中考数学复习满分突破（全国通用）：专题17 直角三角形翻折模型（解析版）

专题17直角三角形翻折模型已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5模型一：沿过点A的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，折痕为AD，求线段AD，DC，B’C长度。解法一（勾股定理思路）：由已知条件可知，AB=AB’，BD=B’D∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2设BD=x，则B’D=x，DC=4-x在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+B’C2=DC2即x2+22=（4-x）2解得x=1.5∴B’D=1.5,DC=2.5同理AD=3解法二（相似三角形思路）：由已知条件易证△ABC∽△DB’C则ABBC=DB’B'C则B’D=1.5【模型变形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD为∠BAC的角平分线，求DC长解法（思路）：过点D作DE⊥AC，垂足为点E则△ABD≌△AED(AAS)(证明过程略)∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE剩余步骤参照模型一解法一模型二：沿过点C的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，折痕为CD，求线段AD，DC，AB’长度。解法一（勾股定理思路）：由已知条件可知，BD=B’D，BC=B’C∵∠ABC=90°，BC=4，AC=5∴∠CB’D=90°，B’C=4，AB’=1设BD=x，则B’D=x，AD=3-x在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+AB’2=AD2即x2+12=（3-x）2解得x=4∴B’D=43,AD=在Rt△DCB’中，由勾股定理可Q求得CD长解法二（相似三角形思路）：由已知条件易证△ABC∽△AB’D则ABBC=AB’B'D则B’D=43模型三：沿MN翻折使得点A与点C重合，求线段AN，BM，MN长度。解法一（勾股定理思路）:设BM=x，则MC=AM=4-x，在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+AB2=AM2即x2+32=（4-x）2解得x=7则MC=25在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN=MC2−解法二（相似三角形思路）：由已知条件易证△ABC∽△MNC则ABBC=MNNC,BCAC=NCMC则MN=15模型四:沿斜边中线BE翻折，使得点A落在点F处，连接AF、FC，AF与BE交于点O，求线段AF，FC的长解法(思路)：过点E作DE⊥AB，交AB边于点D由翻折的性质可知，AE=EF,AF⊥BE∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△ABE=12S△A∴S△ABE=12AO•BE=3解得AO=125则AF=24∵∠FEC=2∠EFA,∠EFC=∠ECF在△EFC中根据三角形内角和定理可得∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°∴∠EFA+∠EFC=90°在Rt△AFC中根据勾股定理可知FC=AC2−AF模型五:沿斜边中线BE翻折，使得点C落在点D处，连接AD、CD求线段AD，CD的长解法(思路)：延长BE，交DC边于点F由翻折的性质可知，DE=EC,BF⊥CD∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△BEC=12S△ABC=3∴S△BEC=12FC•BE=3解得FC=125则DC=24∵∠DEA=2∠EDC,∠EAD=∠EDA在△ADE中根据三角形内角和定理可得∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°∴∠EDA+∠EDC=90°在Rt△ADC中根据勾股定理可知AD=AC2−DC模型六：线段AC上有一点D，沿直线BD翻折，使点A落在BC边上点E处，求AD，DC，BD解法(思路)：过点D作DM⊥BC,DN⊥AB，分别与BC、AB交于点M，点N由翻折的性质可知，∠ABD=∠DBC=45°,则DN=DM设DN=x则S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB•DN+12BC•DM=6则x=∴BN=BM=127则AN=97,则AD=157，DC=207(在Rt△BND中根据勾股定理/锐角三角函数可知BD长模型七：点M和点N分别在AC与BC边上，点C沿MN翻折，使点C落在AB边中点D处，DC与MN相交于点O，求MN,CM,CD,CN的长度解法(思路)：由翻折的性质可知，DN=NC，DC⊥MN设BN=x，则DN=4-x在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+BN2=DN2则x=5532所以NC=在Rt△DBC中由勾股定理可得DC=12√73则D在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，从而求出MN的长过点D作DH⊥AC，交AC边于点H∵S△ADC=12S△ABC=3∴S△ADC=12AC•DH=3解得DH=∴AH=910设MC=y，则AM=5-y,HM=在Rt△DHM中由勾股定理求得y值【过关测试】1．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，，，则的周长（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用折叠性质可得AB=BE，AD=DE，再将的周长表示出来即可．【详解】解：沿折叠得到，，，，，∵为等腰直角三角形，，，，的周长为：，故选：．【点睛】本题考查等腰直角三角形，折叠变换的性质，解题的关键是利用折叠和等腰直角三角形的性质表示出所求三角形各边之间的关系．2．（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（

）A． B．1.5 C． D．3【答案】C【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=5，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，由翻折得AE=AB=5，DE=BD，∴CE=AE-AC=1，在Rt△CED中，，∴，解得BD=，故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．3．（2020春·陕西铜川·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的F处，连接AF，当为直角三角形时，BD的长为（

