电磁场的相对论研究

电磁场的相对论研究

1物质的电动力学磁体是物质世界的重要组成部分。在生产实践和科学研究领域，存在许多与磁体相关的问题，尤其是今天的可用光学和颗粒信息。所环境是磁体模型。因此,电和磁的研究渗透到物理学的各个领域,已成为研究物质过程必不可少的基础。电磁场有特定的运动规律和物质属性,电场和磁场是物质的两个方面,在给定参考系中表现出不同性质。但是当参考系变换时,相对于某一惯性系静止的电荷产生静电场,不产生磁场;而该电荷相对于另一惯性系可能是运动的,这时运动的电荷产生的不仅有电场,而且还有磁场,静、动电场与磁场可以相互转化。但我们必须从爱因斯坦的相对论角度来研究电磁规律,才能正确与系统掌握电动力学体系。国内外文献已经在这方面进行了研究,但都是在比较特殊的相对运动方向下得到的结论。本文将对任意相对方向匀速运动点电荷的电磁场相对论关系进行探讨,结论具有一定的普遍性。2理论与方法2.1相对性磁体的变换2.1.1x系中的电场现在我们按狭义相对论讨论两个作相对运动的惯性系中的观察者测量的电场和磁场。电荷在洛仑兹变换下是不变量,所以电场→E必须以特殊方式变换,若在惯性系S中测出电场是→E,那么在相对S系以速度→v沿S系的x轴正向运动的惯性系S′系中测出的电场→E′是什么呢?我们可以把高斯定理应用到一些简单的系统上来回答这个问题。如图1(a)所示,在惯性系S中有两片密度均匀的电荷层,电荷密度分别为+σ和-σ。它们是每一条边长为b的正方形,平行于xOy平面,它们之间的距离很小,以至于中间的电场是均匀的,当然在S系中测得的电场大小E=σε0,方向沿Z轴正向,如图1(b),对于在S′系中的观察者来说,两带电的“正方形”不再是正方形了,它们的x′边的长度缩短到b√1-β2,其中β=vc。但是电荷在洛仑兹变换下是不变量,即q′=q,所以在S′系中测得的电荷密度分别为+σ′=σ(1/√1-β2)和-σ′=-σ(1/√1-β2),两片之间的电场仍是均匀的,方向沿轴Z′正向,其大小为E´z=σ′ε0=Ez√1-β2=γEz(1)式中γ=1√1-β2。通过类似的计算,不难得出,在y方向上的电场的变换与z方向电场的变换相同,即E´y=σ′ε0=γEy(2)现在设想另一种情况,固定于惯性系S的两片密度均匀的电荷层垂直于x轴,则在S系中测得的电场Ex=σε0,方向沿X轴。对于在S′系中的观察者来说,电荷层垂直于x轴的边长不变,电荷密度+σ和-σ不变,所以,沿x轴的电场E´x′=σε0不变,即E′x′=Ex(3)进一步可以证明:在参考系S中的静止电荷是场→E的源,参考系S′相对于S以速度→v沿x轴正方向运动,在S中的任一点,把场→E分解为平行于→v的“纵向”分量E∥和垂直于→v的“横向”分量E⊥,在S′的同一时空点,场→E′可分解为E′∥及E′⊥,E′∥平行于→v,E′⊥垂直于→v,则有E′//=E//E′⊥=γE⊥(4)同样在不同的参考系中测量的磁场有如下关系:B′//=B//B′⊥=γB⊥(5)2.1.2q+v0的s系上面讨论了静止在S系中的电荷产生的电场→E怎样变换到S′系的电场→E′,以及沿相对运动方向上的磁场在S系和S′系之间的变换关系。下面讨论电磁场的普遍变换关系。如果一个面密度为σ的均匀面电荷层作平行于自己的运动,其速度为→v,则形成面电流的密度为→j=σ→v。运动的电荷层既产生电场又产生磁场,我们可以利用两个平行的静止时电荷面密度为σ0和-σ0的均匀带电平面系统得到普遍的电磁场变换关系。设在S系中,两个电荷层平行于xz平面,如图2(a)所示,两个带电层均以速度→v0沿x轴正方向运动,根据(4)式,在S系测得电场沿垂直于→v0的y轴正方向,大小为Ey=σε0(6)注意上式σ是在S系测得的,所以σ=σ01-vv02c2=γ0σ0因为两个运动电荷层的电流密度均沿X轴正方向,大小均为j=σv0,两面间磁场沿z方向,大小为Bz=2×μ0j2=μ0j=μ0σv0=σv0c2ε0(7)而在S′系中,如图2(b)两电荷层在x′方向的速率由洛仑兹速度变换得:v′0=v0-v1-v0v/c2=cβ0-β1-β0β(8)式中β0=v0c‚β=vc.