考研数学三(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)-试卷18820

考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_________________________________________________________解析：2.设随机变量X，X，…，X相互独立，S=X+X+…+X，则根据列维一林德伯格中心极限12nn122n当n充分大时S近似服从正态分布，只要X，X，…，X定理，n12n（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X，X，…，X独立同分布而且各个随机12n变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：在．选项(A)不成立，因为X，X，…，X有相同期望和相同的分布，所以不满足列(B)和(D)虽然满足同分布，但数学方差未必存在，因此般也不能保证中心极限定理成立．3.假设随机变量X，X，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比均匀分布的数学期望和方差都存方差，但未必有1条件；而选项2n维一林德伯格中心极限定理的期望和也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一12雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X，X，…，X，…12nB.X+1，X+2，…，X+n，…12nC.X，2X，…，nX，…√12nD.解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X，…，X，…，还是X+1，X+2，…，X+n，…，X，2X，…，nX，…11212n2n以及X，都是相互独立的；第二个条件要求1各随机变量的期望与方差都存在．由于EX=λ，DXn=λ，E(X+n)=λ+n，D(X+n)=λ，E(nX)=nλ，D(nX)=n2λ，．因此四个备选答案都nnnn满足第二个条件；第三个条件是方差DX，…，DX，…有n公共上界，即DX＜c，c是与n无关的常数．对n1n于(A)：DX=λ＜λ+1；对于(B)：D(X+n)=DX=λ＜λ+1；对于(C)：D(nX)=n2DX=n2λ没有nnnnn公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．4.设随机变量序列X，…，X，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其n1数学期望，只要{X，n≥1}n（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，解析：解析：辛钦大数定律要求：{X，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条n件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．5.设X表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则n（分数：2.00）A.B.C.√D.解析：解析：由于，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选(C)．6.设随机变量序列X，X，…，X，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收12n敛于其数学期望，只要{X，n≥1}n（分数：2.00）A.有相同的期望．B.有相同的方差．C.有相同的分布．D.服从同参数p的0．1分布．√解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X，X，…，X，…相互独立的条件之外，还要求12nX，X，…，X，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D).12n7.设随机变量X，…，X，…相互独立，记Y=X-X(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时2n12依概率收敛到零，只要{X，n≥1}n2n-1n（分数：2.00）A.数学期望存在．B.有相同的数学期望与方差．√C.服从同一离散型分布．D.服从同一连续型分布．解析：解析：由于X相互独立，所以Y相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数nn学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．，上若EX=μ，DX=σ2NN存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意ε＞0有8.设X，X，…，X，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为12n极限的是（分数：2.00）A.B.C.√D.解析：解析：由于X，X，…，X，…相互独立同分布，其期望n和方差都存在，且以Ф(x)12为极限，故应选(C)．9.设随机变量序列X，X，…，2X，…相互独立，EXμ=，DX=2，i=1，2，…，令=P{Yniin1＜p}，则（分数：2.00）A.{X：n=1，2，…}满足辛钦大数定律．nB.{X：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律．√nC.p可以用列维一林德伯格定理近似计算．D.p可以用拉普拉斯定理近似计算．解析：解析：由于X，X，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DY=2＜l(li12＞2)，因此{X：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律，应选(B)．n10.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F(3，4)满足P{X＞F(3，4)}=α，αα若P{X≤x}=1-α，则x=（分数：2.00）A.√B.C.D.解析：解析：由P{X≤x}=1-α可知，P{X＞x}=α，即x=F(3，4)．又由F(n，n)=．故α1-α12选(A)．二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于1.（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：7／2）解析：解析：设X，X，…，X是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望n12EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．12.设随机变量序列X，…，X，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ)，记Y=X-X，21nn2n2n-1根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2σ2．）解析：解析：由于{X，n≥1}相互独立，故Y=X-X(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，nn2n2n-1所以=DY+(EY)2=2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．nn13.随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X，X，…，X，对任何ε＞0，，则12na=，1b=．