相似三角形汇编-20210821134751

第1页（共1页）相似三角形汇编一．选择题（共14小题）1．（2021•锦州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．42．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2 B．△ADE与△ABC的面积比为1：3 C．△ADE与△ABC的周长比为1：2 D．DE∥BC3．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021•淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A． B． C． D．5．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.36．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（21）：1．其中结论正确的序号是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④7．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似8．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（）A． B． C．1 D．9．（2021•台湾）如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC10．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF11．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm12．（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，22020） B．（22021，22021） C．（22020，22020） D．（﹣22021，22021）13．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC，则AC的长为（）A． B． C．2 D．314．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共25小题）15．（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为．16．（2021•大庆）已知，则．17．（2021春•香坊区期末）若电梯运行是匀速的，某电梯从1层（地面）直达3层用了20秒，则乘坐该电梯从2层直达8层需要的时间是秒．18．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则．19．（2021•鞍山）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若，S△ABC＝13，则k＝．20．（2021•抚顺）如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（22）cm2.其中正确的是.（填写所有正确结论的序号）21．（2021•阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为．22．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）23．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝m．24．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，ADAB，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCGS△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是．25．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且，△DBE与四边形ADEC的面积的比．26．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．27．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F∠EDC，则CF＝．28．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．29．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．30．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为m．31．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是．32．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．33．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．34．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为．35．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，则的长为；④；⑤若EF＝6，则CE＝2.24．36．（2021•上海）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，，则．37．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BCAB＝3BD，则AD：AC的值为．38．（2021•遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH•BD；⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．你认为其中正确是．（填写序号）39．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则．三．解答题（共21小题）40．（2021•杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？41．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：DF2＝EF•AB．42．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG，求⊙O的半径．43．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的长．44．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．45．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD，求线段DM的长．46．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？47．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．48．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．49．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若，AE＝4，求BC的长．50．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CDAC，求的值．51．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．（1）求证：∠PBA＝∠OBC；（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．52．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3PA，求的值．53．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：FC+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．54．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．55．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．56．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．57．（2021•青海）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．58．（2020•安顺）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．59．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．（1）请找出一对相似的三角形并证明．（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．60．（2020•资阳）如图，AB是⊙O的弦，直径CM⊥AB于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使∠BAD＝2∠BCD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若DE：OE＝5：1，且⊙O的半径是，求弦AB的长．

相似三角形汇编参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2021•锦州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．4【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．【解答】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴ABBC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴，∵CE＝2DE，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE，故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题的关键．2．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2 B．△ADE与△ABC的面积比为1：3 C．△ADE与△ABC的周长比为1：2 D．DE∥BC【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．3．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．（2021•淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A． B． C． D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．【解答】解：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴1，即1，∴．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．5．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得，即可求解．【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴，即，解得：CD＝10.5，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE是解题的关键．