旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第6讲椭圆二

第6讲椭圆(二)1．点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y＝kx＋m，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔有eq\o(□,\s\up3(04))两个公共点⇔相交；Δ＝0⇔有eq\o(□,\s\up3(05))一个公共点⇔相切；Δ<0⇔eq\o(□,\s\up3(06))无公共点⇔相离．1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).2．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，直线AB不过原点且斜率为k(k≠0)，则(1)弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直线AB的斜率k＝－eq\f(b2x0,a2y0)；(3)直线AB的方程：y－y0＝－eq\f(b2x0,a2y0)(x－x0)；(4)线段AB的垂直平分线方程：y－y0＝eq\f(a2y0,b2x0)·(x－x0)．1．直线y＝2x－1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定答案A解析解法一：直线方程y＝2x－1过点(1,1)，而(1,1)在椭圆内部，所以直线y＝2x－1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1相交．故选A.解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1404>0，∴直线y＝2x－1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1相交．故选A.2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1截得的弦长的最大值是()A．2 B．eq\f(4\r(3),3)C．4 D．不能确定答案B解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则eq\f(x2,4)＋y2＝1，即x2＝4－4y2，则弦长为eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(4－4y2＋y2－2y＋1)＝eq\r(－3y2－2y＋5)，因为－1≤y≤1，所以当y＝－eq\f(1,3)时，弦长最大为eq\f(4\r(3),3).3．(2022·河南平顶山模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为eq\f(\r(5),5)，则椭圆C的方程为()A.eq\f(4x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1答案B解析将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点，得Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又椭圆的离心率为eq\f(\r(5),5)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(5),5)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,5)，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.4．(2021·江西上饶市模拟)已知椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若eq\o(AF,\s\up10(→))＝3eq\o(FB,\s\up10(→))，则k＝()A．1 B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为eq\o(AF,\s\up10(→))＝3eq\o(FB,\s\up10(→))，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝eq\r(3)t，所以eq\f(x2,4t2)＋eq\f(y2,t2)＝1.设直线AB的方程为x＝sy＋eq\r(3)t，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2eq\r(3)sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－eq\f(2\r(3)st,s2＋4)，y1y2＝－eq\f(t2,s2＋4)，即－2y2＝－eq\f(2\r(3)st,s2＋4)，－3yeq\o\al(2,2)＝－eq\f(t2,s2＋4)，得s2＝eq\f(1,2)，k＝eq\r(2)(k>0)，故选D.5．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦所在的直线方程为________．答案x＋2y－3＝0解析设以(1,1)为中点的弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋2y\o\al(2,1)＝4，,x\o\al(2,2)＋2y\o\al(2,2)＝4，))∴(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，∴弦所在的直线方程为x＋2y－3＝0.6．(2021·郑州质检)过点M(1,1)作斜率为－eq\f(1,2)的直线与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．答案eq\f(\r(2),2)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B在椭圆上，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))则有eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，∴eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，由题意知x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(2,a2)＋eq\f(－\f(1,2)×2,b2)＝0，∴a2＝2b2，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2).考向一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．1.若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5答案D解析解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立．由于m>0且m≠5，所以0－20m(m2－m)≤0，得m≥1且m≠5.考向二弦长问题例2(2021·佛山模拟)已知A，B分别为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(21),7)，且|AB|＝eq\r(7).(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝eq\f(12\r(2),7)，求k的值．解(1)由题设知，A(b,0)，B(0，a)，直线AB的方程为eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1，又|AB|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(7)，eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2\r(21),7)，a>b>0，计算得出a＝2，b＝eq\r(3)，则椭圆C的离心率为e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,2).(2)由(1)知椭圆方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2,4)＋\f(x2,3)＝1，,y＝kx＋m，))消去y，得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0，且x1＋x2＝－eq\f(6km,3k2＋4)，x1x2＝eq\f(3m2－12,3k2＋4).又直线l与圆x2＋y2＝2相切，则eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，即m2＝2(k2＋1)．而|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(1＋k2)·\r(483k2－m2＋4),3k2＋4)＝eq\f(\r(1＋k2)·\r(48k2＋2),3k2＋4)＝eq\f(4\r(3)·\r(k4＋3k2＋2),3k2＋4)，又|MN|＝eq\f(12\r(2),7)，所以eq\f(4\r(3)·\r(k4＋3k2＋2),3k2＋4)＝eq\f(12\r(2),7)，即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率，k≠0)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．2.(2022·安徽黄山摸底)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝eq\f(1,2)，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是4eq\r(3).