上海市预初开学分班考专项复习04几何综合（教师版）

上海市预初开学分班考专项复习04几何综合■F【知识梳理】.复习小学阶段学习的重要几何方法一一割补法；.进一步拓展倍数关系、整体计算、辅助线等几何方法.【考点剖析】阅读材料：在计算下图这个图形的面积时候，我们可以先算出上面的三角形面积为：12X6-2=36；再计算下面三角形面积为12X2+2=12,于是总面积为：36+12=48；其实也可以利用提取公因数，这样算：12义（6+2）+2=48。根据阅读材料内容，体会这种提取公因数整体计算的想法，完成例题1。例题1：已知一个正方形的对角线长10厘米，那么这个正方形面积是多少？教法说明：本题略有难度，考虑帮助学生把线添出来再进行思考。此题有学生可能知道公式，但需要再给学生推理一遍参考答案：50平方厘米试一试：有人把两组邻边分别相等的图形称作“筝形”，筝形的对角线互相垂直。右图中的筝形的对角线长分别是5厘米和8厘米，那么这个筝形的面积是多少？三角形CEF面积=长方形面积一三角形AEF面积一三角形CDF面积一三角形CBE面积=120—4x8+2—4x10+2—6x12+2=120-16-20-36=48（平方厘米）【点睛】本题考查长方形的周长和面积、正方形与三角形的面积，解得本题的关键是掌握大小正方形及长方形之间的联系。（2020春•上海•五年级专题练习）棱长为8厘米的正方体，表面涂满红色，把它切割成棱长为1厘米的小正方体，其中：TOC\o"1-5"\h\z①三面带有红色的小正方体有（ ）个；②两面带有红色的小正方体有（ ）个；③一面带有红色的小正方体有（ ）个；④一面也不带红色的小正方体有（ ）个;【答案】 8 72 216 216【分析】根据题意可知一共分成了8x8x8个小正方体；①三面带有红色的小正方体有8个；②两面带有红色的小正方体有12x（8-2）个；③一面带有红色的小正方体有6x（8-2）x（8-2）个；④一面也不带红色的小正方体有（8—2）3个；【详解】①三面带有红色的小正方体有8个；②两面带有红色的小正方体有72个；③一面带有红色的小正方体有216个；④一面也不带红色的小正方体有216个。【点睛】该题主要考查大正方体切成小正方体后面上涂色的规律，关键是空间想象能力要强。（2020春•上海・五年级专题练习）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12cm,那么较大正方形的面积是o【答案】162cm2【分析】通过作图添加辅助线作答。AB是12cm,每个三角形都是等腰直角三角形，AC：124-2+12=6+12=18(cm)OD；18+2=9(cm)三角形ACD面积：18x94-2=162+2=81(cm2)较大正方形的面积：81x2=162(cm2)故答案为：162cm2【点睛】本题通过对较大正方形的面积进行分割是解决问题的有效方法。(2020春•上海•五年级小升初模拟)把一个圆柱体木料切成两个圆柱(如图①)，表面积增加了12cm2,切成两个半圆柱(如图②)，表面积增加了48cm2,原来这个圆柱的体积是( )cm3o【答案】75.36【分析】观察图形可知，如图①增加的表面积=原来圆柱的底面积x2=25.12（cm2）,据此可以求出原来圆柱的底面积；圆的面积进而可以求出圆的半径和直径，如图②增加的表面积=底面圆的直径x原来圆柱的高x2=48（cm2）,把求出的直径代入计算即可求出原来圆柱的高，再依据圆柱的体积=底面积x高进行计算即可。【详解】25.12+2=12.56（平方厘米）12.56^3.14=4（厘米）则半径=2厘米，直径=2x2=4（厘米）48+2+4=24+4=6（厘米）12.56x6=75.36（立方厘米）【点睛】主要考查立体的图形的切割问题，依据切割后增加的面积求出圆柱的底面积和高是解题的关键，掌握圆柱的体积公式。（2022秋•上海闵行,五年级统考期末）若一个直角梯形的上底和高不变，下底减少3厘米，就变成一个周长是20厘米的正方形，则原来直角梯形的面积是（ ）平方厘米。