定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理【考纲要求】了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。正确计算定积分，利用定积分求面积。【知识网络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点a= X。：：： x^i ：人」：：：Xj ：：：…：:：x* =b将区间［ab］等分成n个小区间，在每个小区间［xp,x］上任取一点j(i=1,2，…,n)，作和式In=11i生nIn=11i生nf(i)x八i壬口f(i)n，当n—；时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在b b nbb b nb_a区间［a,b］上的定积分•记作f(x)dx,即f(x)dx=lim仝工" 妇 yynf(i)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式•要点诠释：定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和;要点二、定积分的性质b bkf(x)dx=kf(x)dxa④取极限(1)(k为常数)，式•要点诠释：定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和;要点二、定积分的性质b bkf(x)dx=kf(x)dxa④取极限(1)(k为常数)，(2)b b b〔f'x)二f2(x)Idx f,x)dx二 f2(x)dx,a 'a a(3)(4)bf(x)dx=f(x)dx亠If(x)dx(其中acb),a利用函数的奇偶性求积分：若函数y=f(x)在区间l-b,b1上是奇函数，则 bf(x)dx=0；若函数y=f(x)在区间〔-b,b1上是偶函数」V 屯f(x)dx=2.°f(x)dx.要点三、微积分基本定理如果F'(x)=f(x),且f(x)在a,b上连续，贝Uf(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)叫做f(x)的一a个原函数.由于［F(x)•c］'=f(x),F(x)-c也是f(x)的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在a,b1上的改变量F(b)—F(a)简记作F(x)：・因此，微积分基本定理可以写成形式：b b［f(x)dx=F(x)：=F(b)-F(a).要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数 •由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算要点四、定积分的几何意义设函数f(x)在区间a,b上连续.在a,b］上，当f(X)30时，定积分ff(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b与x轴围成的曲边梯形的面积；如图(1)所示.图⑴在a,b］上，当f(X)空0时，由曲线y二f(x)以及直线X二a,x二b与x轴围成的曲边梯形位于x轴下b方，定积分 f(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；a在a,b1上，当f(x)既取正值又取负值时，定积分 /f(x)dx的几何意义是曲线y二f(x)，两条直线aX=a,x=b与x轴所围成的各部分面积的代数和 .在x轴上方的面积积分时取正号， 在x轴下方的面积积分时，取负号•如图(2)所示.图⑵要点五、应用(一)应用定积分求曲边梯形的面积

1.如图，由三条直线x=a,x=b(a：：：b),x轴(即直线y=g(x)=O)及一条曲线y=f(x)b b(f(x)_O)围成的曲边梯形的面积：Sf(x)dx[f(x)-g(x)]dx;<a <a2.如图，由三条直线x=a，x=b(a：：：b)，x轴(即直线y=g(x)=O)及一条曲线y=f(x)(f(x)乞(f(x)乞0)围成的曲边梯形的面积:bS=[f(x)dx=Lab bf(x)dx二[g(x)-f(x)]dx；a a3.如图，由曲线％=fi(x)y2=f2(x)f,(x)_f2(x)_0及直线x二a，x=b(a：：：b)围成图形的面b b b积公式为：S[h(x)dx「f2(x)] f1(x)d^-；'f2(x)dx.a •a -a0a4.利用定积分求平面图形面积的步骤：画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;写出定积分表达式；求出平面图形的面积.(二)利用定积分解决物理问题①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v=v(t)(v(t)_0)在时间区间［a,b］上的定b积分，即Sv(t)dt.②变力作功物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到bx=b(a:::b)，那么变力F(x)所作的功WF(x)dx.a【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分例1.运用微积分定理求定积分110x0x(1)o(sinx-cosx)dx;(2)f(x_x2+1)dx；1 x(3)(cosxe)dx.-JI【解析】(1)：(「cosx「sinx)=sinx-cosx,o=2;o=2;(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)TOC\o"1-5"\h\z2 3 .,2)・・/Xx 2 1(2).( Inx)x-x2 3 x2 2 1 x2x3•-d(X-X2—)dx二(石-石Inx)x 2 3(3)t(sinxex)=cosxex,(cosxex)dx(sinxex)A1F(x)二F(x)二f(x)的原函数F(x),即利用求导函数与求原【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得F(x)。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求函数互为逆运算。举一反三：【变式】计算下列定积分的值:(1)'(xsinx)dx,⑵：(8x—x8)dx【解析】(【解析】(1)ji2匹 1 2°2(xsinx)dx=(3x-cosx)(2)1 8xo(8・8)dxV91 7 1= ——03In29【高清课堂：定积分和微积分基本定理 394577典型例题四】n 例2.求2J-sin2xdx■o【解析】