(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(BD,\s\up10(→))＝0，且|eq\o(AC,\s\up10(→))|＋|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝eq\f(96,7)，求此时直线AC的方程．解(1)由题意知，当点P是椭圆上(或下)顶点时，△PF1F2的面积取得最大值．此时，S△PF1F2＝eq\f(1,2)·2c·b＝4eq\r(3)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2eq\r(3)，故所求椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，由eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(BD,\s\up10(→))＝0得AC⊥BD.①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时，|eq\o(AC,\s\up10(→))|＋|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝14，不符合题意；②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，其方程为y＝k(x＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(16k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(16k2－48,3＋4k2).所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(241＋k2,3＋4k2).直线BD的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋2)，同理，可得|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝eq\f(241＋k2,4＋3k2).由|eq\o(AC,\s\up10(→))|＋|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝eq\f(1681＋k22,4＋3k23＋4k2)＝eq\f(96,7)，解得k2＝1，则k＝±1.故所求直线AC的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.考向三中点弦、弦中点问题例3已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；(3)求过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))且被P点平分的弦所在直线的方程．解(1)当弦过原点时，弦的中点坐标为(0,0)．当弦不过原点时，设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x，y)，则有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1.两式作差，得eq\f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1)·(y2＋y1)＝0.∵x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x,2y ).又kAB＝2，∴2＝－eq\f(x,2y)，∴x＋4y＝0，点(0,0)也满足上式．故所求的轨迹方程为x＋4y＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)<x<\f(4,3))).(2)当l的斜率不存在时，弦的中点坐标为(1,0)．当l的斜率存在时，若l过原点，则弦的中点坐标为(0,0)，若l不过原点，不妨设l交椭圆于A，B，弦中点为M(x，y)．由(1)知，kl＝－eq\f(x,2y).又kl＝kMN＝eq\f(y－2,x－1)，∴－eq\f(x,2y)＝eq\f(y－2,x－1).整理，得x2＋2y2－x－4y＝0，点(1,0)，(0,0)也满足上式．又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x2＋2y2－x－4y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4\r(7),9)，,y＝\f(4＋\r(7),9)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋4\r(7),9)，,y＝\f(4－\r(7),9)，))故所求的轨迹方程为x2＋2y2－x－4y＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4\r(7),9)<x<\f(2＋4\r(7),9)，\f(4－\r(7),9)<y<\f(4＋\r(7),9))).(3)由(1)知，弦所在的直线的斜率k＝－eq\f(1,2)，∴其方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0.处理中点弦问题时应注意的两点(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：但要注意这个方法的前提是必须保证直线和椭圆有两个不同的交点，直线不过原点．(2)在求中点弦的轨迹时，要注意由于中点一定在曲线内部，因此只能是轨迹方程表示的曲线在圆锥曲线内部的那部分而不是全部．若是轨迹方程，则必须确定出变量的取值范围．注意本例(2)中只规定x，y之一的范围是不够的．3.(2021·黑龙江佳木斯模拟)已知椭圆5x2＋9y2＝45，则以M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线l的方程为________________．答案5x＋9y－14＝0解析设直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1，直线l的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x\o\al(2,1)＋9y\o\al(2,1)＝45，,5x\o\al(2,2)＋9y\o\al(2,2)＝45，))两式相减，得5(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，整理可得5(x1＋x2)＋9(y1＋y2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1－y2,x1－x2)))＝0，即5＋9k＝0，即k＝－eq\f(5,9).所以直线l的方程为y－1＝－eq\f(5,9)(x－1)，即5x＋9y－14＝0.4．焦点是F(0,5eq\r(2))，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq\f(2,7)的椭圆的标准方程为________________．答案eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1解析设所求的椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，且eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2,7)，eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(3,7).将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),a2)＋\f(x\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(y\o\al(2,2),a2)＋\f(x\o\al(2,2),b2)＝1.))两式相减并化简，得eq\f(a2,b2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－2×eq\f(－\f(6,7),\f(4,7))＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.考向四切线问题例4(2022·山西太原模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝eq\r(3)|OF|，且△AOB的面积为eq\r(2).(1)求椭圆的方程；(2)直线y＝2上是否存在点M，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由|AB|＝eq\r(3)|OF|，△AOB的面积为eq\r(2)，得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)c，eq\f(1,2)ab＝eq\r(2)，∴a＝2，b＝eq\r(2)，即椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)假设直线y＝2上存在点M满足题意，设M(m，2)，当m＝±2时，从M点所引的两切线不垂直．当m≠±2时，设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k，则切线l的方程为y＝k(x－m)＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－m＋2，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k(mk－2)x＋2(mk－2)2－4＝0，∵Δ＝0，∴(m2－4)k2－4mk＋2＝0，设两切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝eq\f(2,m2－4)＝－1，∴m＝±eq\r(2)，即点M的坐标为(eq\r(2)，2)或(－eq\r(2)，2)．