【答案】32.5【分析】通过题干描述，用正方形周长+4,求出来的是梯形的上底，也是高的长度，下底=上底+3,根据梯形面积公式计算即可。【详解】20:4=5（厘米）5+3=8（厘米）（5+8）x5+2=13x5+2=32.5（平方厘米）【点睛】关键是确定梯形的上底、下底和高，梯形面积=(上底+下底)X高+2。(2022秋•五年级单元测试)在等腰梯形ABCD中，AE0BC,BC=2AD,三角形ABE的面积是lcm?,则等腰梯形ABCD的面积是()cm2o【分析】由S梯形=(上底+下底)x局+2得，S梯形abcd=(AD+BC)xAE+2,因为BC=2AD,所以S梯形abcd=3ADxAEv2=1.5ADxAE,据此解答。【详解】【详解】过A作AFE1CD,交BC于F由题意可知，AB=CD=AF则三角形ABF为等腰三角形Saabf—2Saabe—1x2=2(cm2)Saabf=BFxAEv2=2(cm2)BFxAE=4(cm2)由图可知,AD=BF=FC贝ADxAE=4(cm2)S梯形abcd=1.5x4=6(cm2)【点睛】作辅助线把三角形ABE的面积转化为梯形ABCD的面积是解答本题的关键。三、图形计算(2021秋•上海•五年级统考期末)如图，正方形的周长是32cm,A是正方形的边的中点，求梯形ABCD的面积。【分析】如下图，通过观察图形可知：因为平行四边形BCDE的底等于正方形的边长，平行四边形的高等于正方形的边长，所以平行四边形与正方形面积相等，梯形ABCD的面积等于平行四边形BCDE的面积减去三角形ABE的面积，即正方形的面积减三角形ABE的面积。据此计算。=64—8x4+2=64-16=48(cm2)(2021秋•五年级课时练习)求图中阴影部分的面积。(单位：cm)【答案】14cm2【分析】由题意知：阴影部分的面积就是两个正方形面积之和减去团BGF和团BAC的面积之和。据此解答。【详解】6x6+4x4—6x6・2—4x(6+4)4-2=36+16-18-20=52—18—20=34-20=14(cm2)【点睛】此题主要考查正方形的面积公式、三角形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。(2021秋•五年级统考课时练习)如图所示，正方形ABCD的边长是9cm,正方形DEFH的边长是6cmo(1)求梯形ABCH的面积。(2)三角形EFG的面积比三角形AHG的面积大多少平方厘米?【答案】(1)54平方厘米；(2)9平方厘米【分析】(1)梯形ABCH中，上底长：9—6=3(cm),下底是9cm,高9cm,根据梯形面积公式，把数代入计算即可；(2)三角形EFG的面积十四边形EGHD=正方形DEFH的面积；三角形AHG的面积十四边形EGHD的面积=三角形DEA的面积；所以求三角形EFG的面积比三角形AHG的面积大多少平方厘米，只需求正方形DEFH的面积比三角形DEA的面积大多少即可。【详解】(1)(9+9-6)X94-2=12x9+2=54(平方厘米)(2)6x6—6x9+2=36-27=9(平方厘米)(2021秋•五年级课时练习)求下图中阴影部分的面积。(单位：dm)【答案】（1）22平方分米；（2）32平方分米【分析】（1）将阴影部分分成底为4分米、高3分米和底4分米、高8分米的两个三角形，分别计算面积，再相加即可；（2）根据等腰直角三角形的特点，分别求出梯形（阴影部分）的上底、下底和高，然后根据梯形的面积计算公式求解。【详解】（1）4x3+2+4x（12-4）+2=6+4x8+2=6+16=22（平方分米）（2）梯形的上底是6,根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可得，梯形的下底：（14+6）+2=20+2=10（分米）梯形的高：14-10=4（分米）阴影部分的面积：（6+10）x4+2=16x4+2=32（平方分米）（2020春・上海•五年级小升初模拟）已知AE的长是AC长的DB是AB长的?，阴影部分的面积是4 320平方厘米，求三角形ABC的面积。