因为电荷相对论不变性,所以在平面的某一面积元内的电荷Δq无论对S系,S′系还是对电荷本身参考系均不变,即Δq=σΔS=σ′ΔS′=σ0ΔS0其中ΔS为S系测得的面积元面积,ΔS′为S′系测得的面积元面积、ΔS0为静止测得的面积元面积。σ,σ′,σ0为相应的电荷面密度,因为两带电荷层以v→0沿正x轴运动时,使ΔS0的x方向长度Δx0缩短为Δx=1-β02Δx0,而z方向长度不变,所以ΔS=1-β02ΔS0σ0=σΔSΔS0=1-β02σ=σγ0(9)式中γ0=11-β02。同理,在S′系测量电荷面密度σ′=γ′0σ0,即有σ′=γ′0σγ0‚(10)式中γ′0=11-β′02‚β′0=v→0c,利用γ′0=11-v′02c2与(11)式消去v′0可得:γ′0=γγ0(1-β0β),代入(13)式得:σ′=σγ(1=β0β)(11)在S′测得电流密度沿x轴方向,大小为j′=σ′v′0=σγ(v0-v)(12)根据相对论原理,电场与电荷及磁场与电流的关系与参考系选择无关,所以在S′测量的电场沿y′方向,大小为E′y=σ′ε0=σγ(1-β0β)ε0(13)磁场沿z′方向,大小为B′z=μ0j′=σ′v′0ε0c2=σγ(1-β0β)ε0c2cβ0-β1-β0β=σγ(β0-β)ε0c(14)比较(16),(17),(9),(10)式可得E′y=γ(Ey-vBz)B′γ(Bz-vc2Ey)(15)如果两电荷层是平行于XY平面,类似可以得到:Ez´=γ(Ez+vBy)By´=γ(By+vc2Ez)(16)式中出现符号不同是因为B→的方向与电流密度j→的方向成右手螺旋关系所致。我们可以把(3)、(4)、(14)、(15)四式归纳在一起,得出参考S′系相对于参考系S以速率V沿X轴正向运动时,任何运动电荷产生的电场和磁场在两参考系中的变换关系:E//´=E//E⊥´=γ(E→+v→×B→)⊥B//´=B//B⊥´=γ(B→-v→c2×E→)⊥(17)尽管我们只讨论了两平行带电平面这样简单的带电系统得出了上面的结论,但是,这个结论是普遍成立的。2.2带电粒子沿x轴运动而运动的场设电荷q静止在S′系原点O′,则在S′系中E→´=14πε0qr´3r→′‚B→´=0(18)它们的三个分量为Ex´=qx′4πε0r´3‚Bx´=0Ey´=qy′4πε0r´3‚By´=0(19)Ez´=qz′4πε0r´3‚Bz´=0这里q是带电粒子的电量,在各个惯性系中q是不变量;r′是在S′系带电粒子到空间任一点的距离。由于已假使粒子处于S′系的原点O′,所以r′=x´2+y´2+z´2(20)在S系中带电粒子沿x轴以速度v→运动,则由(17),(18)式得S系的场为Ex=qx′4πε0r´3‚Bx=0Ey=γqy′4πε0r´3‚By=-γvc2qz′4πε0r´3(21)Ez=γqz′4πε0r´3‚Bz=γvc2qy′4πε0r´3现在我们必须把上式用S系中的坐标表出。为简单起见,设粒子经过S系原点的时刻为t=0,并且我们就在这一时刻计算S系中的场。