之专题与(能力提升)训练与解析

【《圆》】之专题（基础训练）与（能力提升）训练与解析【基础训练】一、选择题对于下列命题：任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形.其中，正确的有（）.A.1个 B.2个 C.3个D.4个下列命题正确的是（）.A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为（）.A."米 bZ”米已知两圆的半径分别为2、5,且圆心距等于2,则两圆位置关系是（）.A.外离 B.外切 C.相切 D.内含如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点0，交坐标轴于E、F，OE=8,0F=6，则圆的直径长为（）.12 B.10 C.4D.15第3题图 第5题图 第6题图 第7题图如图所示，方格纸上一圆经过（2,5），（-2,1），（2,-3），（6,1）四点，则该圆圆心的坐标为（）.A.（2，-1）B.（2，2）C.（2，1）D.（3，1）如图所示，CA为。0的切线，切点为A,点B在。。上，若ZCAB=55°,则/A0B等于（ ）.A.55° B.90° C.110°D.120°一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）.A.60° B.90° C.120°D.180°二、填空题如图所示，AABC内接于OO,要使过点A的直线EF与。O相切于A点，则图中的角应满足的条件是（只填一个即可）.

已知两圆的圆心距Q0为3,'°】的半径为1.。°'的半径为2,则。°1与。心的位置关系为DB切。O于点A,ZAOM=66°，则ZDAM=DB切。O于点A,ZAOM=66°，则ZDAM=第9题图12.如图所示第11题图OO的内接四边形第12题图ABCD中，AB=CD,第15题图则图中与/1相等的角有13.点M到。O上的最小距离为2cm，最大距离为10cm,那么OO的半径为已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CDLAB交半圆于点D，且CD=^R2，则AC的长为如图所示，OO是^ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB=AC，/ADE=65°，则/BOC=.已知OO的直径为4cm，点P是OO外一点，PO=4cm，则过P点的OO的切线长为cm，这两条切线的夹角是三、解答题如图，应是半圆°的直径，过点。作弦必的垂线交半圆。于点占，交于点使ZBED=ZC.试判断直线元°与圆。的位置关系，并证明你的结论;在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。如图，点P在y轴上，眼交x轴于A、B两点，连结BP并延长交于C，过点c的直线y=2x+b交工轴于^，且•尹的半径为必，薜=4.⑴求点艮只|的坐标；(2)求证：。。是。/的切线;20,阅读材料：如图(1),△ABC的周长为项，内切圆O的半径为r,连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形，用.*△座。表示△ABC的面积.•.R&ASC=8&QAB*膈况+R&&CA•又占， 占， 占，^A£C=-ABT^-BCT-^-CAT=-hr2222 (可作为三角形内切圆的半径公式).理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形的内切圆半径；类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(2))，且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；a?、a,、…、a，拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a、a、a?、a,、…、a，【答案与解析】一、选择题【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个.①③正确，②④错误，故选B.【答案】B；【解析】在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，所以A不正确；等弧就是在同圆或等圆中能够重合的弧，因此B正确；三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆，所以C不正确；平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦，所以D不正确.对于性质，定义中的一些特定的条件，一定要记牢.【答案】B；【解析】以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题，背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度.【答案】D；【解析】通过比较两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判断两圆的位置关系.5-2=3>2，所以两圆位置关系是内含.【答案】B；【解析】圆周角是直角时，它所对的弦是直径.直径EF二仙七由=10.【答案】C；【解析】横坐标相等的点的连线，平行于y辄纵坐标相等的点的连线，平行于x辄结合图形可以发现，由点(2,5)和(2,-3)、(-2,1)和(6,1)构成的弦都是圆的直径，其交点即为圆心(2,1).【答案】C；【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式.由AC切O于A,则ZOAB=35°,所以ZAOB=180°-2x35°=110°.【答案】C；【解析】设底面半径为r，母线长为项，则2 ,.•.项=分，...，「・n=120,「・ZAOB=120°.二、填空题【答案】/BAE=/C或ZCAF=ZB.【答案】外切.

11.【答案】147°；【解析】因为DB是©0的切线，所以OALDB,由ZAOM=66°,得1(180°-66°)=57ZOAM=2ZDAM=90°+57°=147°.【答案】/6,/2,/5. 【解析】本题中由弦AB=CD可知=™，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有/1=/6=/2=/5.13.【答案】4cm或6cm；【解析】当点M在。【解析】当点M在。O外部时，。0半径4(cm)；=-(10+2)=6(cm)当点M在©0内部时，©0半径2点与圆的位置关系不确定，分点M在©0外部、内部两种情况讨论.14.【答案】【解析】根据题意有两种情况：①当C点在点与圆的位置关系不确定，分点M在©0外部、内部两种情况讨论.14.【答案】【解析】根据题意有两种情况：①当C点在A、0之间时，如图(1).故，由勾股定理0C=②当C点在B、0之间时，如图(2).由勾股定理知AC=R+-R=-R故 2 2没有给定图形的问题，在画图时，一定要考虑到各种情况.15.【答案】100°；【解析】/ADE=/ACB=65°，「・ ZBAC=180°-65°x2=50°，ZBOC=2ZBAC=100°.在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)，在解一些客观性题目时，可以使用.