20【答案】40平方厘米【分析】根据题意可知，以AC、AE、CE为底，三角形ACD、三角形AED和三角形CED的高是相等的，因TOC\o"1-5"\h\z1 3 3为AE=—AC,所以CE=：AC,在等同的情况下，二角形CED的面积=:二角形ACD的面积，已知二角形4 4 4asoCED的面积是20平方厘米，所以20+二=丁（平方厘米）就是三角形ACD的面积；同理，可求出三角形4 3ABC的面积。1 3【详解】i--=44 4aro20^4=—（平方厘米）4 31-23 3^^|=40（平方厘米）所以：三角形ABC的面积是40平方厘米。故答案为：40平方厘米。【点睛】此题重点考查三角形面积与底的比例关系，当高相同时，对应底边的比=面积的比。25.（2021秋,五年级统考课时练习）用两把大小不同的等腰直角三角尺互相重叠出如图图形，其中BC=10cm,CE=6cm。（1）求三角形CDE的面积。（2）求梯形BCEF的面积。（3）求三角形BCG的面积。（4）求重叠部分（即阴影部分）的面积。【答案】（1）18平方厘米;42平方厘米；25平方厘米；17平方厘米【分析】（1）因为三角形CDE是等腰直角三角形，所以CE=DE=6厘米，根据三角形的面积公式：S=ah+2,把数据代入公式解答；（2）因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以BC=AC=10厘米，三角形CDE是等腰直角三角形，DE垂直AC,所以CD平分三角形ABC,已知BC=10厘米，CE=6厘米，所以AE=AC—CE=10—6=4厘米，梯形BCEF的面积等于三角形ABC的面积减去三角形AEF的面积，根据三角形的面积公式：S=ah-2,把数据代入公式解答；（3）因为CD平分三角形ABC,所以三角形BCG的面积等于三角形ABC面积的一半，根据三角形的面积公式：s=ah+2,把数据代入公式解答；（4）阴影部分的面积=三角形ABC的面积一三角形BCG的面积一三角形AEF的面积，根据三角形的面积公式：S=ah-2,把数据代入公式解答。【详解】（1）6x6+2=18（平方厘米）（2）已知BC=10厘米，CE=6厘米，所以AE=AC—CE=10—6=4厘米10x10+2—4x4+2=50-8=42（平方厘米）10x10.2+2=100+2+2=50"=25（平方厘米）10x10+2—10x10+2+2—4x4+2=50-25-8=17（平方厘米）四、解答题（2023春•五年级单元测试）一个长方体的玻璃缸，从里面量长6dm,宽5dm,高4dm,水深3.2dm。如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？【答案】40升【分析】根据正方体的体积公式：V=a3,长方体的容积（体积）公式：V=abh,用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。【详解】4x4x44-6x5x3.2-6x5x4=64+96-120=160-120=40（立方分米）40立方分米=40升答：缸里的水溢出40升。【点睛】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。（2023秋•五年级单元测试）如图，三角形ABO的面积是9cm2,线段B。的长度为OD的3倍，梯形对角线AC、BD相交于。。问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】48cm2【分析】根据题意可知，BO的长是OD的3倍，即BO=3OD,三角形ABO和三角形ADO高相等，三角形ABO的底是BO,三角形ADO的底是0D,根据三角形面积公式：底x高+2,三角形ABO的面积是三角形ADO的面积的3倍，三角形AB。的面积是9平方厘米，三角形ADO的面积是9+3=3平方厘米；那么三角形ABD的面积=三角形AB。