静电平衡状态下导体电荷分布的分析

静电平衡状态下导体电荷分布的分析

在静电平衡下，祖母的电压分布是一个复杂的问题。在普通物理教材中，这一部分的内容只是简单地解释和例子。要让学生清楚和全面理解并会解决分析实际问题,存在一定难度。这里运用导体静电平衡的性质、电场线的性质、高斯定理,对静电场中的几种情况下导体的电荷分布进行定性或定量的分析、举例,将有助于解决导体在静电场中的问题。一、导电内部场的强度导体在电场中发生静电感应现象,达到静电平衡时,导体内部电场强度处处为零,这是静电平衡的条件。若导体内部场强不为零,自由电子在电场力的作用下必定作定向运动,那就不是静电平衡。导体处于静电平衡时具有如下的性质。1.导电平衡的条件c在导体内或导体表面任取两点A、B,这两点间的电势差为,而满足静电平衡的条件是导体内部场强为零E=0,场强的线积分也必为零,所以UA-UB,表明导体上所有点的电势都相等。2.没有内部净荷，净荷仅分布在导管表面在导体的内部作任意闭合曲面,根据高斯定理可以证明,闭合曲面包围的电荷的代数和一定为零,所以导体带的电荷只能分布在导体的外表面。3.在主干道表面附近附近，强垂直于主干道表面根据高斯定理可证,导体表面附近场强的大小与表面对应点的电荷密度成正比,可以表示为:二、静电平衡线下导电体的电荷分布电场线的性质在一定程度上正是高斯定理和环路定理这两个静电场基本规律的形象体现,由此可知,根据电场线的性质可直观地分析静电平衡条件下导体的电荷分布。1.电场线源于正电荷(或无限远),终于负电荷(或无限远),在无电荷处不中断不相交。2.电场线不构成闭合曲线,即沿电场线方向电势降低。这一性质是静电场环路定理的必然推论。三、在静电平衡中，对六大郎的电载荷进行分布分析1.导电平衡时金例1.证明如图3.1-1所示静电感应现象中,靠近点电荷A一侧的感应电荷量的绝对值不大于点电荷电量q。证明:设导体B上远离A一侧感应出电荷量为q′,靠近A一侧感应电荷量为-q′。根据电场线性质,电场线只能始于正电q、q′或∞、或,终于负电-q′或∞。又根据静电平衡的性质,B为等势体,电场线不可能始于q′而终于-q′,因为同一电场线上不能有电位相等的点,所以始于q′的电场线只能终于∞,导体B的电势高于无限远的电势UB>U∞,于是终于-q′的电场线就不可能始于∞。由此可得,终于-q′的电场线全部始于q。再根据电场线的性质,终于-q′的电场线条数-q′/ε0≤始于q的电场线条数,q/ε0,故q′≤q。例2:孤立不带电导体球放在无穷大均匀电场中和点电荷电场中,试分析导体接地与不接地时,达到静电平衡时电荷的分布情况。电荷分布情况分析:(1)导体处于静电平衡时,感应出的电荷只能分布在球体的外表面上。若导体放在无穷大均匀电场中,球体两侧将分别感应出正负电荷,总电荷的代数和为零。而两侧面电荷的分布规律可通过拉普拉斯方程证明其按导体球的中轴线按照余弦规律对称分布,其接地与否不影响电荷的分布,因无穷大电场中任意点都可看成既远离正电荷又远离负电荷的零电势点,电子不会由零电势流向零电势点,(2)若导体球放在点电荷电场中,因点电荷的电场是非均匀电场,为保证导体球上电荷的分布形成的场与点电荷形成的场在导体球内叠加为零,达到静电平衡。所以靠近点电荷的部分密度大,但所占的表面空间小;远离点电荷的部分电荷密度小,所占表面空间大。3.1-2(b)。(3)导体从不接地到接地,电子将从大地流向导体,流上来的电子不仅仅中和掉原来左侧的正电荷,还要使其带上与之相反的负电荷;同时还要补充右侧的负电荷量,从而电荷的重新分布仍保持导体内部场强为零,处于静电平衡,导体为等势体。并非导体接地后表面电荷都为零,导体接地后满足一个条件,那就是电势为零。如图3.1-2(c)。例3在图3.1-2(d)中,求证导体表面上感应电荷总量为。R为球的半径,L为点电荷到球心的距离。2.壳外电场的分布及场强的控制静电平衡时,导体壳内表面没有净电荷,净电荷只分布在外表面。由此得出:空腔导体内无带电体时,不论壳外带电情况如何,腔内空间和导体内部各点场强必然为零,壳外全部电荷(包括壳外表面感应电荷)在导体外表面以内任一点贡献的场强为零。(2)空腔导体内存在带电体的情况根据电场线既不能在无电荷处中断,又不能穿过导体(导体内部E=0),所以壳内起于电荷q的电场线只能终于壳的内壁,故壳内壁必然感应出与q等量的异性电荷q1=-q0同样用高斯定理可以证明,在导体内包围内壳作高斯面,S蓦E軑·dS軋=q+q1q0=0。q1=-q0若壳为中性,导体内、外壁电荷代数和必然为零,故外表面的总电量为q2=q,在壳外引起电场。根据对称性,外表面电荷均匀分布。如图3.2-2(a)。这时,q于q1在壳内表面以外产生的场强为零;而外表面感应出的电荷q2在外表面以内产生的场强为零。若球壳带电为Q,Q和q2都分布在外表面上,且(Q+q2)的分布使其在外表面之内产生的场强处处为零,满足静电平衡。当球壳接地时,由于导体是等势体,同一电场线不能在导体上任意两点起终,也不能起于无限远而终于无限远,接地壳和无限远等电位,所以壳外壁不可能有电场线,即壳外无电场。如图3.2-2(b)。当壳内电荷偏心时,如图3.2-2(c)内部电荷分布随之而改变,出现不均匀分布,以保证点电荷q与壁内感应电荷在内壁之外任一点的合场强为零。而根据电动力学的“唯一性定理”,要保证外表面电荷在导体内部场强仍为零,外壁电荷分布仍均匀分布,与点电荷在球心时完全相同。这一规律表明,壳内电荷的变化决定壳内表面电荷的分布;当壳内带电体电量一定时,壳外电荷的分布由壳外壁的形状及壳外空间带电体的电量、形状和配置(壳外有带电体情况)决定,但都必须保证导体内部场强为零。(3)空腔导体内外都有电荷且接地根据前面的分析可知。腔内各点场强由腔内电荷和内表面的感应电荷的分布决定,接地后,其内部场强不影响外部;而外部带电的情况只影响球壳外表面的电荷分布及场强的变化,对壳内空间无影响。静电平衡状态下,接地空腔导体壳内外场强具有独立性。如图3.2-3(a)例4.两块大小相同的无限大平行金属板A、B,所带电荷为1、2,略去边缘效应,求每个板面的面电荷分布。分析:由于略去边缘效应,由对称性可知,各面上的电荷都是均匀分布的,因此两板间和两板外的电场必然均匀,电场方向垂直于板面。解:设四个平面的面电荷密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4,垂直板面单位矢量为∧n,作如图所示的圆柱形高斯面。在导体中任取一点P,根据无穷大平面均匀电荷分布产生的场强公式和电场叠加原理、静电平衡原理,P点场强为:按电荷守恒