空间中的电势

空间中的电势

1.导电球中并不导致球心和球心中心电势,电问题1：真空中存在半径为r0的直接导管球，距球心（=r0）的电压q，以计算每个空间点的电势。该问题是《电动力学》(第三版)(郭硕鸿著,高等教育出版社)第54页例题2。该著作作为一部国内经典著作,几乎被大部分综合性院校物理专业作为教学参考书使用,为此下文简称为教参。教参中对问题一是用几何的方法求解,本文采用代数的方法求解该问题,然后做一对比。与教参类似,设导体球的电势为零,用在b点处的一个镜像电荷Q1来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。下面用代数的方法确定镜像电荷Q1的大小和位置。以导体球心为坐标原点,在导体球面(x0,y0,z0)上,由Qr0+Q´r´0=0可得√(x0-b)2+y20+z20√(x0-a)2+y20+z20=-Q´Q(1)化简并整理可得[1-(Q´Q)2](x20+y20+z20)-2[b-(Q´Q)2a]x=(Q´Q)2a2-b2(2)而导体球面上x20+y20+z20=R20,比较可得b-(Q´Q)2a1-(Q´Q)2=0,(Q´Q)2a2-b21-(Q´Q)2=R20(3)联解上面两方程可得b=R20a,Q´=-R0aQ,(4)由于a>R0,所以1-(Q´Q)2≠0自然满足。球外任一点的电势就是镜像电荷和原电荷分别产生的电势的叠加φ=14πε0(Qr-QR0/ar´)=14πε0(Q√R2+a2-2Racosθ-QR0/a√R2+b2-2Rbcosθ).(5)式中r为由Q到P的距离,为r′由Q′到P点的距离,R为由球心O到P点的距离,θ为OP与OQ的夹角。问题二:表述如同问题一,但是导体球不带电,且不接地。由于a处电荷Q的作用,电中性的导体球上的电荷要重新分布,导致原来处于电荷平衡的导体球的正负电荷分离。我们假想重新分布后的正、负电荷都可以分别用镜像电荷代替。空间中的电场就是由原电荷和两个镜像电荷(一正一负)分别产生的电势的叠加。根据问题的对称性,正、负镜像电荷应处在球心和Q电荷连线所在的直线上,设其位置分别为Q′(b,0,0)、Q″(c,0,0)(Q′、Q″、b和c待定)。由导体球整体的电中性可知,Q″=-Q′。导体球为等势体,其表面为一等势面,设电势为φ0(待定)。则在导体球面上有Qr0+Q´r´0+Q˝r˝0=φ0,并考虑球面方程x20+y20+z20=R20,可得14πε0(Q√R20+a2-2ax+Q´√R20+b2-2bx+-Q´√R20+c2-2bx)=φ0.(6)借助于数学软件Maple,我们对上式做了平方处理消去根号,再按x的各次幂项整理后得到212[abc(4πε0φ0)2]4x12+213[abc(4πε0φ0)2]3F11x11+211[abc(4πε0φ0)2]2F10x10+211[abc(4πε0φ0)2]F9x9+…=0(7)其中F9,F10,F11是关于a,b,c,R0,φ0,Q,Q′的多项式,由于太长,这里简写。因为x的最高项前出现了因子abc(4πε0φ0)2,根据下面的求解方法,这样做并不影响问题的解决。同样为了简写,方程后面的项都略写。对于方程(7),令x的各次幂的系数为零,可求解出b,c,Q′和φ0。由x12的系数为零可得,bc=0。由题意可知,b、c不能同时为零,否则得到Q=0的结果。情况1:取b≠0,c=0时,方程(7)简化为(4ab)4(Q′2-R20(4πε0φ0)2)4x8+(Q′2-R20(4πε0φ0)2)2F7x7+F6x6+…=0,(8)其中F6,F7是关于a,b,R0,φ0,Q,Q′的多项式,由于太长,这里同样做了简写。由x8的系数为零可得φ0=±Q´4πε0R0。根据对镜像电荷大小和位置的假设,应该是在c(c=0)点的镜像电荷Q″=-Q′对电势的贡献,故φ0=Q´4πε0R0是增根。导体球表面的电势应为φ0=-Q´4πε0R0(9)于是方程(8)简化为210(ab)2(R0Q′)4(aQ′2-bQ2)2x6+28abQ′2R20(aQ′2-bQ2)F5x5+F4x4+…=0,(10)其中F4,F5是关于a,b,R0,Q,Q′的多项式。同样,方程后面的项都没有写出。由x6的系数为零可得b=aQ´2Q2(11)则方程简化为(2aR0)4(Q´Q)8(Q2-Q´2)2[(R0Q)2-(aQ´)2]2[x4-F3x3+F2x2+F1x+F0]=0,(12)其中F2,F5是关于a,R0,Q,Q′的多项式。可见,满足方程(12)的系数为零的解有Q′=±Q,或Q′=±R0Qa.(13)将前者代入方程(11)得到b=a,不符合题意。将后者代入方程(11)得到b=R02a(14)根据电荷间的相互作用,在b点处的镜像电荷性质应跟a处的相反。故(13)式中后者应取负号。由此得到满足题设的一组解:c=0,b=R02a,Q´=-R0Qa,φ0=Q4πε0a,(15)可见,球表面的电势等于a点的电荷Q在导体球心位置处产生的电势。于是空间中的电势为φ=14πε0(QR0/aR+Qr-QR0/ar´)=Q4πε0(R0aR+1R2+a2-2Racosθ-R0/aR2+b2-2Rbcosθ).(16)情况2:取b=0,c≠0时,与前面类似的求解过程,我们得到满足题设的解组为c=-R02a,b=0,Q=R0Qa,φ0=-Q4πε0a.(17)上面得到的两种情况在数学上是等效的,但从物理本质上两者有本质的区别。第一种情况表明在导体中能够自由移动的电荷是与a处的电荷性质相反的带电粒子,相同电性的电荷因为不能自由移动,均匀分布在球内,相当于同样大小的电荷集中在球心处。第二种情况则是导体中能够自由移动的电荷是与a处的电荷性质相同的带电粒子,相反电性的带电粒子均匀分布,等价于集中在球心的同量电荷。问题三:表述如同问题二,但是导体球不是电中性,而是带电量为Q0(教参第545页例题3)。同样的处理过程,我们能得到两组有直观物理意义的解。b=R02a,c=0,Q´=-R0Qa,φ0=14πε0(Q0R0+Qa),(18)b=0,c=-R02a,Q´=R0Qa,φ0=14πε0(Q0R0-Qa),(19)可见,空间的静电场等效于在(a、0、0)处的原电荷Q、在(0、0、0)处的镜像电荷(Q0R0±Qa)以及在(±R02a、0、0)处的镜像电荷∓R0Qa产生的电势的叠加。2.确定导电总放电的电荷方法静电问题的唯一性定理告诉我们