2014年数学建模暑期练习题

2014年数学建模暑期练习题2014年数学建模暑期练习1.食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见表1。表1糖果有关数据原料A原料B原料C价格（元/kg）高级奶糖>50%>25%<10%24水果糖<40%<40%>15%15各种原料的可供量和成本见表2。表2各种原料数据原料可供量（公斤）成本（员/公斤）A50020B75012C6258该厂根据订单至少需要生产600公斤髙级奶糖，800公斤水果糖，为求最大利润，试建立线性规划模型并求解。2.某商业公司计划开办5家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司人（心123,4,5）对新商店为（j=1,2,3,4,5）的建造费用的报价（万元）为©（/,7=1,23,4,5）,见表3。商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？表3各建筑公司的建筑费用数据B、B.民B,4871512Ay79171410691287671461069121063.上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了如表4所示的数据。表4小鼠肉瘤的实验数据0216239 11 1325 27151719体0.0040.0310.061 0.074 0.1030.1520.2100.339积0.5200.8131.269 1.558（1）若『时刻肿瘤的体积卩⑴满足指数模型dv—=rv<dty(0)=Vo请拟合参数I(2)若/时刻肿瘤的体积Wf)满足Logistic模型dv 门r—=av—pv<dtF(0)=v0请拟合参数a、卩。4.已知数据见表5。试求y对山宀內的线性回归方程并检验回归效果，能否剔除一个变量？表5回归分析数据序号x2y序号x2y10.453158641012.6581125120.423163601110.9371117633.11937711223.1461149640.634157611323.1501347754.72459541421.644739361.765123771523.1561689579.4444681161.93614354810.131117931726.858202168911.629173931829.951124995.炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀作用，随着使用次数的增加，容积不断增大，实测得到15组数据如表6。表6出钢数据使用次数X23456789增大容积6.78.29.589.59.7109.969.99使用次数X10111213141516增大容积y10.4910.5910.610.810.610.910.76试分别按以下两种形式建立y对x的回归方程，画出散点图和回归曲线，并根据适当的指标判断哪一种好o

yxhy=cex.6.已知数据见表7。表7已知数据表X00.511.522.533.544.555.5y3・67.510.712.713.112.511.310.711.815.422.23.6试求形式为y=aQ+a}x~+a2x+sinx的回归方程并检验回归效果。一枚导弹，以初始速度％,水平夹角Q离开原点(0,0)。如果导弹在(x「,儿)点着陆，且在飞行中受到一拉力，其大小和速度的平方成比例，那么控制导弹飞行轨迹的四个一阶方程为空…后二g+5片J记+彳山心一厶加一厶匕山心一厶加一厶Vr丄其中p是导弹的垂直高度，X是飞行的水平距离，f是时间，匕和片分别是速度V的水平和垂直分量，5是拉力系数，g是重力加速度。这些方程仅当b足够大且叫大于零时才有效。初始条件为叫LjF'oCOSQ,vj/_o=v0sina,此.°=0当v0=600f/s,c,/=0.002,g=45°时，画出导弹到达儿=0前的飞行轨迹。求导弹的最大上升高度及出现这一高度时的飞行距离。求v=0时的值及到达这一点时所需的时间。1989年度西山矿务局五个生产矿井实际资料如表8所示，请对西山矿务局五个生产矿井1989年的企业经济效益进行综合评价。表81989年度西山矿务局五个生产矿井技术经济指标实现值指标白家庄矿杜尔坪矿西铭矿官地矿西曲矿原煤成本99.89103.6997.42101.1197.21原煤利润96.91124.7866.44143.9688.36原煤产量102.63101.85104.39100.94100.64原煤销售量98.47103.16109.17104.3991.90商品煤灰分87.5190.2793.7794.3385.21全员效率108.35106.39142.35121.91158.61流动资金周转天数71.67137.1697.65171.31204.52资源回收率103.2510010099.13100.22百万吨死亡率171.251.3515.9053-7220.78友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米.大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0.24元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1・20元/千克，小麦每亩可收获350千克，售价为U.70元/千克。农场年初规划时考虑如下几个方面。年终收益不低于350万元；总产量不低于1.25万吨；小麦产量以0.5万吨为宜；大豆产量不少于0.2万吨；玉米产量不超过0・6万吨；农场现能提供5000吨化肥：若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。试就该农场生产计划建立数学模型。设有9个节点4(21,…,9),他们的坐标分别为(兀丿)，具体数据见表9。任意两个节点之间的电缆长度为diJ=\xi-xJ\+\yi-yJ\问怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆长度为最短？表9点的坐标数据表•1123456789兀0516203323352510152024202511703最廉价飞机线路的选择北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子公司之间，其出行所乘坐的交通工具是飞机，各个城市间的飞机线路，及票价如下表

