中考数学复习高频考点精讲精练（全国通用）：专题20 四边形（解析版）

专题20四边形一、多边形内角与外角【高频考点精讲】1、多边形内角和等于（n﹣2）•180°，其中n≥3且n为整数。推导方法：从n边形的一个顶点出发，引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，则（n﹣2）个三角形的所有内角之和就是n边形的内角和。（2）思想方法：将多边形转化为三角形。2、多边形外角和等于360°。（1）多边形的外角：每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角。（2）推导方法：多边形外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°。（3）思想方法：邻补角概念以及多边形内角和定理。【热点题型精练】1．（2022•大连中考）六边形内角和的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．答案:D．2．（2022•烟台中考）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（边），答案:C．3．（2022•河北中考）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小解：∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．答案:A．4．（2022•南充中考）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，∴D不符合题意；∵以AB为边向内作正△ABF，∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，∵AE＝AB，∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，∴A、B不符合题意；∴∠F≠∠EAF，∴C符合题意；答案:C．5．（2022•眉山中考）一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为11解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得：29解得：n＝11，答案:11．6．（2022•株洲中考）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝48度．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB=(5−2)×180°∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，答案:48．7．（2022•遂宁中考）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为4．解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，答案:4．8．（2022•攀枝花中考）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．解：连接AD，AC，∴五边形ABCDE的内角和等于△AED，△ADC，△ABC的内角和，∴五边形ABCDE的内角和＝180°×3＝540°．二、平行四边形的性质与判定【高频考点精讲】1、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形的面积①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的乘积。②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。【热点题型精练】9．（2022•朝阳中考）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）A．100° B．80° C．70° D．60°解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．答案:B．10．（2022•河北中考）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A．B．C．D．解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；答案:D．11．（2022•益阳中考）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2解：在▱ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．答案:C．12．（2022•无锡中考）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCDA．23 B．12 C．32解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB=180°−x∴x+180°−x∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH=3BH∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE=3BH﹣BH＝（3−1）∵AB=BH2+AH2=BH2∴DECD答案:D．13．（2022•广州中考）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为21．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC=12AC，BO＝OD=12BD，∵AC+BD＝22，∴OC+BO＝11，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．答案:21．14．（2022•常德中考）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△解：连接DE，CD，∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，∴S△BDE=12S▱∵BE=14∴S△BDC＝4S△BDE＝4，∵BD=13∴S△ABC＝3S△BDC＝12，答案:12．15．（2022•苏州中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为10解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，∴BC=A由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，AF＝CF，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE，∴AE＝CE=12∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，同理证得AF＝CF＝2.5，∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，答案:10．16．（2022•无锡中考）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．求证：（1）△DOF≌△BOE；（2）DE＝BF．证明：（1）∵点O为对角线BD的中点，∴OD＝OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB，∴∠DFE＝∠BEF，在△DOF和△BOE中，∠DFO=∠BEO∠DOF=∠BOE∴△DOF≌△BOE（AAS）．（2）∵△DOF≌△BOE，∴DF＝EB，∵DF∥EB，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE＝BF．17．（2022•毕节中考）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD与△COB中，∠BCA=∠CADAO=CO∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：连接DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC=12∵BD＝2AB，∴AB＝OD，∴DO＝DC，∵点F是OC的中点，∴OF=12OC＝4，DF⊥∴AF＝OA+OF＝12，在Rt△AFD中，DF=A∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，∴DG＝FG=12∵点E，点F分别是OB，OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF=12BC＝7.5，EF∥∴EF＝DG，EF∥AD，∴四边形GEFD是平行四边形，∴GE＝DF＝9，∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，∴△EFG的周长为24．三、菱形的性质与判定【高频考点精讲】1、菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。（4）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式。②菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）2、菱形的判定（1）四条边都相等的四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（4）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。【热点题型精练】18．（2022•自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）．答案:B．19．（2022•襄阳中考）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；答案:D．20．（2022•淄博中考）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．67 C．127 D．30解：连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC=4∴AC＝2OC＝27，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×答案:B．21．（2022•湘西州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（）A．4 B．43 C．8 D．83解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA=12AC，AC∴OH＝OB＝OD=1∴OD＝4，BD＝8，由1212×8⋅AC=32∴AC＝83，∴OC=12AC=∴CD=O答案：C．22．（2022•德州中考）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为（3，5）或（2，6）．解：如图，∵A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），∴AB∥CD，AB＝CD＝5，∵四边形ABC′D′是菱形，∴AD′＝AB＝5，当点D向右平移4个单位，即D′（3，5）时，AD′＝5，当点D向右平移3个单位，向上平移1个单位，即D′（2，6）时，AD′＝5，答案:（3，5）或（2，6）．