31 Hs o2J—sin2xdx二vsin2xcos2x—2sinxcosxdxsinx—cosx|dx=sinx—cosx|dx=『|sinx-cosxdx+J訂sinx-cosxdx4(cosx-sinx)dx 一2(sinx-cosx)dx4二(sinxcosx)n4 (-cosx-sinx)=、2-1-1,2=2、2-2【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止举一反三：【变式】计算下列定积分的值•二(sinxcosx)n4 (-cosx-sinx)=、2-1-1,2=2、2-2【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止举一反三：【变式】计算下列定积分的值•3(1)」[x(4-x)]dx;(2)f(x—1)3dx； (3)r(vx+-^)2dx；1 1 ,x3 3 2 2 1 3【解析】(1)」[x(4「x)]dx (4x「x)dx=(2x x)3\o"CurrentDocument"4 3 33 2032 3 2 3 2 1 4 3 32(2)i(x-1)dx(x-3x3x-1)dx=qx-xx-x))2dx (x2$dx=(丄x22xInx)|"=1 x 227In2.2例3.求定积分'3X,f(X)二•、X,X2,x[0,1]x•二[1,2]，求函数f(x)在区间0,31上的积分;x[2,3]【解析】0f(x)dx二0f(x)dxf(x)dx .2f(x)dx二0x'dx3■ \xdx 2xdx12322x+—x2+031In2324x4一血十丄12 3ln2【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。举一反三：3【变式】求定积分： [x—1dx；【解析】(°X-1dx=Lx-1dx+(|x-1dx0(1-x)dx+d(x-1)dx121123=(xx)|0■(x-x)I122=12」22类型二：利用定积分的几何定义例4. （2016河南商丘模拟）求定积分:o一4「x2例4. （2016河南商丘模拟）求定积分:o一4「x2dx;【解析】设y=...4-x2，则x2•y2=41人r j（y兰0,0兰x兰2）表示一个圆，4:*由定积分的概念可知，所求积分就是1丄圆的面积,40.0-所以2-x1dx4~-■:4举一反三:【变式】求定积分:彳、【变式】求定积分:彳、16-x2dx【解析】设【解析】设yh：：-'；16-x2，则x2•y2=16（y_0,0乞x乞2）表示如图的曲边形,2其面积s=S扇形S 2'2其面积s=S扇形S 2'、3,432X-6dxJI2-3-4类型三：利用定积分求平面图形面积例5.（2015类型三：利用定积分求平面图形面积例5.（2015山东淄博一模）如图所示，曲线y=x2—1,x=2,x=0,阴影部分的面积为（ ）220x-1dx22（（X-1）dxy=0围成的C.2 C.2 20x-1dxD.如下图形的D.如下图形的1 2 2 20x-1dx「1-xdx【答案】A【解析】由曲线y=|x2—1|的对称性，所求阴影部分的面积与2I2面积相等，即］x-1dx，选A.是解题的主要思路•求图形的面积的一般步骤是解题的主要思路•求图形的面积的一般步骤（1） 画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；（2） 找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）（3） 确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；（4） 写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；（5）计算各个定积分，求出所求的面积 .举一反三:【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577典型例题一】【变式1【变式1】由直线x1517A.B.441 1，x=2，曲线y及x轴所围图形的面积为（）.2 x1C.—In2D.2ln22【解析】21【解析】21S=1—dx=InxL2x=ln2—ln(1)=21n2【答案】D【变式2】【变式2】（2015江西宜春月考）已知函数f（x）=x3—x2+x+1,求其在点（1,2）处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.【解析】'-（1,2）为曲线f（x）=x3—x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3x2—2x+1=2,••过点（1,2）处的切线方程为 y—2=2（x—1）,即y=2x.y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图：y=x2由丫可得交点A(2,4).y=2x•y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积2 2 I2 1 3i'2S2x「xdx二xx|0=410101010类型四：利用定积分解决物理问题例6.汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度 a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，32X1000当t=0时，汽车速度Vo=32公里/小时= 米/秒:、8.88米/秒.3600刹车后汽车减速行驶，其速度为 V(t)=V0_at=8.88_1.8t.当汽车停车时，速度V(t)=O,故从V(t)=8.88到V(t)=0用的时间t=8.88-°茫493秒.1.8于是在这段时间内，汽车所走过的距离是4.93(8.88—1.8t)dt4.93(8.88—1.8t)dts=0V(t)dt=012 493=(8.88t-1.8 t)|0 21.90米.2即在刹车后，汽车需走过 21.90米才能停住.【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.举一反三：【变式1】一物体在力F(x)=3x的作用下，沿着与F相同的