不等式及其性质（原卷版）

TOC\o"13"\h\z\u题型1用不等式(组)表示不等关系 2题型2实数的大小比较 3◆类型1作差法 4◆类型2作商法 5题型3不等式的性质及应用 5题型4代数式的取值范围问题 7◆类型1直接法 7◆类型2待定系数法 8题型5证明题 9知识点一.基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二.不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正题型1用不等式(组)表示不等关系【例题1】（2023秋·高一课时练习）（1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？【变式11】1.（2023秋·高一课时练习）用不等式表示下列关系.(1)x为实数，而且大于1不大于6；(2)x与y的平方和不小于2且不大于10.【变式11】2.（2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.【变式11】3.（多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表矩形菱形圆总数A531055B12613125该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（x,y,z∈NA．5x+3y+10z≥55 B．5x+3y+10z≤55C．12x+6y+13z≤125 D．12x+6y+13z≥125【变式11】4.（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.题型2实数的大小比较【方法总结】比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法：（1）作差比较法；若a-b≥0，则a≥b；a>0，b>0，且ab≥1时，◆类型1作差法【例题21】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知a=-xA．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a【变式21】1.（2023·全国·高一课堂例题）已知M=10+12A．M>N B．M=N C．M<N D．不能确定【变式21】2.（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（

）A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定【变式21】3.（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）设互不相等的三个实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a【变式21】4.（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）已知a>0,b>0，M=a+bA．M>N B．M<N C．M≥N D．M≤N【变式21】5.（2022秋·四川泸州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=b(1)请用a，b分别表示出CD，DE；(2)写出CD与DE的大小关系，并证明．◆类型2作商法【例题22】（2023·江苏·高一假期作业）已知a≥1，试比较M=a+1-a【变式22】1.（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2-b【变式22】2.（2023秋·全国·高一随堂练习）若a>b>0，求证：aa【变式22】3.（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q=1a【变式22】4.（2021·高一课时练习）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为．题型3不等式的性质及应用【方法总结】在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；不等式的性质（1）如果a>b，那么b<a，该性质称为对称性；（2）如果a>b,b>c，那么a>c，该性质称为传递性；（3）如果a>b，则a+c>b+c，反之也成立，该性质称为可加性；（4）如果a>b,c>0，则ac>bc；如果a>b,c<0，则ac<bc；（5）如果a>b,c>d，则a+c>b+d；（6）如果a>b>0,c>d>0，则ac>bd；（7）如果a>b>0，n≥2，则an>b【例题3】（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果a，A．若a>b，则1a<1bC．若a>b,ab≠0，则1ab2>【变式31】1.（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知a,b∈R，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，则a2≠b2C．若a>b，则a2>b2【变式31】2.（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若a、b为实数，则“0<ab<1”是“a<1b或A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式31】3.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知命题p:x>1且y>2，命题q:x+y>3，则p是q的（

）A．充要条件 B．充分且不必要条件C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式31】4.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,A．若ab≠0且a<b，则1a>1bC．若a>b>0，c>d，则ac>bd D．若a<b<0，则a题型4代数式的取值范围问题【方法总结】方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解◆类型1直接法【例题41】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知1≤a≤4，-1≤b≤2，则3a-b的取值范围是（

）A．-13≤3a-b≤1 B．-1≤3a-b≤8C．-1≤3a-b≤13 D．1≤3a-b≤13【变式41】1.（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）若1<α<3，-2<β<4，则α-βA．-3,1 B．-3,3C．0,3 D．-3,5【变式41】2.．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知12<a<60,15<b<36，求a-b与ab（2）已知-π2≤α<β≤【变式41】3.（多选）（2023春·浙江嘉兴·高二校考期中）已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则（

）A．3<x+y<9 B．-1<x-y<3 C．2<xy<18 D．1【变式41】4.（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知1<a<4,2<b<8，分别求：(1)2a+3b的取值范围；(2)a-b的取值范围；(3)ab◆类型2待定系数法【例题42】（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5.则9a-c的取值范围（）A．-7,26 B．-7,26C．-1,20 D．-1,20【变式42】1.（2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足1≤x-y≤2，2≤x+y≤4，则4x-2y的取值范围是（

）A．3,12 B．5,10C．6,12 D．3,10【变式42】2.（2023春·河北保定·高二校联考期末）已知-3<m+n<3,1<m-n<5，则n-3m的取值范围是（

）A．-13,1 B．-16,4 C．-11,-1 D．-7,-5【变式42】3.（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？【变式42】4.（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足-1≤x+y≤1，1≤x+2y≤3，则x+3y的取值范围是？题型5证明题【例题5】（2023秋·高一课时练习）（1）已知a>b,e>f,c>0，求证：f-ac<e-bc；（2）若bc-ad≥0,bd>0.求证：a+bb【变式51】1.（2023秋·高一课时练习）（1）若a,b∈1,+∞，证明：（2）已知x∈R，a=x2+1【变式51】2.（202