的面积十三角形ADO的面积，即：3+9=12平方厘米；三角形COD的面积=三角形ABO的面积=9平方厘米；同样道理，因为是梯形，AC和DB是梯形对角线，CO=3OA,三角形BDC的面积是三角形DCO面积的3倍，即3x9=27平方厘米，梯形面积=三角形ABD的面积+三角形DOC的面积十三角形BOC的面积，即：12+9+27=48平方厘米，即可解答。【详解】根据分析可知：三角形AOD的面积：9+3=3（平方厘米）三角形DOC的面积=三角形AB。的面积=9（平方厘米）三角形BOC的面积=三角形DOC的面积x3=9x3=27（平方厘米）梯形面积：12+9+27例题2：如图，四边形A8C。内有一点0,。点到四条边的垂线都是4厘米.四边形的周长是36厘米.四边形的面积是多少平方厘米？参考答案：72平方厘米试一试：如图，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?参考答案：22平方厘米例题3：求组合体的体积。（单位：厘米）.K310参考答案：198立方厘米=48（平方厘米）答：梯形的面积是48平方厘米。【点睛】梯形面积分成几个三角形面积之和，再利用高相等，底是倍数关系求出相应三角形的面积，最后求出梯形的面积。（2019・上海虹口•统考小升初真题）如图：小正方形和大正方形的对角线分别长L4厘米和3.6厘米。梯形ABCD的面积是多少？【答案】4.5平方厘米【分析】由图意可知：阴影部分是一个梯形，上底为1.4厘米，下底为3.6厘米，高为（3.6・2）厘米，代入梯形的面积公式即可求解。【详解】（1.4+3.6）x（3.64-2）4-2=5x1.84-2=4.5（平方厘米）答：梯形ABCD的面积是4.5平方厘米。【点睛】此题主要考查梯形的面积的计算方法的灵活应用，注意观察图，找出梯形的底和高。（2019秋•五年级课时练习）以BD为边时，高20cm,以CD为边时，高14cm,口ABCD周长为102厘米，求面积.【答案】420平方厘米【分析】平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的面积=底、高，由CD边上的高与BD边上的高的比等于CD与BD的反比，已知周长求出平行四边形的底，再利用面积公式解答.7【详解】CD边上的高与BD边上的高的比是：14：20=二；平行四边形的底CD为:102+(1=1。2-^-2=102x--1I=30（厘米）;平行四边形的面积为:30x14=420（平方厘米）;答：平行四边形的面积是420平方厘米（2020春•上海•五年级阶段练习）下图中的无盖玻璃容器玻璃厚0.5厘米，这个玻璃容器可装多少立方厘米的水？相当于多少毫升?【答案】34125立方厘米；34125毫升【分析】玻璃容器的外围长宽高分别是40厘米、26厘米、35.5厘米，外围的长去掉两侧0・5厘米玻璃厚度是内部长，外围宽去掉两侧0・5厘米玻璃厚度是内部宽，外围的高去掉底上0.5厘米的玻璃厚度是内部高，据此根据长方体体积公式列式解答即可。【详解】40-0.5x2=40-1=39（厘米）26-0.5x2=26-1=25（厘米）35.5-0.5=35（厘米）39x25x35=34125（立方厘米）34125立方厘米=34125毫升答：这个玻璃容器可装34125立方厘米的水，相当于34125毫升。【点睛】本题考查了长方体体积，长方体体积=长、宽x高。19 1（2020秋・上海•五年级校考期末）如图1,长方形ABCD的长BC是考■分米，宽AB是长BC的卷.I OR CBR CB（l）求长方形ABCD的周长.（2）如图2,点E在边CD上，若三角形BEC的面积比三角形ADE的面积多"I平方分米，求出三角形BEC的面积是多少平方分米？【答案】（1）学分米（2）与平方分米7 49w、辛缶力」/121 12x个【详解】（-yx3+f-）X2। 0 ।16

T32

16

T32

TX2（分米）答：长方形ABCD的周长是专分米.（2）芋x（羊X^）+2