直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．5.已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，过P(2，2)作椭圆C的切线，则切线方程为______________．答案x－8y＋14＝0或x＝2解析∵eq\f(22,4)＋eq\f(22,3)>1，∴P在C外部．①当斜率不存在时，易知x＝2为椭圆一切线；②当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x－2)，代入C中并整理得(3＋4k2)x2＋16(k－k2)x＋16k2－32k＋4＝0.∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0.即[16(k－k2)]2－4(3＋4k2)(16k2－32k＋4)＝0.化简得k＝eq\f(1,8)，即x－8y＋14＝0.∴切线方程为x－8y＋14＝0或x＝2.6．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为________．答案eq\r(2)解析由题意，得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))代入椭圆方程，可得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,2b2)＝1，解得a＝eq\r(2)，b＝1，即椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为eq\f(x2,2)x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝eq\f(1,y2)，令y＝0，可得xC＝eq\f(2,x2)，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y2>0，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1，所以S△OCD＝eq\f(1,2)·eq\f(1,y2)·eq\f(2,x2)＝eq\f(1,x2y2)＝eq\f(\f(x\o\al(2,2),2)＋y\o\al(2,2),x2y2)＝eq\f(x2,2y2)＋eq\f(y2,x2)≥2eq\r(\f(x2,2y2)·\f(y2,x2))＝eq\r(2)，即S△OCD≥eq\r(2)，当且仅当eq\f(x\o\al(2,2),2)＝yeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)，即点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))时，△OCD的面积取得最小值eq\r(2).自主培优(十六)椭圆中最值问题的求解方法1．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A.eq\f(5,2) B．eq\r(6)C．eq\r(5) D．2答案A解析由P在C上，设P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2，由eq\f(x\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，得xeq\o\al(2,0)＝5－5yeq\o\al(2,0)，y0∈[－1,1]，代入上式，得|PB|2＝5－5yeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(1,4)))2＋eq\f(25,4)，y0∈[－1,1]．因此当且仅当y0＝－eq\f(1,4)时，|PB|的最大值为eq\f(5,2).故选A.2．已知F是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2，F(－2,0)．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝eq\r(2)或最小值－|AF′|＝－eq\r(2).所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq\r(2)，最小值为6－eq\r(2).3．(2022·衡水调研)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，短轴的一个端点到右焦点的距离为eq\r(3).(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),2)，求△AOB面积的最大值．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a＝\r(3)，))∴c＝eq\r(2)，b＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，得m2＝eq\f(3,4)(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0.∴x1＋x2＝eq\f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3m2－3,3k2＋1).∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(36k2m2,3k2＋12)－\f(12m2－1,3k2＋1)))＝eq\f(12k2＋13k2＋1－m2,3k2＋12)＝eq\f(3k2＋19k2＋1,3k2＋12)＝3＋eq\f(12k2,9k4＋6k2＋1)＝3＋eq\f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6)(k≠0)≤3＋eq\f(12,2×3＋6)＝4.当且仅当9k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±eq\f(\r(3),3)时等号成立．当k＝0时，直线l的方程为y＝±eq\f(\r(3),2)，则|AB|＝eq\r(3).综上所述，|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值为S＝eq\f(1,2)×|AB|max×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).答题启示椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)或利用基本不等式求最值的问题；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练1．(2021·青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．5 B．4C．3 D．2答案A解析∵椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5.2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq\f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5eq\r(2) B．eq\r(46)＋eq\r(2)C．7＋eq\r(2) D．6eq\r(2)答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q(x，y)，则x2＝10－10y2，且－eq\r(10)≤x≤eq\r(10)，－1≤y≤1，所以圆心(0，6)到点Q的距离d＝eq\r(x2＋y－62)＝eq\r(－9y2－12y＋46)＝eq\r(－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,3)))2＋50)，当y＝－eq\f(2,3)时，dmax＝5eq\r(2)，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋eq\r(2)＝6eq\r(2).解法二：易知圆心坐标为M(0,6)，|PQ|的最大值为|MQ|max＋eq\r(2)，设Q(eq\r(10)cosθ，sinθ)，则|MQ|＝eq\r(10cos2θ＋sinθ－62)＝eq\r(－9sin2θ－12sinθ＋46)＝eq\r(－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(2,3)))2＋50)，当sinθ＝－eq\f(2,3)时，|MQ|max＝5eq\r(2)，所以|PQ|max＝5eq\r(2)＋eq\r(2)＝6eq\r(2).故选D.3．(2021·江西九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋m，直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，求△PAB面积的最大值．