1实验数据的误差分析与处理

#实验数据的误差分析与处理在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。测量误差的表示方法由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差别。绝对误差绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。假设被测量的真值为Ao,测量仪器的示值为X,则绝对误差为X=X-Ao (1.1.1)在某一时间及空间条件下,被测量的真值虽然是客观存在的,但一般无法测得，只能尽量逼近它。故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao,为区别起见，将A称为被测量的实际值，则X=X-A (1.1.2)在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值(即实际值)减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值 C表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值(即实际值)减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即C =—△X=A-X (1.1.3)利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值 A,即

(1.1.4)A=X+(1.1.4)例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为 1.1V，通过鉴定得出该电压表修正值为—0.01V，则被测电压的真值为A=1.1+(—0.01)=1.09V修正值给出的方式可以是曲线、公式或数表。对于自动测验仪器，修正值则预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是实际值。相对误差测量不同大小的被测量时，绝对误差往往不能确切地反映出被测量的准确程度。例如：设测一个大小为100V电压时，绝对误差为△X1=+2V;测一个10V电压时，绝对误差为△茨=0.5V,虽然△*>△茨，可实际厶X1只占被测量的2%,而厶X2却占被测量的5%。显然，后者的误差对测量结果的影响更大。因此，工程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。相对误差：用绝对误差△X与被测量的实际值A的比值的百分数来表示的相对误差，记为AyA 100% (1.1.5)A引用误差相对误差虽然可以说明测量结果的准确度，并衡量测量结果和被测量实际值之间的差异程度，但还不足以用来评价指示仪表的准确度，为此引入了引用误差的概念。引用误差：用于表征仪表性能的好坏，其定义为绝对误差△ X与仪器的满刻度值Xm之比的百分数，即比100%(1.1.6比100%(1.1.6)例1.1用量程为300V的电压表测量实际电压为218V的电压时，电压表的示值为214V,试求各种误差。解：根据定义，得被测电压的绝对误差为△U=U-U=214-218=-4V相对误差为A- 100% 4 100%=_1.83%Uo 218引用误差为mU100% 4 100%=-1.33%Um 3001.2误差的来源与分类1.2.1测量误差的来源测量误差的来源很多，根据误差产生的情况，主要可以分成以下几个方面。仪器误差仪器误差是指由于测量仪器本身的电气或机械等性能不完善所造成的误差。因此，消除仪器误差的方法是配备性能优良的仪器并定时对测量仪器进行校准。使用误差使用误差又称为操作误差，指测量过程中因操作不当而引起的误差。减小使用误差的办法是测量前详细阅读仪器的使用说明书，严格遵守操作规程，提高实验技巧和对各种仪器的操作能力。例如：在万用表表盘上常有“丄” 、“n”、“/6o0”等符号，它们表示该万用表在使用时的位置分别是：垂直、水平和与水平面倾斜成 60°。若测量者在使用时不按规定位置放置，则会带来误差。又如在使用万用表欧姆档测电阻前不调零所带来的误差，更是显而易见的。方法误差方法误差又称理论误差，它是指由于使用的测量方法不完善、理论依据不严密、对某些经典测量方法作了不适当的修改简化而产生的误差， 即指凡是在测量结果的表达式中没有得到反映的因素，而实际上这些因素在测量过程中又起到一定的作用所引起的误差。例如，用伏安法测电阻时，若直接以电压表示值与电流表示值之比作测量结果，而不计电表本身内阻的影响，就会引起方法误差。下面我们以伏安法测电阻为例，来说明方法误差的产生。根据欧姆定理，对于线性电阻，其阻值R为UR (1.2.1)I式中U为被测电阻两端电压，I为流经电阻的电流。由于实际电流表的内阻

