旧教材适用2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第6讲几何概型

第6讲几何概型1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的eq\o(□,\s\up3(01))长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up3(04))eq\f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）)．几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．在长为6m的木棒上任取一点P，点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段(不包括两个三等分点)时，点P到木棒两端点的距离都大于2m，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．(2021·合肥质检)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是()A．eq\f(1,14) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,7) D．eq\f(1,6)答案D解析由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240(分钟)，即4个小时，所以所求的概率为eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).故选D.3．(2022·陕西宝鸡模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点M，点M在球O内的概率是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,12)答案C解析设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,6)πa3，故点M在球O内的概率为eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).4．(2021·全国乙卷)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A．eq\f(7,9) B．eq\f(23,32)C．eq\f(9,32) D．eq\f(2,9)答案B解析在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为y，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2.))在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界).事件A为“两数之和大于eq\f(7,4)”，即x＋y>eq\f(7,4)，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界).由几何概型的概率计算公式，得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故选B.5．(2021·四川名校联盟模拟)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,0≤y≤1，,y≥x2))所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组(每组100个)在区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x100和y1，y2，…，y100，由此得到100个点(xi，yi)(i＝1，2，…，100)，再数出其中满足yi<xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))(i＝1，2，…，100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为()A．0.33 B．0.66C．0.67 D．eq\f(1,3)答案C解析设平面区域为Ω的面积为S，依题意eq\f(S,1)≈eq\f(100－33,100)，得S≈0.67.故选C.6．在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________．答案3解析由题意，知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为eq\f(m－（－m）,4－（－2）)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为eq\f(m－（－2）,4－（－2）)＝eq\f(5,6)，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不符合题意，故m＝3.

考向一与长度有关的几何概型例1(1)(2021·山西太原模拟)在区间[－1，1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率为()A．eq\f(2,9) B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(3),3)答案D解析圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，圆心到直线y＝k(x－2)的距离为eq\f(|2k|,\r(k2＋1)).要使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点，需eq\f(|2k|,\r(k2＋1))<1，解得－eq\f(\r(3),3)<k<eq\f(\r(3),3)，所以在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))),1－（－1）)＝eq\f(\r(3),3).故选D.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案eq\f(3,5)解析本题可以看成向区间[0，5]内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P(A)＝eq\f(区间[2，5]的长度,区间[0，5]的长度)＝eq\f(3,5).求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．1.在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)答案A解析设MP＝xcm，0<x<16，则NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故选A.2．(2022·江西南昌模拟)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．答案eq\f(5,9)解析设事件“在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3].如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P(A)＝eq\f(5,9).精准设计考向，多角度探究突破考向二与面积有关的几何概型角度与平面图形面积有关的问题例2(2021·河南平顶山高三阶段考试)如图，B是AC上一点，分别以AB，BC，AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D，AC＝6，BD＝2eq\r(2)，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(2,3)答案C解析连接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD2＝AB·BC，设AB＝x(0＜x＜3)，则有8＝x(6－x)，得x＝2，所以AB＝2，BC＝4，由此可得图中阴影部分的面积等于eq\f(π×32,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π×12,2)＋\f(π×22,2)))＝2π，故所求概率P＝eq\f(2π,\f(1,2)×9π)＝eq\f(4,9).