,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1(2)由(1)得.若时,则当时,;当时,，所以在上单减，在上单增，所以在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；若时,则恒成立，所以在R上单增，所以在x=2处不能取得极值，不合题意，舍去；若时,则当时,;当时,，所以在上单增，在上单减，所以在x=2处取得极大值，符合题意；若时,则当时,;当时,，所以在上单增，在上单减，所以在x=2处取得极大值，符合题意；若时,则当时,;当时,，所以在上单减，在上单增，所以在x=2处取得极大值，符合题意.综上所述：.即实数a的范围为.12．已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)(1)当时，，故，故在点处的切线方程为，化简得．(2)由题意知有且只有一个根且有正有负．构建，则①当时，当时恒成立，在上单调递增，因为，所以有一个零点，即为的一个极值点；②当时，当时恒成立，即无极值点；③当时，当；当，所以在单调递减，在上单调递增，故，若，则即.当时，，当时，,设，故，故在上为增函数，故，故，故当时，有两个零点，此时有两个极值点．当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：．(3)由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．当时，，故，所以的最小值为e；当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；当时，由（2）得只有一个零点，即且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，因，所以代入得，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，所以的最小值为．13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数，.（1）若的最大值是0，求函数的图象在处的切线方程；（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围.【答案】．（1）；（2）.【详解】（1）的定义域，，若，，在定义域内单调递增，无最大值；若，，，单调递增；，，单调递减；所以时取得最大值，所以.，.函数的图象在处的切线方程.（2）原式子恒成立，即在恒成立，设，，设，，所以在其定义域内单调递增，且，，所以有唯一零点，而且，所以，两边同时取对数得，易证明函数是增函数，所以得，所以，所以由在上单调递减，在上单调递增，所以，于是的取值范围是.14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数，在定义域上有两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)求证:【答案】(1)解：，因为函数的定义域上有两个极值点，，且，所以方程在上有两个根，，且，即在上有两个不相等的根，，所以，解得，当时，若或，，，所以函数在和，上单调递增，若，所以函数在，上单调递减，故函数在上有两个极值点，，且，所以，实数的取值范围是；(2)证明：由（1）知，，是方程在上有两个不等的实根，所以，其中，故，令，其中，故（a），令，所以函数（a）在上单调递增，由于，（1），所以存在常数，，使得，即，，且当时，，所以函数（a）在上单调递减，当时，，所以函数（a）在上单调递增，所以当时，，又，，所以（a），即（a），所以．15．（2022·广东东莞·高三期末）已知且，函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】解：当时，，则，故，时，，故切点为，所以在处的切线方程为，即.(2)函数有两个零点，方程在上有两个根，方程在上有两个根，函数与的图象在上有两个交点，设，则，时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，由，，当时，，当时，，作图如下：由图得，即，设，则，时，，时，；所以在上单调递减，在上单调递增，因为时，且，所以当时，；当时，，又因为，所以的解集为综上所述.16．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在上的函数．(1)求的单调递增区间；(2)对于，若不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)解：，

①当时，，所以，在上单调递减，即无单调递增区间；②当时，令，则，所以，在上单调递增，令，解得，当时，；当时，，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，的单调递增区间为，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，无单调递增区间.(2)解：由（1）可知，当时，有最小值，且最小值为，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故，即