2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：3）填空项1:__________________（正确答案：11）解析：解析：依题意X，…，X相：互独立且有相同的概率分布：P{X=k}=(k=1，2，3，4，1ni5)，与相同的数学期望：EX=i(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，依概率收敛于3，即a=3．同理，依概率收敛于11，即b=11．14.设随机变量序列X，…，X，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，则=1(结果用标n1准正态分布函数Ф(x)表示)．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于X相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，所以EX=0，DX=n，根据独立nn同分布中心极限定理，对任意x∈R有15.设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：0.84）解析：解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率8413)=0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．≈Ф(3)-Ф(-1)=Ф(3)-[1-Ф(1)]=0．9987-(1-0．16.设X，X，…，X是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均100值，则12P{≤4．392}≈1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：0.975）解析：解析：由于EX=DX=4，．因为n=100充分大，故由列维一林德伯格定理知，近kk似地服从正态分布N(4，0．22)．因此，有17.设随机变量X，X，…，X，Y，Y，…，Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，12n12niY服从参数为的指数分布，i=1，2，…，n，则当n分充大时，近似服从1分布，其分布i参数为2与3．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：正态，2nλ，n(λ+λ2)）解析：解析：X+Y，X+Y，…，X+Y相互独立同分布．因EX=DX=λ，EY=λ，DY=λ1122nniiii2，故E(X+Y)=2λ，D(X+Y)=λ+λ2，当n分充大时，近似服从正态分布，其分布参数iiii18.设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X，X，…，X的联合概率密度f(x，x，…，212n1x)=1.n（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X的概率密度由于X，X，…，X相互独立，n且与总体X服从同一指数分12布，因此19.设总体X-P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X，X，…，X的样本均值的概率分布为1．12n（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当X，X独立时，X+X～P(2λ)，继而有X，X，…，121212X独立同为P(λ)分布时，的概率分布为n20.设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体X的简单随机样本值，则总体X的经验分布函数F(x)=1.n（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为21.已知χ2～χ(n)，则E(χ2)=．12（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：n）解析：解析：由χ分布的典型模式，而X～N(0，1)，且X相互独立，由于=D(X)+[E(Xiii2)]2=1+0=1，所以i三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_________________________________________________________解析：23.设X，X，…，X，…相互独立，n其概率分布为12（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：EX=0，DX=i，对任何i=l，2，…DX＜1，且题设X，X，…，X，…i12ni相互独立，因此随机变量序列X，X，…，X，…满足切比雪夫大数定律，即对任何δ＞0，12n因此当n→∞时，Y依概率收敛于0．)n解析：24.对某一目标进行多次同等规模的标准差是1．3，计算在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标（分数：轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为2，的概率．2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：设第i次轰炸中命中目标的炸弹数为X，100次轰炸中命中目标的炸弹总数为X，i则X=X+…+X，且X，X相互独立同分布．EX=2，DX=1．32，EX=200，DX=169．应用独11001100ii立同分布中心极限定理，X近似服从正态分布N(200，169)，则有P{180＜X＜220}=P{｜X-200}＜20}=≈2Ф(1．54)-1=0．876．)解析：25.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：(Ⅰ)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：(Ⅰ)假设置表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1，…，100，则X，…，X相1100互独立同分布，EX=50，DX=52．记一袋螺钉的重量为S，则应用列维-林德伯格中心极限100ii定理可知S近似服从正态分布N(5000，502)，且P{S＞5100}=1-P{S≤5100}=10010010002275．(Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数≈1-Ф(2)=0．n=500，p=0．02275的二项分布．EY=11.375，DY=11.116．应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ=11．116的正态分布，于是)2解析：26.假设随机变量X，…，X相互独立，n服从同参数λ的泊松分布．记S=，当n充分大时，1求S的近似分布．nn（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于X服从泊松分布，故EX=DX=λ，又因X，…，X相互独立，所以iii1n根据独立同分布的列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S-n近似服从正态分布N(nλ，nλ)，n因此S近似服从正态分布N(nλ+n，nλ)．)N解析：27.假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为μ，标准差为4．求100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(-1，1)内的概率．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：设100名中第i名运动员身高为X，i=1，…，100，可以认为X，X，…，i12X相互独立同分布，且EX=p，DX=16，，应用独立同分布中心极限定理，近似服从i100i正态分布N(μ，0．42)