不是零，电压表的内阻也不等于无穷大，因此实际的两种伏安法测电阻电路（如图1.2.1和图1.2.2所示）都不可避免地要出现方法误差。此外，对于阻值不同的电阻，两种测量方法产生的方法误差也有很大差异，分析如下：RxRxRxRx图1.2.2电流表内接伏安法所示电流表外接电路时，电流表的读数并不是通过F图1.2.2电流表内接伏安法所示电流表外接电路时，电流表的读数并不是通过FX的实际电流，而是通过FX图1.2.1电流表外接伏安法设被测电阻的阻值为甩,电流表和电压表内阻分别为B和R；,当采用图1.2.1和R；并联电路的总电流，于是有R测UIRXRVRx+Rv<Rx(1.2.2)其绝对误差为心R=Rx—R测=rX(1.2.3)Rv+Rx其相对误差为RXY:=X100%(1.2.4)RxRv+Rx由上式可知，当FvvFV时，相对误差较小，即图1.2.1所示电流表外接法适于测量阻值较小的电阻。在图1.2.2所示电流表内接电路中，电流表读数就是流过被测电阻 甩的电流，但电压表的读数却不是 FX两端的电压，而是FX与FV串联电路两端的电压，所以有U xR测 RX Ra RxI(1.2.5)其绝对误差为RX-R测-(RX RA)-RX-Ra(1.2.6)其相对误差为

AR RA先=——=，xioo% (127)RX RX由上式可知，当R»FA时，相对误差较小，即图1.2.2所示电流表内接法适于测量阻值较大的电阻。例如：在电压表、电流表内阻分别为 FV=50K、R=5」时，若被测电阻为R=10「，则用电流表外接法得相对误差为Rx 100%10100%:0.02%TOC\o"1-5"\h\zRv Rx 50000 10用电流表内接法得相对误差为RA 5-100% 100%=50%Rx 10若被测电阻甩=5心时，则用电流表外接法得相对误差为=RxRv =RxRv Rx100%500050000 5000100%:9.1%用电流表内接法得相对误差为弘100% - 100%=0.1%Rx 5000般地，当被测电阻RVRARv时,可视为小电阻，应采取电流表外接电路;当甩＞.RARv时，可视为大电阻，应采取电流表内接电路。所以，测量过程中产生的方法误差可以通过合理选择测量方法加以限制。1.2.2测量误差的分类测量误差按性质和特点可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。系统误差系统误差指在相同条件下重复测量同一量时，大小和符号保持不变、或按照一定的规律变化的误差。系统误差一般可通过实验或分析方法， 查明其变化规律及产生原因，即可减少或消除。电子技术实验中系统误差常来源于测量仪器的调整不当和使用方法不当所致。随机误差随机误差也称为偶然误差，指在相同条件下多次重复测量同一量时， 大小和符号无规律的变化的误差。随机误差不能用实验方法消除，但由于随机误差是符合概率统计规律的，我们可以从随机误差的统计规律中了解它的分布特性，从而对测量结果的可靠性作定量分析，并对误差进行消除。粗大误差粗大误差是一种过失误差。这种误差往往是由于测量者对仪器不了解、粗心等原因，导致测量结果严重偏离正确值。此外，测量条件的突然变化也会引起粗大误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，必须根据理论分析及统计检验方法的某些准则去判断哪个测量值是坏值，然后去除。减小误差的基本方法根据上述三类误差产生的原因，可采用不同的方法对不同类型的误差加以消除，以保证测量值的尽可能准确。1.3.1减小系统误差的方法对测量结果进行校正对仪器定期进行检定，并确定校正值的大小，检查各种外界因素，如温度、湿度、气压、电场、磁场等对仪器指示的影响，并作出各种校正公式、校正曲线或图表，用它们对测量结果进行校正，能有效地减少系统误差，提高测量结果的准确度。替代测量法替代法是指用一个可变的标准量代替被测量，且保持整个测量系统的工作状态不变，则仪表本身和外界因素所产生的系统误差对测量结果没有影响。它常常被广泛应用在测量元件参数上，如用电桥法或谐振法测量电容器的电容和线圈的电感量，可以消除对地电容、导线的分布电容、分布电感和电感线圈中的固有电容等因素对测量值的影响。也可用此法测量电阻阻值，以排除温度等外界因素对测量结果的影响。图1.3.1即采用替代法测量电阻的线路。图中甩为被测电阻，FP为可调标准电阻，R为一般可调电阻。测量时先将开关S合向“1”，使被测电阻FX接入电路，调节R使电流表的示数为一合适数值，然后将S合向“2”接入可调标准电阻R,调节R使电流表的示数与R＜接入时的相同。若测量电路的所有其他条件不变，则R=FU可以看出，这种测量方法可以排除在测量过程中外界因素对测量结果的影响。图1.3.1用替代法测量电阻的线路正负误差相消法这种方法可以消除外磁场对仪表的影响。它是通过对被测量进行正反两次位置变换的测量，然后将测量结果取平均值的方法实现对误差的消除。合理选择仪表量程在仪表准确度已确定的情况下，量程大就意味着仪表指针偏转小，从而增大了相对误差。因此，在测量时要合理地选择量程，并尽可能地使仪表读数接近满量程位置。一般情况下，仪表的指针在2/3满刻度以上时才有较准确的测量结果。因此，测量者应依据测试估计值的大小，在测量过程中合理选择仪表量程，方可得到较小的最大相对误差。特别注意，电压测试时的电压表选择与电压表在电路中的接法对系统误差的影响很大，这是电路测试中普遍存在的一个问题。当用低内阻的普通万用表测量高阻电路的电压时，由于电压表内阻的分流影响，电压表示值将严重偏离实际值，误差将会很大，我们以图1.3.2所示测量线路加以说明。在图1.3.2所示电路中若将电源电压与电阻值看作是准确的，则ab两端的电压的实际值应为4V。图1.3.2 电压表分流对测量值的影响