16.【答案】也；60°；【解析】连接过切点的半径，则该半径垂直于切线.在由。。的半径、切线长、OP组成的直角三角形中，半径长2cm，PO=4cm.由勾股定理，求得切线长为之必垣，两条切线的夹角为3。°乂2=60°.本题用切线的性质定理得到直角三角形，利用勾股定理和切线长定理求解.三、解答题【答案与解析】AC与。O相切.证明：.・.弧BD是/BED与/BAD所对的弧，AZBAD=AZBAD=ZBEDAZAOC+ZBAD=90°，.../BED+/AOC=90°，即/C+/AOC=90°，.../OAC=90°，/.AB±AC，即AC与。O相切.【答案与解析】一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形.如图，HG为。O的直径，且HG±AB,AB=16cm,HG=20cm..OH=10cm,BC=|AB=8cm/.OC=7OB2-BC2=J1淀一浮=6cm/.CH=OH-OC=10-6=4cmCG=OC+OG=6+10=16cm故所求弓形的高为4cm或16cm【答案与解析】⑴连结必'：OP2+B02=BP10P1AB：.0B=0A=2二"=5—4=10P=\,展。是眼的直径，:.ZCAB=90o'：CP=BPOB=OA，，:.AC=2OP=2，.■.5(2,0)P(ai)C(-2,2)⑵+%%：.b=6■'■_y=2x+6:当y=°时，k=t，:.AD=\

■OB=AC=2,AD=OP=\匕CAD=£POB=90°， ，:.£\DAC^£\POB，:.ZDCA=ZABC

■:ZACB+ZCBA=90°,.'.ZDCA+ZAC^=90°,--以7是•尹的切线.【答案与解析】⑴...52+122=169=132,「・此三角形为直角三角形.乩萍=1x5x12=30「・三角形面积， ^ ，周长'=5+12+13=30.「•£ ，解得r=2.⑵连接OA、OB、OC、OD,四边形ABCD被划分为四个小三角形.• ,莎=5"必＜?如=亏阮£&萍+— =—(i3+&+c+d)rr= a+b+c+d

【能力提升训练】一、选择题如图所示，AB、AC为。O的切线，B和C是切点，延长OB到D,使BD=OB,连接AD.如果ZDAC=78°,那么ZADO等于（）.A.70°B.64° C.62° D.51°在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°（如图所示），则光源离地面的垂直高度SO为（）.A.54mB.&右m C.，史m D.陆右m第1题图第2第1题图第2题图第3题图第4题图设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（ ）.A.(4n+8)cm2A.(4n+8)cm2(4n+16)cm2(3n+8)cm2(3n+16)cm2如图，8的半径为5,弦且月的长为8，点也在线段月月（包括端点丑#）上移动，则如r的取值范围是（）.A.乂函 b.叛0财 c.4《。财《5D.4<0^<5“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题："今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为。O的直径，弦ABXCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A.12.5寸B.13寸 C.25寸 D.26寸第5题图第6题图第5题图第6题图第8题图在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是（3,0）和（0，-4），半径分37别是］和1,则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有（）A.1条B.2条 C.3条D.4条

一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为().A.80° B.100° C.80°或100°D.160°或200°如图所示，AB、AC与。O分别相切于B、C两点，/A=50°,点P是圆上异于B、C的一动点，则ZBPC的度数是().A.65° B.115° C.65°或115° D.130°或50°二、填空题如下左图，△如是的内接三角形，乙=50。，点p在必上移动(点p不与点A、C重合)，则&的变化范围是，第9题图第第9题图第10题图如图所示，EB、EC是。O是两条切线，B、C是切点，A、D是。O上两点，如果ZE=46°，ZDCF=32°，那么/A的度数是.11.已知OO1与。O2的半径勺、分别是方程V-6工+8=°的两实根，若0O1与。O2的圆心距』=5.则0O1与0O2的位置关系是已知圆的直径为13cm，圆心到直线项的距离为6cm，那么直线！和这个圆的公共点的个数是.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是已知正方形ABCD外接圆的直径为云^，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为，面积为.如图(1)(2)...(m)是边长均大于2的三角形、四边形 凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……⑴图⑴中3条弧的弧长的和为，图⑵中4条弧的弧长的和为(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为(用n表示).如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9nm2，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要m2的毛毡.三、解答题如图，。0是^ABC的外接圆，FH是。O的切线，切点为F,FH〃BC，连结AF交BC于E,ZABC的平分线BD交AF于D,连结BF.证明：AF平分ZBAC；证明:BF=FD.已知射线OF交。0于B,半径OA±OB,P是射线OF上的一个动点(不与0、B重合),直线AP交。O于D,过D作。O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与^DPE的边、角或形状有关的规律.点P在移动过程中，设ZDEP的度数为x,ZOAP的度数为y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.

