备战2023年重庆市新高考数学大题限时练专题08含解析

Page1专题08大题限时练八1．已知各项均为正数的数列满足，且．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．【答案】（1）；（2）【详解】（1）解：因为，所以，又因为，所以，即，所以数列是首项，以3为等比的等比数列，所以；（2）解：，则，，两式相减得，所以．2．在中，角，，的对边分别为，，，满足，且的平分线交于点．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，且，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）由正弦定理及，知，即，由余弦定理知，，因为，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为的平分线交于点，所以，因为，所以由角平分线的性质知，，因为，所以，即，解得，所以的面积．3．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求的分布列和数学期望．【答案】见解析【详解】（1）由频率分布直方图可知，超过1.5万元的频率为，所以超过1.5万元的户数有户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则，所以有的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，所以的分布列为：01234因为服从二项分布，所以的数学期望．4．如图所示，在四棱柱中，四边形为矩形，，四边形为菱形，，平面平面，点为线段的中点，为线段的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【详解】证明：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，，因为四边形为菱形，，所以，因为平面平面，平直平面，所以平面，因为平面，所以，易知，所以，因为，所以平面，因为平面，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，4，，，，2，，所以，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，所以，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且该双曲线过点．（1）求的方程；（2）如图，过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点，和点，，当直线，均不平行于坐标轴时，直线，分别与直线相交于，两点，证明：，两点关于轴对称．【答案】见解析【详解】（1）由已知得，解得，，所以的方程为；证明：（2）设直线的方程为，直线的方程为，点，，，，，，，，由，得，则△，得，所以，，同理可得，，，满足，直线的方程为，令，得，又，，所以，即，同理可得，因为，所以，两点关于轴对称．6．已知函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2），【详解】（1）当时，，则，所以（1），（1），此时，曲线在处的切线方程为，即；（2）在，上恒成立，且（1），所以，（1），因为，所以．①当时，，此时函数在，上单调递增，则（1），不合乎题意；②当时，令，则，此时函数在，上单调递减．若（1），即当时，对任意的，（1）且不恒为零，此时，函数在，上单调递减，则（1），合