其相对误差为二_0.4%若用内阻为10MQ其相对误差为二_0.4%■12010000Rab= K；」118.58Ki'i12010000t' 118.58Uab-6 V_3.984V60-118.58严一4若用内阻为100KQ的普通万用表测量，则ab120100ab120100120100” 54.55Uab=6 V=2.857V60 54.55其相对误差为2.857「42.857「4=-28.6%由此可见，若不能正确选择仪表，则测量误差会非常大。1.3.2减小随机误差的方法因为随机误差的通常可采取对测量值取算术平均值的方法来减少随机误差大小和符号都是随机变化的，因此，采用多次测量取算术平均值就可以有效地增加误差相互抵消的机会。因为随机误差的例如：在用图1.3.3所示电路测量RC电路的时间常数时，由于其测量方法是用秒表来测量开关K打开后放电电流下降到初始值的0.368时的时间的，所以其各次的测量数据的差别较大，因此可采取多次测量取平均值的方法来使随机误差减小。图1.3.3 测量电容放电时间常数线路表1.3.1为某次测量得到的8个数据，可见其各次偏差值较大，但若根据表1.3.1所测得的时间常数.取其算术平均值，则_ 19.0 19.2-21.2 20.4 19.7 19.4-21.8-20.1T= =20.1S8表1.3.1RC电路时间常数.的测量数据测量次数12345678时间常数T(S)19.019.221.220.419.719.421.820.1电流i(卩A)3.683.683.683.683.683.683.683.68很显然，平均值的误差已经很小了此外，在实际测量中，可以采用数理统计的方法来分析随机误差。常用有限次测量数据的均方根误差作为随机误差测量精度的估计值。采用均方根误差计算方法是：每次测量值与算术平均值之差称为偏差。用偏差的平均数来表示随机误差是一种描述误差大小的方法，正负偏差的代数和在测量次数增大时趋向于零，为了避开偏差的正负符号，可将每次偏差平方后相加再除以测量( n-1)得到平均偏差平方和，最后再开方得到均方根误差。1.3.3减小粗大误差的方法粗大误差是应该避免的，测量者在测量时应注意以下几点， 以避免粗大误差的产生。测量之前可以做试探性测量，即进行粗测，以便正式测量时核对。反复对被测量对象进行测量，从而避免单次失误。改变测量方法或测量仪表后测量同一量值。实验数据的记录与处理实验中所得到的测量值或波形统称为实验数据，而对这些实验数据进行记录、整理、分析和计算，以从中得到实验的结论，这个过程称为实验数据处理。实验数据处理是实验过程中非常重要的环节，它可以直接影响到实验结论的正确与否。1.4.1数据的有效数字有效数字的概念

在测量中，对实验数据进行记录时，并不是小数点后位数越多越精确，由于误差的存在，所以测量值总是近似的。测量数据通常由“可靠数字”和“欠准数字”两部分组成，两者合起来称有效数字。例如：用一块量程50V的电压表(其最小刻度为每小格1V,如图1.4.1a所示)测量电压时，指针指在34V和35V之间，则可读数为34.4V，其中数字“34”是准确可靠的，而最后一位“4”是估计出来的不可靠数字，因此，该测量值应记为34.4V”，其有效数字是334.4V”，其有效数字是3位(a) (b)图1.4.1有效数字的读取有效数字位数越多，测量准确度越高。在图1.4.1b中(其电压表最小刻度为每小格为0.1V),指针仍然指在34V和35V之间，但可读数应为“34.40”，是4位有效数字，其准确度高于3位有效数字“34.4”。在图1.4.1a中，因为小数点后面第一位就是估计出来的欠准数字， 因此第二位就没有意义了，所以只能读作“34.4”，不能记为“34.40”。在实验数据的记录中，一定要合理选择有效数字的位数，使所取得的有效数字的位数与实际测量的准确度一致。有效数字的表示方法在用有效数字记录实验数据时，应遵守以下表示形式：记录测量数据时，只允许保留一位欠准数字。在第一个非零数字前的“0”不是有效数字。例如：0.034前面的两个“0”不是有效数字，它的有效数字是后两位，即0.034是2位有效数字；30.00的有效数字是4位,而30的有效数字是2位。必须注意末位的“0”不能随意增减，它是由测量仪器的准确度来确定的大数值与小数值要用幕的乘积形式来表示。