।IO_12v4v1—hx-x-7 7 2=空（平方分米）49349_38-49=岩（平方分米）答：三角形BEC的面积是居平方分米.（2023秋•五年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，CE=3AE,CF=3BF,阴影部分三角形BEF的面积是6cm2。求平行四边形的面积。【答案】64cm2【分析】由题意知：CF=3BF,在I3BFE和团FCE中，高是相等的，EIFCE的底CF的长度是OBFE的底BF的3倍，则I3FCE面积是I3BFE面积的3倍，从而求得团FCE面积是18平方厘米，进而得出团BCE是24平方厘米。同理，在团BAE和团BCE中，高是相等的，I3BCE的面积是OBAE面积的3倍，得出I3BAE面积是24+3=8平方厘米，进一步求得回BAC的面积是8+24=32平方厘米。再乘2,得平行四边形面积。据此解答。【详解】6x3=18(cm2)6+18=24(cm2)24+3=8(cm2)(8+24)x2=32x2=64(cm2)【点睛】本题考查了三角形面积的灵活运用，抓住等高的两个三角形，一个三角形的底是另一个三角形的底的几倍，则面积也是几倍，进而解决问题。五、看图列式(2020春•上海•五年级小升初模拟)看图计算。(单位：cm)(1)求图1阴影部分的面积。(2)如图2,计算下列图形的体积。\Z▼ 20jy JW下100彳一L【答案】(1)6.25cm2；(2)94200cm3【分析】(1)观察图形可知，图中阴影部分可以组合成一个三角形，组合成的三角形的面积正好是这个大正方形面积的；，所以直接用正方形的面积除以4就可以求出阴影部分的面积。4(2)此题中圆柱的底是一个圆环，根据圆环的面积=R(R2—产)，可以求出这个空心圆柱的底面积，再根据圆柱的体积=底面积X高，可以求出这个空心圆柱的体积。【详解】(1)5x5=25(cm2)25+4=6.25(cm2)(2)40+2=20(cm)20+2=10(cm)S环=n(/?2—r2)=3.14x(202-102)=3.14x300=942(cm2)柱=5环xH=942x100=94200(cm3)故答案为：(1)6.25cm2；(2)94200cm3【点睛】此题重点掌握组合图形求面积和求体积的方法，求面积可通过移动部分图形，形成一个容易求得的图形来实现；求体积可先分解成独立图形，再相加减重叠部分的体积。牢记圆、圆环的面积公式和圆柱的体积公式。试一试：有个零件形状如右图，这个零件的体积是多少立方厘米？如果1立方厘米铁的重量为7.8克，用铁制成的这种零件有多重？参考答案：90立方厘米，702参考答案：90立方厘米，702克※思考题：如图，在三角形ABC中，BC是。C的3倍，4?是EC的3倍.三角形DEC的面积是3平方厘米.请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？教法说明：本题综合考察学生对面积和底边/高的倍数关系的问题。参考答案：27平方厘米【过关检测】【过关检测】一、选择题（2019春•上海普陀•五年级校考期中）一个平行四边形的底是10厘米，高8厘米，连接相邻两边的中点，沿这条线段剪去一个三角形，剩下的面积是（ ）平方厘米。D.40A.70 B.60 C.D.40【答案】A【详解】10x8-(10+2)x(8+2)・2=80—5x4+2=80-10=70（平方厘米）所以剩下的面积是70平方厘米。故答案为：A（2019秋・上海•五年级校考期末）5个一样大的正方形重叠（如图），重叠部分的顶点正好是正方形的中心。已知正方形的边长是a,整个图形的周长（重叠部分不计）是（ ）。10a12a14a16a10a12a14a16a【答案】B【详解】3a+3a+2ax3=12a故答案为：B（2020秋・上海•五年级期末）如果四边形ABCD是长方形，下面说法正确的有（）。A.三角形BCE面积＞三角形BCF面积B,三角形BCE面积=三角形BCF面积C.三角形BOE面积=三角形COF面积D.三角形BCE面积是长方形ABCD面积的一半【答案】BCD【分析】三角形的面积公式：底x高+2,两个三角形如果底相等，高也相等，则它们的面积相等。