电像法中点电荷与导体球间的相互作用

电像法中点电荷与导体球间的相互作用

1点电荷与半导体球的相互作用当存在于铜室时，根据静电平衡的特点，电压分布在铜的表面形成。因此，在静电问题上，经常会发现点电压和面电压之间的相互作用，其中最常见的是点电压和体球之间的相互作用。解决这类问题,当然可以设想采用这样的方法:先把带电面分割成许多小的带电面元,把每个面元看成一个点电荷,求出每一个面元和点电荷的相互作用力之后,再应用矢量合成的方法,求出总的作用力.但是,这种方法比较繁杂,有时甚至行不通.因为,我们事先不可能知道面电荷的分布情况.比如,当把一个导体球放入点电荷的电场中以后,球表面将产生感应电荷.感应电荷在导体球表面上的分布情况要随着导体球相对点电荷的位置、导体球半径以及导体球接地与否等情况不同而异.因此,我们必须寻找一种较为简便的方法.本文运用电动力学中的电像法来讨论点电荷与导体球间的相互作用问题.电像法需要人为地引入一个(有时不只一个)假想的点电荷,叫做像电荷.我们使它带有一定的电量并放在一个特殊的位置上.如果它的电量和位置取得合适,这个像电荷对外产生的电场将完全可以代替导体球产生的电场.因此,引入像电荷之后,原来一个点电荷与导体球的相互作用问题,就可以转化为点电荷和像电荷的相互作用问题.这样会使问题的求解大大简化.2像荷位置的确定在与点电荷q(设q>0)距离为d的地方,放入一个接地导体球,球的半径为a(见图1).由于静电感应,球上的一部分正电荷被q排斥,它们沿导线入地,一部分负电荷被吸引,移到朝向q的表面上,于是在球表面上的近q端出现面电荷分布.代替这个面电荷的像电荷如何呢?让我们先分析一下,这个面电荷的分布特点.1)面电荷为负值,且以Ox轴对称分布.如果有像电荷存在,这个像电荷的量值一定为负,且一定位于Ox轴的某点上;2)由于q与面电荷的共同作用,使得球面上各点的电势为零.根据这样的分析,我们可以大胆设想在距O为b的Ox轴上某点,有一个像电荷,其电量为q′,q与q′的联合作用,必须保证球面上任意一点具有零电势.显然,q′和b这两个量的大小必须满足这个零电势的前提.在球表面上,取任意一点A,设OA和Ox夹角为α,A点距q和q′分别为r和r′.依照要求,A的电势必须满足如下关系U=14πε0(qr+q′r′)=0(1)即q√d2+a2-2dacosα=-q′√b2+a2-2bacosα(2)将式(2)变换形式,有q2q′2=d2+a2-2dacosαb2+a2-2bacosα(3)进一步将式(3)变换形式,有q2q′2=db(d+a2d-2acosαb+a2b-2acosα)(4)因为整个球面都必须是零电势,所以不管A取在表面上哪一点,式(4)都必须成立,所以不管α为任何值,式(4)都必须成立.然而,当我们取不同的A点时α值是变化着的,要保证式(4)不受影响,必须有如下关系d+a2d-2acosα=b+a2b-2acosα(5)q2q′2=db(6)由式(5)解二次方程,可以计算出b的大小,b=a2d,从而确定了像电荷的位置(在解方程中,还可以得到b的另一个解,因不符题意,故舍去).把所得到的b代入式(6),又可以解出像电荷的电量为q′=-adq.从以上两个结果可知,q处在球外,所以d>a,因此b<a,像电荷的位置一定在导体球的内部,且电量的绝对值小于q.当q向球面移近时,像电荷也向球面方向移动,其电量的绝对值同时增大;反之,当q远离导体球时,像电荷向球心O移动,其电量的绝对值逐渐变小.这个像电荷q′只有对球外空间才有意义.q和导体球间的相互作用力就是q与q′间的吸引力,按库仑定律,这个引力大小为F=14πε0qq′(d-b)2=-14πε0adq2(d2-a2)23像荷的总量和位置设有一个原来不带电的绝缘导体球,在它的旁边,我们移入一个点电荷q(设q>0),q与球心O距离为d.由于q的引入,导体球的表面上将产生感应电荷.一部分负电荷受到q的吸引,移到与q靠近的球表面上来;另一部分等量正电荷被排斥到远端表面上去,于是在整个球面上将出现密度不同、符号不同的面电荷分布.