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文档简介

主要分量分析主要分量分析（PrincipalComponentAnalysis，簡稱PCA）的目的是要對一組高維空間的資料進行投影（或線性組合），並進而找出最佳的投影方式，使得投影後的資料最能保持原資料的特性。PCA又稱為Larhunen-Loeve轉換，並被廣泛地用在數位訊號處理，影像處理、圖形辨識及資料聚類。假設我們的資料點是由維度為m的向量來表示，其中。為簡化討論，我們假設這一組資料的平均值是零，也就是說：如果這一組資料不滿足此條件，只需將之平移，以平均點為新座標原點即可。我們的目標是要找一個單位向量u，使得在u方向的投影平方和為最大。我們可用矩陣A來代表這一組資料點：此時這一組資料在u方向的投影可以表示為：而投影平方的總和為：欲使投影總和為最小，並滿足，我們可引進LagrangeMultiplier，並形成新的目標函數：欲求上列之極值，直接微分即可：因此在極值發生時，u是的固有單位向量，則是對應的固有值。此時的投影量總和為：換句話說，如果我們將的固有值排序成而對應的固有向量則是，那麼的最大值是，發生在；而最小值是，發生在。Oncewehavefoundthefirstprincipalcomponent,wewanttofindthesecondprincipalcomponentthatisorthogonaltoandhavethelargestprojection.Thiscanbeformulatedasfollows:Aftertakethederivative,wehaveAftermultiplyingtheaboveexpressionby,wehaveThereforewehaveWhichimpliesistheeigenvectorofwiththesecondlargesteigenvalue.Bycontinuethisprocess,wecanshowthattheotherprojectionsaregivenbytheeigenvectorswithdecreasingeigenvalues.Infact,sinceissymmetricandsemipositivedefinite,wehaveisaorthonormalbasisAlleigenvaluesarepositiveorzero,andthenumberofnon-zeroeigenvaluesisequaltotherankof.Inpractice,wetaketheminimumksuchthattheproportionofvarianceexplainedbythefirstkprincipalcomponentsisgreaterthan

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