）A．1 B．3 C．1或2 D．1或3【答案】C【分析】首先利用勾股定理求出三角形ABC的边长，分∠EAF=90°和∠AFE=90°两种情况，利用30°角的性质列方程求解．【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2=4AC2-AC2=9，解得AC=，AB=2AC=2，设BD=x,则用同样方法得BE=，∴AE=AB-BE=2-，EF=BE=，FC=BC-FB=3-2x,∵∠AEF=∠B+∠EFB=60°，当∠EAF=90°，∠EFA=30°，∴EF=2AE，有=2（2-），解得x=2，②当∠AFE=90°时，AE=2EF，有2×=2-，解得x=1，故选择C．【点睛】本题考查直角三角形的性质与折叠问题，解决问题的关键是确定折叠前后的对应关系．4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】过点F作于G，先求出，则，设，则，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】过点F作于G，∴，∵，，，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得∴，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将沿直线EF翻折，使点C落在点P处，结论①：当时，的长为；结论②：点P到AB的距离的最小值是，则关于上述两个结论，下列说法正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①和②都正确 D．①和②都错误【答案】C【分析】利用相似三角形的性质求解可求得；延长交于M，当时，点P到的距离最小，证明，利用相似三角形的性质求出即可解决问题．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，故①正确；如图，延长交于M，当时，点P到的距离最小．∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴点P到边距离的最小值是．故②正确；综上，①和②都正确．故选：C．【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解第②题的关键是正确找到点P位置．6．（2023秋·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）如图，在中，，，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】A【分析】设的中点为D，根据折叠的性质，得到，，得到，过点M作于点F，根据，计算即可．【详解】解：如图，设的中点为D，根据折叠的性质，得到，，所以，过点M作于点F，因为，所以，解得．故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的中线的性质，熟练掌握折叠性质，中线的性质是解题的关键．7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再利用求．【详解】解：连接，∵是的中线，且沿着直线翻折，∴，∴是等腰三角形，∴，∵，∴，∴，为等边三角形，∴，在中，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的判定和性质求解．解题的关键是掌握以上知识点．8．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，在中，点D是边上的中点，连接，把沿若翻折，得到．连接．若，，，则为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】延长，交于点，连接，过点作于，由折叠性质可知，，，易证，根据相似三角形的性质可得，进而可得，，根据直角三角形斜边中线定理可得，根据含角的直角三角形的性质可求得，进而在Rt中，由勾股定理得，进而即可求解．【详解】如图，延长，交于点，连接，过点作于，∵点是边上的中点，∴，∵把沿若翻折，得到，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴在Rt中，由勾股定理，得：，∴，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形的判定及其性质、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学性质．9．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，，方法1：作于G，设，则，在中，，，问题随之得解；方法2：如图2，作于，设，则，，，在中，，，问题随之得解．【详解】∵在中，，，∴，，∵，∴，方法1：如图1，作于G，∵在中，，，∴，∵，则，设，则，在中，，，即．方法2：如图2，作于，设，则，，，在中，，，即．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，掌握折叠的性质并灵活运用勾股定理是解答本题的关键．10．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O落在边上的点D处，则的长为（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即得出的长．【详解】对于直线，令，则，解得：，∴，∴．令，则，∴，∴，∴．由折叠可知，，，∴．设，则，∵在中，，∴，解得：，∴．故选B．【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，折叠的性质．利用数形结合的思想是解题关键．11．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连结BE，则线段BE的长为（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】延长AD交CE于点O，过点A作于H，根据运用勾股定理求出BC的长，利用的面积求出AH的长，证明AD垂直平分线段CE，运用与面积相等求出OC的长，推出CE的长，证明是直角三角形，在中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】延长AD交CE于点O，过点A作于点H，在中，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴AD垂直平分线段CE，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，在中，．故选：D．【点睛】本题主要考查了翻折变换，直角三角形的斜边中线，勾股定理等，解题的关键是添加辅助线，熟练掌握翻折性质，直角三角形的斜边中线的性质，三线合一，勾股定理解直角三角形，面积法求高．12．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）如图，在中，，，点E在边BC上，将沿翻折，点B落在边上的点D处，连结，若．下列结论不正确的是（