在这种情况下,能不能找到代替这个面电荷的像电荷呢?我们先对这个面电荷分布的特点作一分析.显然,这个面电荷分布具有如下特点.1)整个面电荷分布仍然以Ox轴对称,因此,如果能找到像电荷,它一定在Ox轴上;2)整个球上的面电荷总和是零,因此像电荷的总量也是零;3)导体球面上各点具有等电势,所以像电荷的大小和位置应该选择适当,使它们和点电荷q在导体球面上各点上的总电势处处相等.从以上两个例子的结果得到启发,我们不妨先设想在球内放一个与本文第2节中例子中一样的像电荷q′,即q′=-adq,b=a2d.由于q′的引入,没有破坏球面的等势性,但是却违反了第二个特点(像电荷的总量为零).为了解决这个矛盾,我们设想在球心O上再放一个像电荷q″,使q″的大小与q′等量异号,即q″=-q′.引入q″以后,不但保持了球的总电量为零的要求也保证了球面的等势条件,所以是可行的.在我们研究球外空间的电场问题以及求解q和这个绝缘导体球的相互作用力时,q′和q″可以代替球面电荷.所以,一个点电荷q在一个绝缘导体球内同时造成了两个像电荷,一个在球心O,其电量大小为q″=adq;另一个在Ox轴上,距球心为b=a2d,电量为q′=-adq.像电荷q′和q″也只有对球外空间才有意义.q和导体球间的相互作用力就是q分别与q′和q″之间的作用力之和,按库仑定律,这个作用大小为F=14πε0qq′(d-b)2+14πε0qq″d2=-14πε0adq2(d2-a2)2+14πε0aq2d3前面,我们所讨论的绝缘导体球不带电,如果事先我们使它带有一定电量Q又如何呢?显然,如果我们能找到像电荷,它们应该满足:1)像电荷总量应为Q;2)像电荷位置应该在Ox轴上;3)像电荷和q在球面各点上的总电势应该保持一个常数.稍加考虑就可以知道,这种情况与前一种情况类似,只要在球心像电荷的电量再加一个Q即可.即q在一个带有电量Q的绝缘导体球内感应两个像电荷,一个位于Ox轴上,距球心O为b=a2d,电量为q′=-adq;另一个在球心,其电量为q″=adq+Q,注意,Q可正也可负.4导电球面荷的分布在上面三个例子的基础上,把情况稍加改变,我们继续讨论另一种情况.把一个导体球移到点电荷q的旁边,然后再把这个导体球和一个电动势为ε的电源相连.在这种情况下,q在导体球内产生的电像是什么样的呢?为了说明这个问题,我们先介绍一个孤立的绝缘导体球的电势问题.假如,设法使一个孤立的绝缘导体球带有一定的电量Q,经计算,相对于电势为零的无穷远点来说,它的电势值将为U=Q4πε0a,a是它的半径.同样,如果我们设法使一个孤立导体球的电势升高到U,那么必须给它充电,其充电电量为Q=U·4πε0a.我们回过头来再分析本例.在这个导体球的表面上,将分布有面电荷,面电荷的出现由两方面的原因造成,一个原因是q的感应;另一个原因是电源的充电.我们着重讨论后一个原因.当导体球与电源连接并达到静电平衡以后,导体球面一定达到等电势,这个电势值就是U=ε.由此可见,电源对导体球的作用,相当于充入导体球一部分电量.如果这个导体球与地面足够远,不考虑它和地面之间的相互感应,那么,在q和电源的共同影响下,球表面的面电荷应具备如下特点:1)面电荷的分布仍然以Ox轴对称;2)球面应保持等电势,其电势值为U=ε.所以,像电荷与q的联合作用必须保证球面的电势为ε.与本文第3节中例子的处理方法类似,我们仍然可以在距球心为b处放一个像电荷q′,b=a2d,q′=-adq‚q′和q的联合作用,可以保证球面的电势为零.但是本例要求球面具有电势ε,所以必须同时在球心O处再放一个像电荷q″,根据前面分析可知q″=4πε0aε.由于q″的引入,保证了球面具有等电势U=ε.由此可见,q′和q的共同作用,使球面先保持零电势,而q″的引入将又使球面的电势从零上升为ε.另外,我们还可以看到,相当于电源对导体球充了电,当没有点电荷q存在时,充电量为4πε0aε,但由于q的影响,电源对它的总充电量为q″+q′=ε4πε0a-adq.或者,可以理解为由于q的斥力作用,使得电源对它的充电变得困难,于是导体球上不能获得U=