6．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（21）：1．其中结论正确的序号是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AMFM，推导得出AM＝EMFM，从而EF＝EM+FM＝（1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（21）：1，判断出④正确．【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AMFM，∴EF＝EM+FM＝（1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（）：1，又∵四边形BCEF是正方形，∴S四边形BCEF＝2S△EFB，∴S四边形BCEM：S△BFM＝（21）：1，故④正确，∴正确的是：①②④，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．7．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似【考点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理；相似三角形的判定．【分析】利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，故选：D．【点评】考查了命题与定理及相似三角形的知识，解题的关键是了解平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法，难度不大．8．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（）A． B． C．1 D．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，首先证明AM＝CN，再利用平行线分线段成比例定理求出CN＝a，推出AM＝a，BM＝BN＝2a，可得结论．【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵CN∥AD，∴，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴，故选：A．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为3a，求出AM＝a，BM＝BN＝2a．9．（2021•台湾）如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC【考点】菱形的性质；平行线分线段成比例．【分析】根据平行四边形的性质求出CE，进而求出BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出DF、CF，比较大小得到答案．【解答】解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴，即，解得：DF，∴FC＝17，∵9＞8，∴CF长度最长，故选：A．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、菱形的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．10．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF【考点】正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，从而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正确；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EFAE，则B不正确；若AF2＝EH•EF成立，可得EHEF，即H是EF的中点，而H不一定是EF的中点，故C不正确；由AB∥CD，由平行线分线段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故D正确．【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正确；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EFAE，∴AE：EF＝1：，故B不正确；若AF2＝EH•EF成立，∵AE：EF＝1：，∴EHAF，∴EHEF，即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，故C不正确；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故D正确；故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，三角形的旋转；抓住三角形旋转的本质，旋转前后的三角形全等，得到△AEF是等腰直角三角形是解本题的关键．11．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】相似三角形的应用．【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，即相似比为，∴，∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，∴，，∴AB＝3，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．12．（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，22020） B．（22021，22021） C．（22020，22020） D．（﹣22021，22021）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的性质．【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，故A2021在第四象限，且OA2021＝22021，画出示意图，即可得到答案．【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OHOA2021＝22020，A2021HOH22020，∴A2021（（22020，22020），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，涉及等边三角形、30°的直角三角形等知识，解题的关键是确定A2021所在的象限．13．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC，则AC的长为（）A． B． C．2 D．3【考点】相似三角形的应用．【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的长，利用数形结合的思想解答．14．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A． B． C． D．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFM＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CGa，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MHa，∴BH＝2aaa，∴，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共25小题）15．（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为22或4．【考点】矩形的性质；黄金分割．【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3，求出矩形的周长即可；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为＝2，求出矩形的周长即可．【解答】解：分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为（1）＝3，∴矩形的周长为：2（1+3）＝4；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（1）2，∴矩形的周长为2（1+2）＝22；综上所述，该矩形的周长为22或4．【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．16．（2021•大庆）已知，则．【考点】比例的性质．【分析】设k，分别求出x、y、z的值，代入所求式子化简即可．【解答】解：设k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴，故答案为．【点评】本题考查比例的性质，利用比值相等的特点，将已知等式进行转化得到x＝2k，y＝3k，z＝4k是解题的关键．17．（2021春•香坊区期末）若电梯运行是匀速的，某电梯从1层（地面）直达3层用了20秒，则乘坐该电梯从2层直达8层需要的时间是60秒．【考点】比例的性质．【分析】设乘坐该电梯从2层直达8层需要的时间是为t秒，利用电梯运行是匀速的，则，然后利用比例性质求出t即可．【解答】解：设乘坐该电梯从2层直达8层需要的时间是为t秒，根据题意得，解得t＝60，所以乘坐该电梯从2层直达8层需要的时间是60秒．故答案为60．【点评】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）进行计算．18．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴，∴（）2，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．19．（2021•鞍山）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若，S△ABC＝13，则k＝18．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．∵AB∥x轴，∴△DBE∽△OCE，∴，∵，∴，设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，∴BD，∴AB＝AD+DB，∵S△ABC13，∴ab，∵S矩形ODBF＝BD•OD18，又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝18，故答案为18．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，利用相似三角形的性质，通过设参数把矩形面积和三角形ABC的面积互相联系起来是解决本题的关键．20．（2021•抚顺）如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（22）cm2.其中正确的是①②④.（填写所有正确结论的序号）【考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】先证明△ACD∽△BCE，再用对应角∠EBC＝∠DAC，即可判断①②③，再由D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（1）cm，即可求得△ABD面积的最大值为（22）cm2，故可判断④．【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，∴tan∠BAC，tan∠BAC，∴BC＝2cm，CEcm，∴2，∴△ACD∽△BCE，故①正确；∵△ACD∽△BCE，∴∠EBC＝∠DAC，如图，记BE与AD、AC分别交于F、G，∵∠AGF＝∠BGC，∴∠BCG＝∠BFA＝90°，∴AD⊥BE，故②正确；∵∠EBC＝∠DAC，∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误；如图，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ABC＝30°，∴CHBCcm，∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（1）cm，∴△ABD面积的最大值为（22）cm2，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质，证明出△ACD∽△BCE是本题的关键．