23．（2022•辽宁中考）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝43，则四边形CEDF的周长是16．解：连接EF交CD于O，如图：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD=12∠ACB＝30°，OC=12在Rt△COE中，CE=OC∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，答案:16．24．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为25．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE=AO∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC=BO2+CO∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF=12BC＝2答案:25．25．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为32解：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图1所示，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，∵△ABD是等边三角形，∴OD=1∴AO=A∴AC＝2AO=3∵AE＝3BE，∴AE=34，BE∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴BE＝BF=14，∠∴FJ＝BF•sin60°=1∴MI＝FJ=3∴AM=MI同理可得，CN=3∴MN＝AC﹣AM﹣CN=3答案:3226．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC=3BC＝23∴S△ABC=12×AC×BC=1227．（2022•聊城中考）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB＝∴四边形ADCF是菱形．28．（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：AE＝EF．（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×32=∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×53=503即菱形ABCD的面积是503；（2）证明：连接EC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，∴EA＝EC，∠DCA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，∵∠AEF＝120°，∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵∠ECA+∠ECF＝120°，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF，∴AE＝EF．四、矩形的性质与判定【高频考点精讲】1、矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的邻边垂直。（4）矩形的对角线相等。2、矩形的判定（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角为直角的平行四边形是矩形；（4）对角线相等的平行四边形是矩形。【热点题型精练】29．（2022•日照中考）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27° B．53° C．57° D．63°解：如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．答案:D．30．（2022•恩施州中考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝4s D．当CD＝PM时，t＝4s或6s解：根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝10cm，BC＝8cm，∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10﹣t＝t，解得t＝5，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM，即t＝8﹣t，解得t＝4，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即8﹣t＝t，解得t＝4，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝10﹣t+t−(8−t)又∵BM＝t，∴10﹣t+t−(8−t)2解得t＝6，综上，当CD＝PM时，t＝4s或6s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，答案:D．31．（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．52 B．125 C．13−3解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM=12∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB=A∴BM≥OB﹣OM=13∴BM的最小值为13−答案:D．32．（2022•十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝110°．解：∵四边形BDEC为矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，答案:110．33．（2022•吉林中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝5解：在矩形ABCD中，AO＝OC=12AC，AC＝∵AF=14∴AF=12∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF=12OD=1答案:5234．（2022•宜昌中考）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为48．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴S△BCE∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，答案:48．35．（2022•鄂州中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OD=12BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF；（2）解：由（1）可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC=BD2∴S矩形ABCD＝BC•CD＝63×6＝36336．（2022•云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF=A∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD=12BD•CD∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四边形ABCF的面积S为18．五、正方形的性质与判定【高频考点精讲】1、正方形的性质（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。（2）正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。（3）正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。2、正方形的判定（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（2）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。（3）有一组邻边相等的矩形是正方形

。（4）有一个内角是直角的菱形是正方形。（5）对角线相等的菱形是正方形。（6）对角线互相垂直的矩形是正方形。【热点题型精练】37．（2022•黄石中考）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（−2，0） B．（2，0） C．（0，2） 解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为2，∴OC＝BC=2，∠BCO＝90°，∠BOC∴OB=O∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，∴点B1的坐标为（0，2），答案:D．38．（2022•泰州中考）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2 B．2 C．22 D．4解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC=2AB＝22∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，答案:C．39．（2022•重庆中考）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，AD=BA∠DAF=∠ABE△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=12∠BAC＝22.5°，∠∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，答案:C．40．（2022•江西中考）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为5．解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长=1答案:5．41．（2022•海南中考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝60°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=ADAE=AF∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE=12（∠BAD﹣∠=1＝30°．∴∠AEB＝60°．答案:60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF=FG∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF=12×AE×FG=12×∴12×AE即12×AE2∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE