2010年12月中国科学技术大学自主招生试题分析

2010年12月中国科学技术大学自主招生试题分析

2010年12月，中国科技大学邀请具有礼仪资格的学生参加面试。面试试题共五大题,其中物理2题,数学2题,化学1题。考生思考时间45分钟,然后向面试教师陈述试题解答思路、方法及结果。物理试题解答所涉及到的知识已远远超越中学教学的要求,难度大于高考试题,接近或达到竞赛复赛题的要求。随着高校招生制度的改革,自主招生的力度还将加大。因此,分析高校自主招生试题,研究命题思路,帮助理科优秀学生如何应对自主招生考试,是中学物理教师面临的一个重要课题。考虑到多方面的原因,教育部门原则上规定自主招生试题及解答不向社会公布。下面根据考生提供的试题,进行分析及解答,以飨读者。[试题1]如图1所示,一物体从地球表面发射,初速度大小为v0=kv1(式中v1为第一宇宙速度),初速度方向与竖直方向成θ角,其中k<1.414。地球视为质量均匀分布的球体,忽略空气阻力和地球自转的影响。请解答以下问题:(1)k<1.414意味着什么?(2)物体运动过程中有哪些物理量守恒?(3)物体能到达的最大高度,并讨论θ=0和θ=两种特殊情况。分析与解答:(1)设物体的质量为m,地球的质量为M,地球半径为R。物体从地球表面发射,成为绕地球运行的人造地球卫星,所需的最小发射速度v1即为第一宇宙速度。由万有引力定律及牛顿运动定律,有解得物体脱离地球引力的束缚,成为环绕太阳运动的一颗人造行星,物体的最小发射速度v2即为第二宇宙速度。由机械能守恒定律,有解得由题意知:k<1.414,这意味着物体发射的初速度小于第二宇宙速度,物体不能脱离地球引力的束缚,只能绕地球运动。(2)引力场是有心力场,物体在地球引力作用下的运动是平面运动。如果不考虑空气阻力,物体在运动过程中机械能及角动量均守恒。由角动量守恒定律,有联立①③④方程,得解关于(R+H)的一元二次方程,得(Ⅰ)当发射角度θ=0时,⑤式简化为解得关于结果作两点讨论:i.如果k1.414,则根据GM=R2g(g为地球表面的重力加速度)及解得这是我们所熟知的物体竖直上抛运动的结果。(Ⅱ)当发射角度时,⑤式简化为解得此解的物理意义分析如下:i.当k≤1时,H=0,表明物体无法抛离地面或物体绕地球表面做匀速圆周运动。ⅱ.当1<k<1.414时,物体绕地球沿椭圆轨道运动,如图2所示,H=0,对应物体在近地点;对应物体在远地点。因此,即为物体在角度θ=时所能达到的最大高度。当角度θ=时,物体运动所能达到的最大高度还有另一种解法:如图2所示,设物体在远地点的曲率半径为ρ,该处速度为v。由万有引力定律及牛顿运动定律,有物体沿椭圆轨道运动,半长轴及半短轴的长度记为a、b,则由数学知识有联立以上各式及方程④解得该题第(3)问,亦可以在极坐标系中建立方程求解。将物体的发射速度v0沿径向和角向分解,写成或物体达到最大高度H时径向速度vr=0,角向速度为vψ,由机械能守恒定律及角动量守恒定律,有联立⑦⑨⑩式解得结论:Ⅰ.当发射角度θ=0时,v0ψ=0,v0r=V0。所得结果同上。Ⅱ.当发射角度θ=时,v0ψ=v0,v0r=0。所得结果同上。[试题2]如图3所示,在半径为R的金属球A内,有两个球形空腔,金属球整体不带电,在两空腔中心各放置一点电荷B和C,所带电荷量分别为qB和qc。在金属球A之外离球心O为r处放置另一点电荷D,电荷量为qD,已知r远大于金属球A的半径。请解答下列问题:(1)写出库仑定律的数学表达式;(2)写出点电荷D所受静电力大小的表达式;(3)求出点电荷B和C所受的静电力。分析与解答:(1)设真空中两个静止点电荷的电荷量分别为Q1和Q2,从Q1指向Q2的矢径为,则Q1对Q2的静电力即库仑力为式中k=8.99×109N·m2·C-2,为静电力常量。或写成如下的形式ε0=8.85×10-12C2.N-1.m-2,为真空中的介电常量或真空电容率。①或②式即为库仑定律的数学表达式。(2)置于空腔内的点电荷B和C,由于静电感应,在空腔内表面感应异种电荷,在A球外表面感应同种电荷。由于金属球A与点电荷D处的距离r远大于金属球A的半径,因此,所有这些电荷在点电荷D处的总场强,可以等效为处于球心处的两个点电荷qB和qC在点电荷D处产生的场强的矢量和。其次,点电荷D在金属球A的表面也会产生感应电荷,感应电荷是面电荷。该面电荷可以等效为两个镜像电荷:一个镜像电荷距离导体球A中心。点的距离为,并在点电荷与球心的连线上,电荷量为另一个镜像电荷可以看成是集中在球心O处,由于导体球A原来不带电,因此其电荷量为补充说明的是:第一个镜像电荷是为了与点电荷qD共同作用下保证导体球为零电势的等电势球;第二个镜像电荷是为了保证导体球A总电荷量为零的等电势球。感应电荷在球外产生的电场,用镜像电荷等效处理,会使问题变得简单。根据静电场唯一性定理,这个场就是所求的感应电荷在球外产生的静电场。综合上述,点电荷D处的电场等效为由四部分构成,由库仑定律可得其所受静电力的大小为整理后得由④式可知,式中除qD外,其他量均保持不变。讨论:Ⅰ.如果qD所受静电力为零,则Ⅱ.如果qD所受静电力表现为引力,则Ⅲ.如果qD所受静电力表现为斥力,则(3)由于静电屏蔽,因此,除空腔中的点电荷及空腔内表面的感应电荷外,其他电荷在空腔内的场强均为零。点电荷B和C只受到各自内表面感应电荷的作用,已知点电荷B、C又处于空腔中心,则感应电荷均匀分布在空腔内表面上,所以点电荷B和C所受静电力之合力均等于零。该结果也可以由高斯定律得到。引力势能、角动量守恒定律、镜像电荷(球面问题)等知识点,属于竞赛内容。因此,理科优秀学生要通过这样的考试,必须学习相关竞赛知识。最后需要说