）A．垂直平分 B．C．点E是的中点 D．的周长比的周长大5【答案】C【分析】由折叠性质可得，，，，进而可以逐一判断即可．【详解】解：由翻折可知：点B落在边上的点D处，∴，，∴垂直平分，故A正确，不符合题意；在中，，，∴，∴，∴，故B正确，不符合题意；由翻折可知：，，∴，∵，∴，∴，∴，但是，∴E不是的中点，故C错误，符合题意；∵的周长，的周长，∴的周长比的周长大5，故D正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查图形的折叠，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．13．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当落在上，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质知，，于是得到结论．【详解】解：当落在上，长度的值最小，∵，，，∴，由折叠的性质知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．14．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由翻折得出AD=DF，∠A=∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFE=∠A，可求证△ABC∽△FBD，根据线段比例关系即可求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD=DF，∠A=∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE=∠DFH，∴∠DFE=∠A，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△FBD，∴，设BD=m，则AD=DF=5-m，∴，解得m=，BF=，∴CF=BF-BC=-3=，故选：A．【点睛】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等，对应角相等来解决问题，通过相似三角形对应边成比例列方程是解决本题的关键．15．（2021春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）ABC中，，，D、E两点分别在边AB，BC上，将三角形的部分沿直线DE翻折，使点B落到射线BC上的F点，当ADF为直角三角形时，则折痕DE的长为______【答案】或【分析】根据由折叠可知△DEF≌△DEB，△ADB∽△DEB，由相似比可知，由此可设DE=x，BE=2x，进而可推出CE=6－2x，CF=4x-6，，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如下图所示：由折叠可知△DEF≌△DEB，△ACB∽△DEB，∴，∴，设DE=x，∴BE=2x，∴，∴CE=6－2x，CF=4x-6，∵△ACF为直角三角形，∴，∵，，∴，∵△DEF≌△DEB，∴DB=DF=，∵△AFD为直角三角形，∴，代入可得，化简后解得：x=3或，故答案为：3或．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，用一元二次方程解决实际问题，本题综合性较强需要对每个小知识点有着较为深刻的认识．16．（2022·河南许昌·统考二模）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为___________．【答案】或【分析】分过点A与过点A两种情况讨论即可．【详解】解：①当过点A时，如图所示，∵，，∴∠B=45°．由折叠性质得：，，．∴．∴△是等腰直角三角形，且D点是的中点．∴DE⊥AB．∴DE=BD=AB−AD=7−3=4．由勾股定理得；②当过点A时，如图所示，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，过点A作AG⊥于点G．由折叠性质得：，∵AF∥BC，∴∠F=∠BED，∴，∴AF=AE．∵∠ADF=∠BDE，∴△ADF∽△BDE，∴，∴．设，则，．∵，AG⊥，∴，由勾股定理得：．∴．在中，由勾股定理得：，整理得：，解得：，（舍去）．即．综上，BE的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了图形折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是构造直角三角形，运用勾股定理建立方程，注意分类讨论．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，点在边上．连接，将沿直线翻折，点落在点处，交边于点．已知，，若为直角三角形，则的面积为______．【答案】或【分析】分类讨论当时和当时，再根据翻折的性质结合勾股定理即可解答．【详解】分类讨论：①如图，当时，∵，，，∴，．由翻折的性质可知，，，∴，设，则，∴，，∴．∵在Rt中，，∴，解得：（舍）．∴，∴；②如图，当时，此时F点与C点重合，∵，，∴．设，则，∵在Rt中，，∴，解得：，∴，∴．综上可知的面积为或．故答案为：或.【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用．利用分类讨论的思想是解题关键．18．（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图①，点D为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这张纸片沿DE翻折成如图②，使BE与AC边相交于点F，若图①中AB＝2，则图②中△CEF的周长为______________．【答案】【分析】如图，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，连接DF．首先证明△DFB≌△DFC，推出CF=BF，可得，再利用勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：如图，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，连接DF．∵，，∴，，．∴，∴，∵∠BFM=∠EFC，∴∠DFB=∠DFC，在△DFB和△DFC中，，∴△DFB≌△DFC，∴CF=BF，∵，∵，∴（负根舍去）故答案为：【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19．