例如：测得某电阻的阻值为35000门，当有效数字为3位时，则应记为3.50X104」，或350X102」，不能记为35000，因为35000表示该数据具有5位有效数字。当有效数字位数确定以后，多余的位数应一律按四舍五入的规则舍去，称为有效数字的修约。表示常数的数字可认为它的有效数字位数无限制，可按需要取任意位。如常数二、e、2等因子的有效数字的位数在计算中可视需要确定其效数字的位数。（3）有效数字的运算规则当测量结果需要进行中间运算时，有效数字的取舍，原则上取决于参与运算的各数中精度最差的那一个数的有效数字位数。一般应遵循以下规则：加、减运算：在进行加、减运算时，参加运算的各数所保留的位数，一般应与各数小数点后位数最少的数相同。例如：13.6、0.056、1.666三个数相加，小数点后最少位数是一位（13.6），所以应将其余两数修约到小数点后一位数，然后再相加，即13.6+0.1+1.7=15.4为了减小计算误差，也可在修约时多保留一位小数，计算之后再修约到规定的位数，即13.6+0.05+1.67=15.33〜15.3乘除运算：在进行乘除运算时，各因子及计算结果所保留的位数以百分误差最大或有效数字位数最少的项为准，不考虑小数点的位置。例如：0.12、1.057、23.41三个数相乘，有效数字最少的是0.12，贝U0.12X1.1X23=3.036〜3.0乘方及开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。2例如：（15.4）=237.2;、2.7=1.64对数运算：取对数前后的有效数字位数应相等。例如：In230=5.441.4.2 实验数据的读取与记录数字式仪表的读数与记录一般情况下，从数字式仪表上可直接读出被测量的量值，读出值即可作为测量结果予以记录而无需再经过换算。需注意的是，在使用数字式仪表时，若测量过程中量程选择不当则会丢失有效数字，降低测量精度。例如：用数字电压表测量1.682V的电压，在不同的量程时显示值如表1.4.1所示。表1.4.1 数字式仪表的有效数字量程(V)220100显示值(V)1.68201.68001.6有效数字位数432由此可见，在不同的量程时，测量值的有效数字位数不同，量程不当将损失有效数字。在此例中选择“2V'的量程才是恰当的。实际测量时，一般是使被测量值小于但接近于所选择的量程，而不可选择过大的量程。指针式仪表的读数与记录与数字式仪表不同，直接读取的指针式仪表的指示值一般不是被测量的测量值，而要经过换算才可得到所需的测量结果，即测量值二读数(格)X仪表常数(C.) (1.4.1)应注意的是，测量值的有效数字的位数应与读数的有效数字的位数一致。读数：指针式仪表的指示值称为直接读数，简称为读数，它是指指针式仪表的指针所指出的标尺值并用格数表示。如图1.4.2所示的为某电压的均匀标度尺有效数字读数示意图，图中指针的两次读数为18.6格和116.0格，它们的有效数字位数分别为3位和4位。测量时应先首先记录仪表的读数。图1.4.2 指示仪表有效数字读数示意图仪表常数：指针式仪表的标度尺每分格所代表的被测量的大小称为仪表常数，也称为分格常数，用C.表示，其计算式为C.=Xm/_：：m (142)式中，Xm为选择的仪表量程；：*为指针式仪表满刻度格数。可以看出，对于同一仪表，选择的量程不同则仪表常数也不同。例1.4.1若图1.4.2所示为某电压的标度尺，试求当选择仪表量程为 30V时指针所处位置对应的测量值。解：指针在图1.4.2所示的①处时的读数K=18.6格，指针在图1.4.2所示的②处时的读数K2=116.0格。因为电压表的量程为30V,则分格常数为C：=im/:m=30V/150div=0.2V/div所以，指针在①处时的示值为11=K1C=18.6divx0.2V/div=3.72V指针在②处时的示值为u=K2C=116.0divx0.2V/div=23.20V注意要保持测量值的有效数字位数与读数相同，因此U、U有效数字的位数分别为3位和4位。波形的记录在实验过程中，常用示波器观察电子线路中电信号的输入、 输出波形。在记录波形时要注意以下几点：在坐标系上标示出合适的横坐标、纵坐标的单位及坐标原点。在波形图上标示出能够显示图形变化趋势的关键点及相应的坐标。描绘示波器测试波形时，在波形图上应该正确反映测试波形之间的相位关系。描绘示波器测试波形时，要注意正确反映波形与基线的相对位置(可参阅第二章示波器注意事项)。例如用双踪示波器观察TTL74LS00“与非”门电路电压传输特性的变化波形。记录其波形可得到图1.4.3所示的电压传输特性曲线，其中对于波形的关键点A、B、C、D,在记录波形时均要记录其坐标点。图143 “与非”门电压传输特性曲线1.4.3实验数据的处理实验测量所得到的测量值，在经过有效数字修约、运算处理后，有时仍看不出实验规律或结果，因此必须对这些实验数据进行整理、计算和分析，才能从中找出实验规律，得出结果。常用的实验数据处理法为列表法和图示法。(1)列表法列表法是记录实验数据最常用的方法，测量时将测量结果填写在一个