由洛仑兹变换得x′=γx,y′=y,z′=z(22)所以,从S′系原点到场点的距离r′,即式(25)又可表示为r′=x´2+y´2+z´2=γ2x2+y2+z2=γ(x2+y2γ+z2γ)12=γ[x2+(1-v2c2)(y2+z2)]12=γ[(1-v2c2)r2+v2x2c2]12=γ[(1-v2c2)r2+(v→⋅r→c)2]12(23)将式(27)、(28)代入式(26)可得S系中的电磁场为E→=(1-v2c2)qr→4πε0[(1-v2c2)r2+(v→⋅r→c)2]32=(1-v2c2)qr→4πε0r3(1-v2sin2θc2)32(24)B→=γvc2q4πε0r´3(-e→yz+e→zy)=1c2(1-v2c2)q(-e→yvz+e→zvy)4πε0[(1-vv2c2)r2+(v→⋅r→c)2]32=1c2(1-v2c2)qv→×r→4πε0[(1-v2c2)r2+(v→⋅r→c)2]32=1c2v→×E→(25)式中θ为v→与r→之间的夹角。3s系中带电粒子沿任意方向运动轨迹的特征我们把点电荷放在S′系的原点,只是S′系相对于S系以速率v沿任意方向运动,此时任何运动电荷产生的电场和磁场在两个参考系中的变换关系不再是(23)式了,但是我们可以推广前面的方法得出任意方向匀速运动点电荷的电磁场在两参考系中的变换关系:因为v→=vxe→x+vye→y+vze→z,由相对论知在S′系中观察得x′边的长度缩短到b1-βx21-βy2‚y′边的长度缩短到b1-βy2,是同时发生的,此时可以参看图1,图2。q=σb2=σ′b21-βx21-βy2σ′=σ1-βx21-βy2=γxγyσ所以Ez´=σ′ε0=γxγyσε0=γxγyEz(26)同理可得E′y=γxγyEyE′x=γyγzEx(27)式中βxvxc‚βy=vyc‚βz=vzcγx=11-βx2‚γy=11-βy2‚γz=11-βz2现在因为电荷静止在S′系中,在S系中带电粒子沿任意方向以v→=vxe→x+vye→y+vze→z运动,则有Ex=γyγzE′x,Ey=γxγzE′y,Ez=γyγzE′z(28)由B→=1c2v→×E→=1c2|e→xe→ye→zvxvyvzExEyEz|Bx=1c2(vyEz-vzEy)=1c2(vyγxγyEz´-vzγxγzEy´)得∶By=1c2(vzEx-vxEz)=1c2(vzγyγzEx´-vxγxγyEz´)(29)Bz=1c2(vxEy-vyEx)=1c2(vxγxγzEy´-vyγyγzEx´)所以:Ex=γyγzqx′4πε0r´3Ey=γxγzqy′4πε0r´3(30)Ez=γyγxqz′4πε0r´3Bx=q4πε0c2r´3(vyγxγyz′-vzγxγyy′)By=q4πε0c2r´3(vzγzγyx′-vxγxγyz′)(31)Bz=q4πε0c2r´3(vxγxγzy′-vyγzγyx′)现在把场的表达式用S系中的坐标表出。同样设粒子经过S系原点的时刻为t=0,并计算此时刻的场。由洛仑兹变换得x′=γxx,y′=γyy,z′=γzz(32)r′=x´2+y´2+Ζ´2=γx2x2+γy2y2+γz2z2(33)将(35),(36)式代人(33)式得E→=γxγyγzqr→4πε0[(γxx)2+(γyy)2+(γzz)2]3/2=11-βx211-βy211-βz2⋅qr→4πε0[x21-βx2+y21-βy2+z21-βz2]3/2(34)=11-vx2c211-vy2c211-vzc2⋅qr→4πε0[x21-vx2c2+y21-vy2c2+z21-vz2c2]3/2将(32),(33)式代人(34)式得Bx=γxγyγzq(vyz-vzy)4πε0[(γxx)2+(γyy)2+(γzz)2]3/2c2By=γxγyγzq(vzx-vxz)4πε0[(γxx)2+(γyy)2+(γzz)2]3/2c2(35)Bz=γxγyγzq(vxy-vyx)4πε0[(γxx)2+(γyy)2+(γzz)2]3/2c2所以B→=γxγyγzqv→×r→4πε0[(γxx)2+(γyy)2+(γzz)2]3/2c2=11-βx211-βy211-βz2⋅qv→×r→4πε0[x21-βx2+y21-βy