（2019·八年级单元测试）如图，将一个等腰直角三角形按照图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的有________.①平分；②BC长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长.【答案】②③④【分析】对于①，因为由图可以知道而,所以错误.对于②，由图可以知道,且，所以，，即，所以正确.对于③，由图可知且,所以,所以是等腰三角形，所以正确.对于④,在②中求出，而的周长等于，所以正确.【详解】解：对于①：为等腰直角三角形，，，折叠得到，，，，∴为等腰直角三角形，，.由折叠得到，∴，，，∴不平分，所以①错误；对于②：，，所以②正确；对于③：，为等腰三角形，所以③正确；对于④：的周长，的周长等于的长，所以④正确.故答案为::②③④【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，以及结合着翻折去转换变量，进而求出最终结果.20．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，为边上的中线，已知，，．将沿着翻折得到，连接，，则的面积为______．【答案】6.72####【分析】延长交于点H．由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出；再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，延长交于点H．，为边上的中线，．沿着翻折得到，，，垂直平分线段，在中，，在中，，，解得，，，，，，又，，是直角三角形，，，，，点A到的距离等于的长，，故答案为：6.72．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，平行线间的距离，等腰三角形的性质，三角形面积公式等，有一定难度，解题的关键是能够综合运用上述知识．21．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为________．【答案】##【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出．【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵折叠，∴，∴，∵中，，∴，∴，∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键．22．（2021·浙江湖州·统考一模）如图，已知在直角三角形纸片中，，点D、E分别是边、上的动点，将沿着翻折，使点A的对应点F落在内（包括边上），连结．（1）如图1，若．①当时，求的度数；②当与相似时，求线段的长．（2）如图2，当时，在点E的运动过程中，若有且只有一个位置使得构成直角三角形，请求出满足条件的的取值范围．【答案】（1）①67.5°；②；（2）【分析】（1）由平行线性质可得，再根据折叠的性质即可求出；（2）分或两种情况讨论，根据可知点F一定在BC边上，再利用等腰直角三角形性质进行求解即可；（3）分或两种情况讨论，根据点F落在内（包括边上）求出边界点时对应的值即可解答．【详解】（1）①∵折叠到，∴，∵，，∴，∴．②∵点F在内部或边上，∴，∵与相似∴，即F在边上，I.若，且由折叠可得，∴点F在点C处，如图1，又∵，∴．II.若，如图2，由折叠可得，∴，∴，设，则，由，解得，∵，∴．（3）∵不可能为，I.若，∵，∴，∵，∴，∴，∵时，即，存在点F在内部使得的一个．若直角顶点F在边上，即为边界情况，如图3，∵∴，∴当时存在一个的，II.当时，若F在边上时，即为边界情况，如图4，∵，∴，∴当时，存在一个的．综上可得：时，分别存在一个的和一个的，总共存在两个．时只存在一个．故满足有且只有一个位置使得构成直角三角形这一条件的的取值范围．【点睛】本题考查了折叠图形性质和相似三角形判定，同时还考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，分类讨论思想的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．23．（2022春·九年级课时练习）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．（1）求证：AM=PN；（2）当点P是边AB的中点时，求证：；（3）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析．【分析】（1）连接PC，根据折叠的性质得MN是PC的垂直平分线，证明AM=PM=AC即可得到结论；（2）易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，继而可得比例式；（3）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得成立．【详解】解：（1）连接PC，如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°∴∠A=∠B=45°∴MC=NC∵MN是折痕，∴MN垂直平分PC，MN//AB，MC=PM=PN∴CP⊥AB，∠MPC=∠MCP=45°∴∠MPA=45°∴∠MPA=∠A∴AM=PM∴AM=PN（2）如图1，∵MN是折痕，∴MN垂直平分PC，∵AC=BC，AP=BP，∴CP⊥AB，=1，∴MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∴；（3）当点P不是边AB的中点时，仍然成立．理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，∵∠ACB=90°，∠A是公共角，∴△AEP∽△ACB，∴，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，∴AE=EP，∵∠MCN=90°，CP⊥MN，∴∠ECP=∠MNC，∴△MCN∽△PEC，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．24．（2021·上海·九年级期末）在ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）；（3）＜BP＜．【分析】（1）由勾股定理得出AB，再根据相似三角形的判定得出△ABC∽△PBQ即可；（2）根据相似三角形的性质即可求解；（3）分情况考虑P、Q在射线上，不存在△PDQ，此时P、Q继续往右移动，点将不可能位于ABC内，BP应小于当前BP的数值；P在线段BC上时，由特殊锐角三角函数值求得PB即可．【详解】（1）∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴在Rt△ABC中AB==∴=∵BQ=BP∴=∴==又∵∠B=∠B∴△ABC∽△PBQ∴∠C=∠PQB=90°∴PQ⊥AB；（2）当PQD是直角三角形时，∵BQ与BP有