“亚黄金椭圆”的性质再探究 论文

“亚黄金椭圆”的性质再探究[摘要]圆锥曲线是高中数学重要知识点之一，也是高考中的重难点；它们有很多完美的性质，本文通过对亚黄金椭圆性质的进一步探究，以期引导中学生对圆锥曲线的性质有更深入的学习和发现.[关键字]亚黄金椭圆；性质；探究5-15在初中阶段，我们知道 2出亚黄金椭圆的定义：若椭圆的离心率e满足e2=

5-1，则称该椭圆为亚黄金椭圆.2为了探究的方便，我们假设亚黄金椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，标准方x2 y2程为C: +>0)，其中长轴端点为A、A

，短轴端点为B、B

，左、a2 b2

1 2 1 2右焦点为，如下图所示.yyB2A1F1OF2A2xB1图1亚黄金椭圆的性质性质1．在亚黄金椭圆中，成等比数列.2【证明】因为e2=c =2

5-1 ö ö4 2，可得ç ÷÷4 2

-1即c4+a2c2-

a2 2a4ø ø所以a2c2=a4-c4所以a2a2-b2)a4-c4所以a2b2即ab故成等比数列.命题得证.性质2．在亚黄金椭圆中，

1+1=1.a2 c2 b2【证明】由性质1，ab所以 1 =1a2b2 c4c2 1变形为 =a2b2 c2a2-b2 1即 =a2b2 c2所以1-1=1b2 a2 c2故1+1=1.a2 c2 b2命题得证.性质3．在亚黄金椭圆中，以椭圆中心（坐标原点）为圆心，以半长轴a为半径作圆，p交y轴于，在图1中，四点共圆；在图2中，= .2yA4yA4B2xA1F1OF2A2B1A3yA4B2xA1F1OF2A2B1A3图2 图3p【证明】先证明图2中=2成立.由性质1，在亚黄金椭圆中，ab所以a=c，即c b

=442因为所以p可得=2.p由对称性，可知图1中，=2，故四点共圆.命题得证.性质4．在亚黄金椭圆中，以椭圆中心（坐标原点）为圆心，分别以半长轴a、半短轴b为半径作大圆与小圆，大圆交y轴于，如图所示，则小圆与直线相切，即原点到直线的距离为半短轴长.yyA4B2dxA1F1OF2A2B1A3图4【证明】在亚黄金椭圆中，ab，l故原点到直线的距离

:ax-

ac，d= ac =a2

abc =a2b2+b2c2

abc =c4+b2c2

abc =c2b2c2)

abca2c2

=abcac.所以小圆与直线相切.命题得证.性质5．在亚黄金椭圆中，以椭圆中心（坐标原点）为圆心，以半长轴a为半径作圆，交y轴与，过原点的直线l与过的动圆N相切于点M，则OM即切线段长为半焦距.，yyA4NB2MxA1F1OF2A2B1A3图5【证明】在亚黄金椭圆中，ab，由圆切割线定理，2 2=OB2故OM，即切线段长为半焦距.命题得证.这些只是笔者浅显地探索了亚黄金椭圆的一些简单性质，还有更多优美的性质待我们继续挖掘发现.链接高考例1．2006年天津卷（理科）x2 y2+>0)的中心Oa和b为半径作大圆和小a2 b2圆．过椭圆右焦点F(c,0)(c>b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．（1）求证：c2，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；=（2）设直线BF交椭圆于两点，求证：OP=

1b2．2（1）证明略．Ma)（2）证明略．yyPABOFQx图6例x2 y2椭圆C: +>0)的离心率e满足e2=

5-1，直线l不与坐标轴垂直，a2 b2 2若直线l与椭圆C相切于点P，点O为坐标原点，则直线l与直线OP的斜率之积为 ．5-35答案： （过程略）2参考文献[1]苏立标.从一道高考题谈“亚黄金椭圆”的性质.《数学教学研究》2007年第6期39-40页，共2页.[2]魏海涛.椭圆族中的奇葩—黄金椭圆.