第04讲基本不等式（原卷版）

第04讲基本不等式1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值应注意：一正二定三相等.(1)a，b是正数；(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．一．由基本不等式比较大小例1．（1）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A． B． C． D．（2）设(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（

）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P（3）设，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【复习指导】：比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.二．利用基本不等式求最值命题点1配凑法例2．（1）当x>1时，求2x＋eq\f(8,x－1)的最小值；（2）已知，求的最小值.（3）已知，求函数的最大值．（4）已知函数f(x)＝eq\f(－x2,x＋1)(x<－1)，则()A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4命题点2常数代换法例3．（1）若正数m，n满足2m＋n＝1，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．3＋2eq\r(2) B．3＋eq\r(2)C．2＋2eq\r(2) D．3（2）已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．（3）已知非负实数，满足，则的最小值为______________.命题点3消元法例4．（1）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．（2）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，求xy的最大值．（3）若实数x，y满足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值为________．【复习指导】：(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．命题点4建立求解目标不等式求最值例5．（1）已知a>0，b>0，且a＋b＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝5，则a＋b的取值范围是()A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2C．1<a＋b<4 D．a＋b>4（2）正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.（3）正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．【复习指导】：利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．三．基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6．（1）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．（2）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6（3）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．（4）（多选）设正项等差数列满足，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为命题点2求参数值或取值范围例7．（1）对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D.eq\f(9,2)（2）若△ABC的内角满足3sinA＝sinB＋sinC，则cosA的最小值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(7,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(5,9)（3）若使得不等式成立，则实数a的取值范围（

）A． B． C． D．（4）已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【复习指导】：(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．1．已知，.设，，，则（

）A． B．C． D．2．已知，则x､y､z的大小关系为（

）A． B． C． D．3．下列不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．4．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．65．设实数满足，函数的最小值为（

）A． B． C． D．66．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（

）A． B．5 C． D．7．在中，，，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．函数的值域为（

）A． B．C． D．9．若正实数，满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．已知，则不可能满足的关系是（）A． B． C． D．11．下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．12．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．13．已知实数,，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件14．在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（）A．9B．10C．11D．1215．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．816．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或17．已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．} C． D．18．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（

）A． B． C． D．19．设是与的等差中项，则的最小值为（

）A． B．3 C．9 D．20．过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．421．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．60．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．22．（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．23．（多选）已知，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为9C．的最小值为 D．的最大值为224．（多选）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．25．（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．26．（多选）已知，则a，b满足下列关系的是（

）A． B． C． D．27．已知则当a的值为________时取得最大值.28．已知，，且，则的最大值为____________．29．已知为正实数，则的最小值为__________．30．函数的值域是_______．31．已知非负实数，满足，则的最小值为______________.32．已知ab＞0，a+b＝3，则的最小值为_____．33．设，则的最小值为______.34．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是______.35．已知a，b都是正数，且，则ab的最大值是________，的最小值是________.36．已知，且，则的最小值为_____________.37．已知，，且，则最小值为__________．38．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．39．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.40．在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.41．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．42．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.43．解答下列各题．（1）若，求的最小值．（2）若正数，满足，求的最小值．（3）若正数，满足，求的取值范围．44．（1）已知，求的最小