角度与线性规划交汇的问题例3(2022·西南名校联盟适应性月考)小明和小波约好在周日下午4：00～5：00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟，则小明和小波两人能见面的概率为()A．eq\f(13,32) B．eq\f(17,32)C．eq\f(19,32) D．eq\f(23,32)答案C解析设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0，1)，则由题意可列出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x≤\f(1,2)，,x－y≤\f(1,4)，,0<x<1，,0<y<1，))画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，计算得阴影部分的面积与正方形面积的比值为eq\f(19,32)，故选C.角度与定积分交汇的问题例4(2021·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x轴、直线x＝1及曲线y＝ex－1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是()A.eq\f(1,e) B．eq\f(1,e－1)C．1－eq\f(1,e) D．1－eq\f(1,e－1)答案B解析由题意，知阴影部分的面积为eq\i\in(0,1,)(ex－1)dx＝(ex－x)|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(0))＝e－2，∵矩形区域OABC的面积为e－1，∴该点落在阴影区域的概率是eq\f(e－2,e－1)，故该点落在非阴影区域的概率为eq\f(1,e－1).求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.3.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,7)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,16)答案C解析设包含7块板的正方形边长为4，其面积为4×4＝16，雄鸡的鸡尾是标号为6的板块，其面积为S＝2×1＝2，所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为P＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).故选C.4．(2021·陕西渭南模拟)已知x∈[－1，1]，y∈[0，2]，则点P(x，y)落在区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))内的概率为________．答案eq\f(3,8)解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,2)，则所求概率为eq\f(\f(3,2),2×2)＝eq\f(3,8).5.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆(大小忽略不计)，则它落到阴影部分的概率为________．答案eq\f(2,e2)解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2eq\i\in(0,1,)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(0))＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为eq\f(2,e2).考向三与体积有关的几何概型例5(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C．eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)答案B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，则点P到点O的距离大于1的概率为1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).故选B.(2)(2021·云南昆明模拟)如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．答案eq\f(1,2π)解析设球的半径为R，则所求的概率为P＝eq\f(V锥,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\r(2)R×\r(2)R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．6.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)答案B解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，得P1＝eq\f(V半球,V圆柱)＝eq\f(\f(2,3)π×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故选B.考向四与角度有关的几何概型例6(1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案D解析依题意可知15°≤∠AOC≤75°，15°≤∠BOC≤75°，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形的圆心角为90°－30°＝60°.故所求概率P＝eq\f(OC活动区域的圆心角度数,∠AOB的度数)＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3).(2)过等腰直角三角形ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD<AC的概率．解在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，AD<AC.易知∠ACE＝67.5°，∴AD<AC的概率P＝eq\f(67.5°,90°)＝0.75.与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝eq\f(构成事件A的区域的角度,试验的全部结果所构成的区域的角度).(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.7.如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．解因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).1．(2022·河南焦作模拟)设x∈[0，π]，则sinx<eq\f(1,2)的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案C解析由sinx<eq\f(1,2)且x∈[0，π]借助于正弦曲线可得x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．eq\f(7,10) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,10)答案B解析行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).故选B.3．(2022·山西晋城摸底)定义min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))由集合{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}确定的区域记作Ω，由曲线C：y＝min{x，－2x＋3}和x轴围成的封闭区域记作M，向区域Ω内投掷12000个点，则估计落入区域M的点的个数为()A．3000 B．3500C．4000 D．4500答案D解析如图，SM＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,4)，SΩ＝1×2＝2，落入区域M的概率为P＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(\f(3,4),2)＝eq\f(3,8)，从而估计落入区域M的点的个数为12000×eq\f(3,8)＝4500.4.