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(1,a2－c2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,c＝\r(6)，))则b＝eq\r(2)，故椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋m，由题知m≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋mm≠0，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，直线l与椭圆C有两个异于点P的交点，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，即－2<m<2，且m≠0.x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，利用弦长公式得，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))×eq\r(4m2－42m2－4)＝eq\r(54－m2)，且P到l的距离d＝eq\f(2|m|,\r(5))，所以△PAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)·eq\r(54－m2)·eq\f(2|m|,\r(5))＝eq\r(m24－m2)≤eq\f(m2＋4－m2,2)＝2，当且仅当m2＝2，即m＝±eq\r(2)时，△PAB的面积取到最大值，为2.1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数是()A．至多为1 B．2C．1 D．0答案B解析由题意知，eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，即eq\r(m2＋n2)<2，所以点P(m，n)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的内部，故所求交点的个数是2.2．过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,4) D．eq\f(10,3)答案B解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得交点A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，所以S△OAB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))＝eq\f(5,3)，故选B.3．若椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是()A．2 B．－2C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)答案D解析设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝36，,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝36，))整理，得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))，∴此弦的斜率为eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,－4y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，则此弦所在直线的斜率为－eq\f(1,2).4．(2022·陕西咸阳高三摸底)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案C解析设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，又b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.5．(2021·南宁模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(5),5)答案C解析解法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2)，故选C.解法二：将直线方程x－y＋5＝0代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(10a2,a2＋b2)，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以eq\f(10a2,a2＋b2)＝8，解得a＝2b，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).故选C.6．已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且eq\o(MA,\s\up10(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(MB,\s\up10(→))，则直线l的方程为()A．y＝±eq\f(1,2)x＋1 B．y＝±eq\f(1,3)x＋1C．y＝±x＋1 D．y＝±eq\f(2,3)x＋1答案B解析依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,9)＋\f(y2,5)＝1，))消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(18k,9k2＋5)，,x1x2＝－\f(36,9k2＋5)，,x1＝－\f(2,3)x2，))由此解得k＝±eq\f(1,3)，即直线l的方程为y＝±eq\f(1,3)x＋1，故选B.7．(2022·云南昆明模拟)中心为(0,0)，一个焦点为F(0,5eq\r(2))的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为eq\f(1,2)，则该椭圆的方程是()A.eq\f(2x2,75)＋eq\f(2y2,25)＝1 B．eq\f(x2,75)＋eq\f(y2,25)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,75)＝1 D．eq\f(2x2,25)＋eq\f(2y2,75)＝1答案C解析c＝5eq\r(2)，设椭圆方程为eq\f(x2,a2－50)＋eq\f(y2,a2)＝1，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2－50)＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x－2，))消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(12a2－50,10a2－450)＝1，解得a2＝75，所以椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,75)＝1.8．(2021·皖北名校联考)斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A.eq\f(4\r(5),5) B．eq\f(4\r(10),5)C．eq\f(8\r(10),5) D．eq\f(8\r(5),5)答案B解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，由Δ>0，得m2<5.∵x1＋x2＝－eq\f(8m,5)，x1x2＝eq\f(4m2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)m))2－\f(16m2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－m2)，∵当m＝0时，满足Δ>0，∴|AB|的最大值为eq\f(4\r(10),5)，故选B.9．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2，0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为eq\r(3)b，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1答案B解析由左焦点为F1(－2,0)，可得c＝2，即a2－b2＝4.过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，即3y－eq\r(3)x－2eq\r(3)＝0.则圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\f(|－2\r(3)|,\r(3＋9))＝1.由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为eq\r(3)b(b>0)，可得2eq\r(b2－1)＝eq\r(3)b(b>0)，解得b＝2，则a＝2eq\r(2).则椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，故选B.10．(2021·河南许昌模拟)点A，B分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(3),2)答案B解析由题意作出椭圆如图，∵MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MF∥OC，MF∥OD，∴eq\f(|OD|,|MF|)＝eq\f(|OA|,|AF|)＝eq\f(a,a＋c)，①eq\f(|MF|,|OC|)＝eq\f(|FB|,|OB|)＝eq\f(a－c,a)，②①×②，得到eq\f(|OD|,|MF|)·eq\f(|MF|,|OC|)＝eq\f(a,a＋c)·eq\f(a－c,a)，即eq\f(|OD|,|OC|)＝eq\f(a－c,a＋c)，又eq\f(|OD|,|OC|)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1,2)，∴2(a－c)＝a＋c，∴a＝3c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).故选B.11．(2022·山西临汾摸底)已知椭圆：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(3,2) D．eq\r(3)答案D解析由已知及椭圆的定义，得a＝2，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8，所以当线段AB的长度取最小值时，|BF2|＋|AF2|取最大值．