21．（2021•阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为2：1．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意构造直角三角形并根据其各边的长度证明△ABM∽△EDN，从而推出AB∥EN，再利用平行线的性质得到∠BAC＝∠EDC，进而推出△ABC∽△CDE，则两三角形的周长之比就是两三角形的相似比．【解答】解：如图，分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M、N，则∠AMB＝∠END＝90°，∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，∴，∴△ABM∽△EDN，∴∠ABM＝∠EDN，2，∴AB∥EN，∴∠BAC＝∠EDC，又∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△CDE，∴△ABC与△CDE的周长之比为2：1．故答案为：2：1．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形推出AB∥EN，再利用相似三角形的性质求解．22．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：∠ADE＝∠C（答案不唯一），使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．23．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝1.2m．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．【解答】解：∵BB1∥CC1，∴，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．24．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，ADAB，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCGS△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是①②．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】①根据AAS证△DFE≌△DCE即可得DF＝DC，根据ADAB，得出AB＝BE，即△ABE是等腰直角三角形，△AFD是等腰直角三角形，即AF＝DF＝DC，故①正确；②作FH⊥AD于H，得出F是BG的中点，即BF＝FG，连接CF，证△OEF∽△FCG即可得证OF：BF＝CE：CG，即②正确；③令AB＝1，分别求出DG和CG的长度，可得出CGDG，故S△BCGS△DFG错误，即③不正确；④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD，这是1对；△ABF∽△OEF∽△ADE，可组成3对；△BCG∽△DCE∽△DFE，又可组成3对；△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG，还可组成6对．综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确．【解答】解：①∵AE＝AD，ADAB，∴AEAB，即△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，即△AFD为等腰直角三角形，∴AF＝DF，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝∠DEC，又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴DF＝DC，即AF＝DC，故①正确；②由①知△AFD为等腰直角三角形，如图1，作FH⊥AD于H，连接CF，∴点H是AD的中点，∴点F是BG的中点，即BF＝FG＝FC，∵∠AEB＝45°，∴∠EFC＝∠ECF∠AEB＝22.5°，∴∠FCG＝∠FGC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵∠OFE＝∠AFB（180°﹣45°）＝67.5°，∠OEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCG＝∠FGC＝∠OFE＝∠OEF，∴△GFC∽△FOE，∴OF：FC＝EF：CG，又∵FC＝BF，EF＝CE，∴OF：BF＝CE：CG，即②正确；③令AB＝1，则AD＝AE＝BC，∴CE，∵∠GBC＝∠EDC，∠DCE＝∠BCG＝90°，∴△BCG∽△DCE，∴，即，∴CG＝2，∴DG＝1﹣（2）1，∴CGDG，∴S△BCGS△DFG不成立，即③不正确；④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD，这是1对；△ABF∽△OEF∽△ADE，可组成3对；△BCG∽△DCE∽△DFE，又可组成3对；△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG，还可组成6对，综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确．故答案为：①②．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形是解题的关键．25．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且，△DBE与四边形ADEC的面积的比．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先由，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明，又∠B＝∠B，可证明△DBE∽△ABC．进而可得相似比为，面积比，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．【解答】解：∵，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，∴，，∴，又∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC．相似比为，面积比，设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，∴S△DBE：S四边形ADEC．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△DBE∽△ABC得出相似比是解题的关键．26．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝24．【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GFAM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADMS△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDES△ABC，即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FMAM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．27．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F∠EDC，则CF＝6．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F∠EDC，∠CDH∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴，∴，∴CF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明EC∥AF．28．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为3米．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．29．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，由相似比，得到MN的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．30．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为2.7m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据DE∥CF，可得，进而得出CF即可．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.7．【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．31．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是l．【考点】三角形三边关系；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据材料，作出△ABC的外角平分线AE，可得到，从而求得BE＝10，又由∠EAD＝90°，可得点A在以DE为直径的圆上运动，可知DF＜AF＜EF，从而得到AF的取值范围．【解答】解：∵AD是△ABC的内角平分线，∴，∵BD＝2，CD＝3，∴，作∠BAC的外角平分线AE，与CB的延长线交于点E，∴，∴，∴BE＝10，∴DE＝12，∵AD是∠BAC的角平分线，AE是∠BAC外角平分线∴∠EAD＝90°，∴点A在以DE为直径的圆上运动，取BC的中点为F，∴DF＜AF＜EF，∴l，故答案为：l．【点评】本题考查三角形内角平分线、外角平分线的性质，由角平分线的性质，确定点A在以DE为直径的圆上运动，从而将AF的取值范围转化为点圆的最值问题是解题的关键．32．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【考点】平行线分线段成比例．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEFS△ABD，∵BDBC，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4，∴△AEF的面积的最大值，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△AEFS△ABD，属于中考常考题型．33．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．【考点】角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DFa，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DEDG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DFa，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DEDG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴，∴BH＝2，∴BD，∴AB＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．34．