城市北京天津南京青岛上海广州深圳西安武汉杭州北京050INF4025101214INF15夭津5001520INF2520INF1716南京INF1501020INFINF2628INF青岛4020100102532221821上海25INF201005516INF2124广州1025INF255501724INF25深圳1220INF3216170162718西安14INF2622INF241601819武汉INF17281821INF2718020杭州1516INF2124251819200（注：数字代表价格,INF表示城市之间没有线路。）问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。12•选址问题已知某地区的交通网络如图8・37所示，其中点代表居民小区，边代表公路,边上的数字为小区间公路距离（单位：千米人各个小区的人数如表10所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？表10 各个小区的人数小区1234567人数535989609600789067317694813613.高速公路修建费用问题4城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，如图给出了整个地区的大致地貌情况，

已知图中坐标系原点为6OB为X轴，Q4为Y轴，经测童，曲线CD-EF.1\ 7y=51+3cos—xy=68+4cos—x• 17曲〃分别近似满足方"22+3y=51+3cos—xy=68+4cos—x• 17图中显示可分为三条沿东西方向的地形带。已知每个地形带的造价如下：地形带平原高地高山造价（万元/公里）5008001400你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上4聊公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？（町当道路转弯是，角度至少为140（）。（b）图中P是个重要的城市，其坐标为（44,60）,道路必须通过P城。14•一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上卞=500颗某种一年生植物。记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的（1岁种子）比例为瓦活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为乞活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为方,1岁种子发芽率勺，2岁种子发芽率“2,3岁种子发芽率、设c=10,®=0.7,©=0.4,冷=02为固定，b是变量，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。船票价格某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平

均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当船速为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元…若公司打算从每个乘客身上获得利润10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格。湖水的自我净化问题设一容积为V(单位："、的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是I•(单位天)。试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。某湖的容积为5176*10人9(”)，湖水的流量为4.121"0八10(〃*/天)，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。x2+y2+zx2+y2+z2=361&库存问题(1)已知某平原地区的一条公路经过如下坐标点，请用不同的插值方法绘出这条公路(不考虑公路的宽度)。对于下表给出的数据，并估计的公路长度。X(m)03050708090120148170180Y(m)80644742486680120121138X(m)202212230248268271280290300312Y(m)160182200208212210200196188186X(m)320340360372382390416430478440Y(m)200184188200202240246280296308X(m)420380360340320314280240200Y(m)334328334346356360392390400在物资的供应过程中，由于到货与销售不可能做到同步.同量，故总要保持一定的库存储备。如果库存过多，就会造成积压浪费以及保管费的上升；如果库存过少，会造成缺货.如何选择库存和订货策略，就是一个需要研究的问题.库存问题有多种类型，一般比较复杂，下面讨论一种简单的情况.某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略，当库存量降低到P辆自行车时就向厂家订货，每次订货Q辆，如果某一天的需求量越过了库存量,商店就有销售损失和信誉损失，但如果库存量过多，会导致资金积压和保管费增加.若现在已有如下表所示的五种库存策略，订货方案表方案编号重新订货点P/辆重新订货量Q/ffi方案1125150方案2125250方案3150250方案4175250方案5175300这个问题的已知条件是：从发出订货到收到货物需隔3天.每辆自行车保管费为0.75元/天，