问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图(1)，在正AABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点0，若ZBON=60°,则BM=CN；如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点0，若ZBON=90°，则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题：如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点0,若ZBON=108°，则BM=CN.任务要求：请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；请你继续完成下面的探索；①在正n(n>3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点0，试问当ZB0N等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点0,ZB0N=108°时，试问结论BM=CN是否成立.若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.【答案与解析】一、选择题【答案】B；【解析】由AB为。0的切线，则ABXOD.又BD=OB，则AB垂直平分OD,AO=AD,/DAB=/BAO.由AB、AC为0O的切线，则ZCAO=ZBAO=ZDAB.所以，ZDAB=ZDAC=26°.ZADO=90°-26°=64°.本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等.【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形.由题意，SOXAB于O，「.ZSOA=ZSOB=90°.又SA=SB，ZASB=120°，.../SAB=/SBA= 2 ，设SO=xm，则AS=2xm.VAO=27，由勾股定理，得（2x）2-x2=272，解得工=9必（m）.【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，...AD=BC=4cm，ZDAF=90°，集y二日汗•曷』=集皿也=AB'AD=4x8=32cm2， ，又AF=AD=4cm，Sk^F=-BF•BC=-x\2x4=24cm2・.•凸 凸 ，•膈=+ -^cf=4tf+32-24=（4tt+8）cm2..【答案】A；【解析】OM最长是半径5；最短是OM±AB时，此时OM=3，故选A.【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA（或OB），求出半径即可.根据"垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，AE=BE=-AB=5 . . 、知 2 （寸），在RtAAOE中，OH=°占+庭，即OA=（OA-Y）+'，解得oa=13，进而求得CD=26（寸）.故选D.【答案】C.【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在RtAAOB中，OA=4,OB=3，所以AB=5,37 37,而两圆半径为2和2,且22 ，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，共有3条公切线.【答案】C；360°x-xl=100°【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为 92 ；圆周角的顶点在优弧上时，360°x-xl=80°圆周角为 92 .注意分情况讨论.【答案】C；【解析】连接OC、OB，则/BOC=360°-90°-90°-50°=130°.点P在优弧上时ZBPC=2ZBOC=65°；点P在劣弧上时，/BPC=180°-65°=115°.主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理.二、填空题【答案】0、@”0°口；【答案】99°；【解析】由EB=EC，ZE=46°知，/ECB=67°，从而ZBCD=180°-67°-32°=81°，在。O中/BCD与/A互补，所以ZA=180°-81°=99°.【答案】相交；【解析】求出方程尸一6工+8=。的两实根"、呵分别是4、2,则"-闩＜』＜"+%,所以两圆相交.【答案】2个；【解析】直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线'的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径为6.5cm，而圆心到直线！的距离6cm＜6.5cm，所以直线与圆相交，有2个公共点.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切（外切、内切）和相离（外离、内含）.两圆内切时，

圆心距次="一由，题中一圆半径为5,而d=2,所以有，解得r=7或r=3,即另一圆半径为7或3.【答案】(也TM；(诚-加\【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a.如图所示，设正八边形的边长为x.在RtAAEL中，LE=x,AE=AL=' ,即正八边形的边长为-1)& 8正岫蹲=£正行愈-4S△皿=疽-，=/--1)好=(2-^2—2)/..【答案】(1)n； 2n； (2)(n-2)n；g'W心个以g'W心个以TOC\o"1-5"\h\zn边形内角和为(n-2)180°,前n条弧的弧长的和为 360某定点为圆心，以1为半径的圆周长，2JTX1Xi(«-2)=-2)tf..・n条弧的弧长的和为 2本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为供，做，…，1,则供+5..・+5(T)炒，竺[吊1+壁Eq+…+色&1=-^(叫+弓+…+[)..・n条弧长的和为1织180 180 180佥3—2)x180=3—2)汗【答案】720n；

【解析】S=nr2,「.9n=nr2,「.r=3.「.h1=4,.R=R+R=丸戒+2对电=^rx3x5+2tfx3x3.5=15^r+217T=36tt..=20x36jr=720^.所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积.三、解答题【答案与解析】(1)连结OFAAF平分AAF平分ZBAC.•FH是。O的切线AOFXFH•..FH〃BC,AOF垂直平分BC •BF=FC(2)由(1)及题设条件可知Z1=Z2,Z4=Z3,Z5=Z2AZ1+Z4=Z2+Z3AZ1+Z4=Z5+Z3ZFDB=ZFBD...BF=FD.【答案与解析】⑴在BF上取点P,连AP交。O于点D,过D作。O切线，交OF于E,如图即为所求.(2)ZEDP=ZDPE,或ED=EP或^PDE是等腰三角形....ZEDP=ZDPE,(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，ZDPE=180°-x180°-x=90°在"△OAP中，V=—X