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,12)C．eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)答案A解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq\f(π,4).故选A.5．(2021·东北三省三校第二次联考)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,2)答案A解析根据题意可得长方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半，故标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为eq\f(1,4).故选A.6．已知实数m∈[0，1]，n∈[0，2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π－3,2) D．eq\f(π,2)－1答案A解析关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根，则Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，得m2＋(n－1)2≥1，如图所示，长方形的面积为2，扇形的面积为eq\f(π,2)，图中白色部分是满足题意的点集合区域，故概率为eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).故选A.7．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)答案C解析设AC＝xcm(0<x<12)，则CB＝(12－x)cm，则矩形面积S＝x(12－x)＝12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).故选C.8．(2021·河南安阳模拟)在区间(0，1)中随机取出两个数，则两数之和小于eq\f(4,5)的概率是()A．eq\f(8,25) B．eq\f(9,25)C．eq\f(16,25) D．eq\f(17,25)答案A解析设取出的两个数为x，y，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，))若两数之和小于eq\f(4,5)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(4,5)，))原问题可以转化为求不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(4,5)))表示的区域与eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1))表示的区域的面积之比的问题，如图所示，易得其概率为eq\f(\f(1,2)×\f(4,5)×\f(4,5),1×1)＝eq\f(8,25).9.如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝eq\f(1,3)AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,7) D．eq\f(3,8)答案A解析设OA＝3，则AB＝3eq\r(3)，AP＝eq\r(3)，由余弦定理可求得OP＝eq\r(3)，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为eq\f(3π,4)，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为eq\f(\f(3π,4),3π)＝eq\f(1,4).10．(2022·甘肃天水模拟)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则△ABD为钝角三角形的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案C解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).11.如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(π－2,4)答案A解析以BC所在的直线为x轴，以E为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝1，则BC＝2，B(－1，0)，C(1，0)，A(－1，1)，D(1，1)，过A，D，E三点的抛物线方程为y＝x2，阴影部分的面积为S′＝eq\f(1,2)×1×1×2－eq\i\in(－1,1,)x2dx＝1－eq\f(1,3)x3|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(－1))＝eq\f(1,3)，又矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝1×2＝2，故点落在阴影部分的概率为P＝eq\f(S′,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(1,3),2)＝eq\f(1,6).12．在三棱锥D－ABC内任取一点P，使得三棱锥P－ABC的体积满足VP－ABC<eq\f(1,2)VD－ABC的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)答案A解析由题意知，三棱锥D－ABC与三棱锥P－ABC的底面相同，设三棱锥D－ABC的底面面积为S，三棱锥P－ABC的高为h，三棱锥D－ABC的高为h′.由eq\f(1,3)Sh<eq\f(1,2)×eq\f(1,3)Sh′，得h<eq\f(h′,2).如图，点P应位于棱台A′B′C′－ABC内，其中A′，B′，C′分别为DA，DB，DC的中点，易知棱台的上底面的面积S′＝eq\f(1,4)S，所以棱台的体积应为VD－ABC－eq\f(1,8)VD－ABC＝eq\f(7,8)VD－ABC，故所求概率为eq\f(\f(7,8)VD－ABC,VD－ABC)＝eq\f(7,8).13．(2021·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为________．答案eq\f(3\r(2),8)解析因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m<8，,\f(|3＋4－1|,\r(2))>m，))解得0<m<3eq\r(2)，所以所求概率P＝eq\f(3\r(2),8).14．(2021·江西宜春4月模拟)一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的某个顶点的距离不超过2的概率为________．答案eq\f(π,12)解析根据题意，△ABC的面积为24，若某时刻该蚂蚁距离三角形的某个顶点的距离不超过2，则蚂蚁在如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为2的半圆面积S＝eq\f(1,2)×π×22＝2π，所以某时刻该蚂蚁距离三角形的某个顶点的距离不超过2的概率为P＝eq\f(2π,24)＝eq\f(π,12).15.(2021·陕西咸阳二模)中国人民银行发行了2020吉祥文化金银纪念币，如图所示是一枚5克圆形金质纪念币，背面图案为松、鹤、灵芝、云纹等组合图案，并刊“松鹤延年”字样及面额，直径为18mm，小王同学为了测算图中装饰鹤的面积，他用1枚针向纪念币投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰鹤的身上，据此可估计装饰鹤的面积是________mm2.答案eq\f(243π,10)解析纪念币的直径为18mm，故其面积是S＝81πmm2，而装饰鹤的面积大约是纪念币面积的eq\f(150,500)＝eq\f(3,10)，故估计装饰鹤的面积S′＝81π×eq\f(3,10)＝eq\f(243π,10)mm2.16．(2021·陕西安康第三次教学质量联考)小雁塔，位于唐长安城安仁坊(今陕西省西安市南郊)荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小雁塔是密檐式砖结构佛塔，塔身为四方形，底边长11.38米．若某游客在距离塔底中心11.38米的圆周上任取一点，从该点处观察小雁塔，则他可以同时看到塔的两个侧面(即看到图2