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为1：3．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得（）2，即可求解．【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴（）2，∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出EF的长是解题的关键．35．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是②④⑤.（写出所有正确结论的序号）①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，则的长为；④；⑤若EF＝6，则CE＝2.24．【考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质．【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则的长为，故③错误；④易得△EDF∽△BEF，则，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．【解答】解：①∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BE＞BC，∴AE＞BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＝∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，∴的长为，故③错误；④∵EF是⊙O的切线，∴∠BEF＝90°，又DE⊥AB，∴∠EDF＝∠BEF＝90°，∴△EDF∽△BEF，∴，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，∴BF＝10，由①AE＝BE＝8，∴∠A＝∠ABE，又∠C＝∠BEF＝90°，∴△BEF∽△ACB，∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，设BC＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．故答案为：②④⑤．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．36．（2021•上海）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，，则．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，，根据AD∥BC，可得，，即可得到．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵，∴，∴，∵AD∥BC，∴，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键．37．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BCAB＝3BD，则AD：AC的值为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出△ABC∽△DBA，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．【解答】解：∵BCAB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴,∴AD:AC,故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出△ABC∽△DBA．38．（2021•遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH•BD；⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．你认为其中正确是①②③④．（填写序号）【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】①由∠ABD＝∠FBE＝45°，可知∠ABF＝∠DBE；②根据△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，从而得到△ABF∽△DBE；③由②相似知：∠FAB＝∠EDB＝45°，可得AF⊥BD；④由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；⑤若CE：DE＝1：3，设CE＝x，DE＝3x，则BC＝4x，由勾股定理知BE，借助④的证明即可解答．【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，∴∠ABF＝∠DBE；∴①正确，符合题意；②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴，又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正确，符合题意；③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°，∴AF⊥BD；∴③正确，符合题意；④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴，∴BE2＝BD×BH，∵BEBG，∴2BG2＝BD×BH，∴④正确，符合题意；⑤∵CE：DE＝1：3，∴设CE＝x，DE＝3x，∴BC＝4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE，∵BE2＝BD×BH，∴17x2BH，∴x，∴DHx，∴BH：DH＝17：15，∴⑤错误，不符合题意；故答案为：①②③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．39．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得，所以，即．【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG∥DC，构造相似三角形是解题的关键．三．解答题（共21小题）40．（2021•杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【考点】正方形的性质；黄金分割．【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD，则AM＝AF1，DM＝AD﹣AM＝3；（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP1，DM＝AD﹣AM＝3．故AM的长为1，DM的长为3；（2）点M是AD的黄金分割点．由于，∴点M是AD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．41．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：DF2＝EF•AB．【考点】角平分线的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA＝∠DAC，再根据OA＝OD，可以得到∠OAD＝∠ODA，从而可以得到∠DAC＝∠OAD，结论得证；（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF＝EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．【解答】（1）证明：连接OD，如右图所示，∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAC＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；（2）证明：连接OF，BD，如右图所示，∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，∴∠DEF＝∠ADB＝90°，∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，∴∠EFD＝∠DBA，∴△EFD∽△DBA，∴，∴DB•DF＝EF•AB，由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠DAB，∴DF＝DB，∴DF2＝EF•AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．42．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG，求⊙O的半径．【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似判定△ADG∽△DCB，然后结合相似三角形的性质求得∠AGD＝2∠E，从而可得∠FCA＝∠AGD，然后结合等腰三角形的性质求得∠FCO＝90°，从而判定CF是⊙O的切线；（2）由切线长定理可得AF＝CF，从而可得∠FAC＝2∠E，得到AC＝AE，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【解答】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB，∴△ADG∽△DCB，∴，∵BD＝BC，∴GD＝GA，∴∠ADG＝∠DAG，又∵AE⊥AB，∴∠EAD＝90°，∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90°，∴∠GAE＝∠E，∴AG＝DG＝EG，∠AGD＝2∠E，∵∠FCA＝2∠E，∴∠FCA＝∠AGD＝∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠FCA+∠ACO＝90°，∴∠FCO＝90°，即CF是⊙O的切线；（2）∵CF是⊙O的切线，AE⊥AB，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E，∴AC＝AE＝6，又∵AG＝DG＝EG，在Rt△ADE中，AD，设⊙O的半径为x，则AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2，在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2，解得：x＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目难度中等，有一定综合性，属于中考常见题型，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质及利用勾股定理列方程是解题关键．43．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的长．【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OB，PM、PN切⊙O于点A、B，根据平行四边形的判定得出四边形PBCE是平行四边形，即∠P＝∠C＝45°，（2）CD＝6，由（1）得∠1＝∠P＝45°，根据勾股定理得出OE的长度，由相似三角形的判定得出△AED∽△APF，根据相似比可以得出PF的长．【解答】解：（1）证明：连接OB，∵PM、PN切⊙O于点A、B，∴OA⊥PM，OB⊥PN，∵CE∥PN，∴OB⊥CE，∵OB＝OC，∴∠C＝45°，∵BC∥PM，∴四边形PBCE是平行四边形，∴∠P＝∠C＝45°；（2）∵CD＝6，∴OB＝OA＝OD＝3，由（1）得∠1＝∠P＝45°，∴AE＝OA＝3，∴OE3BC，∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝33，∵ED∥PF，∴△AED∽△APF，∴，即，∴PF＝3．【点评】本题考查相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质．解本题要熟练掌握相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角