【详解】三角形BCE和三角形BCF底都是BC,高相等，则面积相等；三角形BCE与三角形BCF都去掉共同部分三角形BOC,则剩下部分三角形BEO和三角形CFO的面积相等;三角形BEC的面积：BCxDC+2,即：长方形ABCD面积的一半【点睛】三角形的面积公式的灵活应用，除此外涉及到差不变原理，理解同增同减差不变（2019秋•上海浦东新•五年级校考期末）下图三角形ABC的面积是18平方厘米。。、。分别是5。与AC的中点，三角形A8的面积是（）平方厘米。ABABA.9 B.6 C.4.5 D.3【答案】C【分析】点。是3C的中点，那么三角形AOC的面积是三角形A8C面积的一半，点。是AC的中点，那么三角形A。。的面积是三角形AOC面积的一半。【详解】18+2+2=4.5（平方厘米）故答案选Co【点睛】三角形的高相同的情况下，面积比等于底边长度之比。二、填空题（2023秋•五年级单元测试）如图，三角形ABC与三角形CDE都是等腰直角三角形。DE=12厘米，那么三角形CDE的面积是（ ）平方厘米，正方形的面积是（ ）平方厘米，三角形ABC的面积是（ ）平方厘米。【答案】 72 36 81【分析】等腰直角三角形的面积=直角边x直角边+2,则三角形CDE的面积=12x12+2=72平方厘米；画出正方形的对角线，以及正方形左右两边三角形的高线，将三角形DEC平均分成8个小三角形，每个小三角形的面积=72+8=9平方厘米；正方形是4个小三角形=4x9=36平方厘米，三角形ABC是9个小三角形=9x9=81平方厘米。【详解】三角形CDE的面积=12x12+2=72（平方厘米）；72+8=9（平方厘米）；4x9=36（平方厘米）；9x9=81（平方座米）。【点睛】此题主要考查三角形面积公式的灵活应用，了解等腰直角三角形的特点是解题的关键。（2020春・上海・五年级期中）把3个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了）平方厘米，这个长方体的体积是（））平方厘米，这个长方体的体积是（）立方厘米。【答案】 64 192【分析】3个正方体拼成一个长方体，表面积减少了4个面。一个面的面积是（4x4）平方厘米，乘4就是减少的表面积；而体积是不变的，求出一个正方体的体积，乘3即是这个长方体的体积。【详解】4x4=16（平方厘米）减少的表面积：16x4=64（平方厘米）长方体的体积：4x4x4x3=16x4x3=64x3=192（立方厘米）（2018春・上海松江•五年级统考期中）如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知卡片的短边长是12cm,那么图中三块阴影部分的总面积是cnv.【答案】108【详解】略（2020春・上海•五年级小升初模拟）如图，一个四边形可以分成2个三角形；一个五边形可以分成3个三角形；一个六边可以分成4个三角形那么，一个10边形可以分成个三角形.【答案】8【分析】分成三角形的个数比边数少2,所以用10减去2即可求出分成三角形的个数.【详解】10-2=8（个）故答案为8.张是最大的正方形，剩下DA的中点，四边形张是最大的正方形，剩下DA的中点，四边形BCDG（2019秋・上海宝山•五年级校考阶段练习）把一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸剪成两块，一张是最大的正方形，剩下的一张是长方形.再把剩下的一张长方形纸剪成两块，一的长方形面积是（ ）平方厘米.【答案】6【解析】略（2019秋•上海•五年级校考期末）如图，ABCD是长方形，E、F分别为AB、的面积为2016平方厘米，那么长方形ABCD的面积是平方厘米。【答案】3024【详解】如图,连接AG,因为E、F分别为AB、DA的中点，所以12AEG、团AGF、团FGD的面积都相等.所以12ADG面积：I3AGE面积=2：1,即DG：GE=2：lo2所以团DCG的面积为：-xHDCE面积，连接CG、CE,则E1ADE的面积=^x长方形ABCD面积0EBC的面积=！x长方形ABCD的面积421