湖南省邵阳市隆回县2022-2023学年高二数学上学期期中暨线上课程摸底考试试题含解析

Page16湖南省邵阳市隆回县2022-2023学年高二数学上学期期中暨线上课程摸底考试试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量，，且与互相平行，则（）．A. B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据与互相平行，可设，列方程，可求出.【详解】与互相平行，可得，且，得，解得，故选：B2.已知直线，则该直线的斜率为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据直线方程即可得解.【详解】解：由直线，得该直线的斜率为.故选：A.3.下列直线中与直线平行的直线是（）．A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断.【详解】∵直线的斜率，纵截距为，对A：直线的斜率，纵截距为；对B：直线的斜率，纵截距为；对C：直线的斜率，纵截距为；对D：直线的斜率，纵截距为；若两直线平行，由题意可知：斜率相等，纵截距不相等，只有C选项符合.故选：C.4.设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若，则圆C的标准方程为（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】由题意可得圆心为，半径为4，从而可求出圆的方程.【详解】因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，，所以圆心坐标为，半径，所以圆C的方程为，故选：D.5.双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（）A.14 B.26 C.14或26 D.16或24【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.【详解】由双曲线的方程可得，故.因为，故，解得或26.故选:C.6.等差数列中，已知，，则（）．A.2 B.14 C.12 D.8【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质直接求解.【详解】因为数列是等差数列，所以.故选：B7.已知等比数列满足,,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.8.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（）．A.圆的圆心为，半径为1 B.直线的方程由为C.圆心到的距离为 D.线段的长为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，化简圆即可；对于B，由两圆相减得公共弦所在直线即可；对于C，根据点到直线距离公式解决即可；对于D，根据直线与圆位置关系，几何法解决即可.【详解】对于A，圆，化简得，所以圆的圆心为，半径为1，故A正确；对于B，已知圆和圆相交于两点，所以两式相减得：，所以直线的方程为，故B正确；对于C，由B选项得直线的方程为，因为，所以圆心到的距离为，故C错误；对于D，因为，圆心到的距离为，所以，故D正确.故选：ABD.10.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）A. B.直线平面C.直线与平面所成角的正切值为 D.点到平面的距离是【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D．【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD11.若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】AB项直接计算，CD项找出性质，按照性质进行判断即可.【详解】按照规律有，，，，，，，，，故A对C错…故B对，故D错故选：AB【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.12.已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（）A. B.当时，的面积为C. D.的周长的最大值为【答案】AC【解析】【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解.【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确；当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误；因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点，∵，则直线，联立方程，得到∴，∵在椭圆上，则，即∴同理，于是，故C项正确；设椭圆的右焦点为，当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为，如果不经过右焦点，则连接，，可知的周长小于，所以的周长的最大值为，故D项错误.故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.两直线和互相垂直，则的值是___________.【答案】0或1##1或0【解析】【分析】根据两直线垂直的条件直接列式计算作答.【详解】因两直线和互相垂直，则有，解得或，所以的值是0或1.故答案为：0或114.在等差数列中，，公差，则的通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】根据等差数列通项公式直接求解.【详解】根据等差数列通项公式可知.故答案为：15.在等比数列中，，，则公比=_________．【答案】【解析】【分析】代通项公式即可求解【详解】因为为等比数列所以所以，所以故答案为：16.记为等差数列的前n项和．若，则__________．【答案】【解析】【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的前n项和，求数列的通项公式．【答案】【解析】【分析】根据计算即可得解.【详解】解：由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以.18.的三个顶点、、，D为BC中点，求：（1）BC边上的高所在直线的方程；（2）中线AD所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.【小问1详解】解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.【小问2详解】解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.19.在数列中，，．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）结合等比数列的定义证得结论成立.（2）根据（1）的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案.小问1详解】依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）得：数列是首项为，公比为等比数列，所以.20.数列{an}中，a1＝2，a4＝8且满足an+2＝2an+1﹣an（n∈N+）．（1）求数列{an}通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an＝2n；（2）.【解析】【分析】（1）递推公式判断数列{an}为等差数列，求出公差d，再写出通项公式；（2）根据题意，利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Sn．【小问1详解】由an+2＝2an+1﹣an（n∈N+），得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，所以数列{an}为等差数列，设公差为d，由a1＝2，a4＝8，所以公差d2，所以{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列．所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；【小问2详解】由an＝2n，得2n×3n﹣1，所以，①，②①﹣②得：1+（1﹣2n）×3n，所以．21.在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，E，F分别是棱AB，PC的中点．（1）证明：平面PAD．（2）若，，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)线面平行、线线平行、面面平行的判定和性质；(2)向量法求二面角的余弦值.小问1详解】证明：取CD的中点G，连接EG，FG．因为F，G分别是PC，CD的中点，FG是的中位线，所以，又因为平面PAD，平面PAD，所以．因为，且E、G分别是棱AB，CD的中点，是梯形ABCD的中位线，所以，又因为平面PAD，平面PAD所以．因为EG，平面EFG，且，所以平面．因为平面EFG，所以．【小问2详解】解：以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，如下图所示，建立空间直角坐标系A－xyz．设，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），E（1，0，0），P（0，0，2）．因为F是棱PC的中点，所以F（1，1，1），所以，，，．设平面AEF的法向量为则，令，得．设平面CDF的法向量为，则，令，得．设平面AEF与平面CDF所成锐二面角为，则．22.已知点在椭圆上E：（），点为平面上一点，O为坐标原点．（1）当取最小值时，求椭圆E的方程；（2）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（），求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据点点在椭圆上，则，又根据基本不等式求得当时取得最小值，即可求得