中考数学复习高频考点精讲精练（全国通用）：专题05 因式分解（解析版）

专题05因式分解一、因式分解意义【高频考点精讲】1．分解因式的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。 【热点题型精练】1．（2022•衡水模拟）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．答案：C．2．（2022•成都模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4解：设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a）＝x2+（a﹣6）x﹣6a，可得m＝a﹣6，6a＝12，解得：a＝2，m＝﹣4，答案：D．3．（2022•济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；答案：C．4．（2022•永州中考）下列因式分解正确的是（）A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b） C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；答案：B．5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）解：a2+2a＝a（a+2）．答案：A．二、提公因式法【高频考点精讲】1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。2．具体方法（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，字母的指数应取次数最低的。取相同的多项式，多项式的次数应取最低的。（2）如果多项式的第一项为负，一般要提出“﹣”，使括号内第一项的系数为正，提出“﹣”时，多项式的各项都要变号。【热点题型精练】5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）解：a2+2a＝a（a+2）．答案：A．6．（2022•石家庄模拟）将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（）A．a﹣1 B．（a﹣1）（a﹣2） C．（a﹣1）2 D．（a+1）（a﹣1）解：（a﹣1）2﹣a+1＝（a﹣1）2﹣（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣1）（a﹣2）．答案：B．7．（2022•广州中考）分解因式：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．答案：3a（a﹣7b）．8．（2022•遵义模拟）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是30．解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6，整理得：m+n＝5，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30．答案：30三、公式法【高频考点精讲】1．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做公式法。平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2．概括整合：（1）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。（2）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。【热点题型精练】9．（2022•河池中考）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2解：原式＝（x﹣2）2．答案：D．10．（2022•衡水模拟）若＝8×10×12，则k＝（）A．12 B．10 C．8 D．6解：方程两边都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝10．经检验k＝10是原方程的解．答案：B．11．（2022•荆门中考）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）答案：A．12．（2022•盘锦中考）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝y（x﹣y）2．解：∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．答案：y（x﹣y）2．13．（2022•黔东南州中考）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝2022（x﹣1）2．解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．答案：2022（x﹣1）2．14．（2022•绥化中考）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝（m+n﹣3）2．解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．答案：（m+n﹣3）2．四、十字相乘法【高频考点精讲】1．x2+（p+q）x+pq型式子（1）式子特点：二次项的系数是1；常数项是两个数的积。（2）x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）2．ax2+bx+c（a≠0）型式子（1）把二次项系数a分解成两个因数a1、a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1、c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1=b。（2）ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．【热点题型精练】15．（2022•贺州模拟）把多项式x2+2x﹣8因式分解，正确的是（）A．（x﹣4）2 B．（x+1）（x﹣8） C．（x+2）（x﹣4） D．（x﹣2）（x+4）解：x2+2x﹣8＝（x﹣2）（x+4），答案：D．16．（2022•上海模拟）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常数c的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2解：∵x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，∴c＝﹣3．答案：B．17．（2022•内江中考）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）．解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），答案：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．18．（2021•荆门中考）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为x（x+3）（x﹣1）．解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），答案：x（x+3）（x﹣1）．19．（2022•赣州模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4．∵A+B＝（x+2）2，∴A+B＝（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）x+4．∴3+a＝4．∴a＝1．（2）由（1）得：A＝x2+3x+5．∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6．∴x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3）．∴x2+（3﹣a）x+6＝x2﹣5x+6．∴3﹣a＝﹣5．∴a＝8．∴A+B＝x2+11x+4五、因式分解的应用【高频考点精讲】利用因式分解解决求值问题。利用因式分解解决证明问题。3．利用因式分解简化计算问题。【热点题型精练】20．（2022•黔西南州中考）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是6．解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．答案：6．21．（2022•广安中考）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为10．解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．22．（2021•绵阳中考）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝0．解：∴，∴（x﹣y）2＝3，∴x2﹣2xy+y2＝3，∴，∴，∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，＝，∴x2﹣y2＝0，答案：0．23．（2022•西宁中考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a