当AB垂直于x轴时，|AB|min＝2×eq\f(b2,a)＝2×eq\f(b2,2)＝b2，所以|BF2|＋|AF2|的最大值为8－b2＝5，所以b2＝3，即b＝eq\r(3)，故选D.12．(2021·江西五校联考)平行四边形ABCD内接于椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－2答案C解析设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则OG∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),8)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，,\f(x\o\al(2,2),8)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，))两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,8)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,4)，整理得eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－k1＝－2，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(1,4).又Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，所以kOG＝eq\f(\f(y1＋y2,2)－0,\f(x1＋x2,2)－0)＝－eq\f(1,4)，即k2＝－eq\f(1,4)，故选C.13．已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．答案eq\f(5\r(5),3)解析由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1x2＝0.则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq\f(5\r(5),3).14．与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案eq\f(\r(5),5)解析因为所求椭圆与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3))⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)·(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍去)，则a＝eq\r(5).又c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).15．(2022·河南郑州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝eq\f(1,2)x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．答案eq\f(5x2,9)＋eq\f(5y2,4)＝1解析设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1，0)关于直线y＝eq\f(1,2)x的对称点为(m，n)，可得eq\f(n－0,m－1)＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，\f(n,2)))，且中点在直线y＝eq\f(1,2)x上，所以有eq\f(n,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(m＋1,2)③，联立②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))即对称点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，又该点在椭圆上，代入椭圆方程可得eq\f(9,25a2)＋eq\f(16,25b2)＝1④，联立①④，解得a2＝eq\f(9,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以椭圆C的方程为eq\f(5x2,9)＋eq\f(5y2,4)＝1.16．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，－b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于－eq\f(1,4)，则点P到直线QM的距离为________．答案eq\f(4\r(5),5)b解析设A(x0，y0)，则B点坐标为(－x0，－y0)，则eq\f(y0－b,x0)·eq\f(－y0－b,－x0)＝－eq\f(1,4)，即eq\f(y\o\al(2,0)－b2,x\o\al(2,0))＝－eq\f(1,4)，由于eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，则eq\f(y\o\al(2,0)－b2,x\o\al(2,0))＝－eq\f(b2,a2)，故－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，不妨取M(a,0)，则直线QM的方程为bx－ay－ab＝0，则点P到直线QM的距离为d＝eq\f(|2ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(2b,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2))＝eq\f(4\r(5),5)b.17．(2021·合肥模拟)如图，已知椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．(1)若直线l1的倾斜角为eq\f(π,4)，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.解由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．(1)∵直线l1的倾斜角为eq\f(π,4)，∴斜率k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,9)，x1x2＝－eq\f(5,3).∴|AB|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9)))2＋4×\f(5,3))＝eq\f(16\r(5),9).(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10k2,4＋5k2)，x1x2＝eq\f(5k2－20,4＋5k2).设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，∴eq\f(－y1,3－x1)＝eq\f(y0,2)，∴y0＝eq\f(2y1,x1－3).而y0－y2＝eq\f(2y1,x1－3)－y2＝eq\f(2kx1－1,x1－3)－k(x2－1)＝eq\f(3kx1＋x2－kx1x2－5k,x1－3)＝eq\f(3k·\f(10k2,4＋5k2)－k·\f(5k2－20,4＋5k2)－5k,x1－3)＝0.∴直线BN∥x轴，即直线BN⊥l.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|＝eq\f(5,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以|F1F2|＝2，c＝1.又因为|DF1|＝eq\f(5,2)，AF2⊥x轴，所以|DF2|＝eq\r(|DF1|2－|F1F2|2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2－22)＝eq\f(3,2).因此2a＝|DF1|＋|DF2|＝4，从而a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.因此椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋2，,x－12＋y2＝16，))得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(11,5).将x＝－eq\f(11,5)代入y＝2x＋2，解得y＝－eq\f(12,5).因此Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，－\f(12,5))).又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝eq\f(3,4)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)x－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝eq\f(13,7).又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝eq\f(3,4)(x－1)，得y＝－eq\f(3,2).因此Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).解法二：由(1)知，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.如图，连接EF1.因为|BF2|＝2a，|EF1|＋|EF2|＝2a，所以|EF1|＝|EB|，从而∠BF1E＝∠B.因为|F2A|＝|F2B|，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1