直线与圆的位置关系课件高二上学期数学人教A版选择性

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.

“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.

这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.情景导入直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(重点)学习目标图a图b图c(2)图b直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。(3)图c直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。(1)图a直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。一、直线与圆的位置关系定义：例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长。消去y，得所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法1：由直线l与圆的方程，得解得把代入方程①，得；把代入方程①，得所以，直线l与圆有两个交是A(2,0),B(1,3).解法2：所以，直线l与圆相交，有两个公共点.可化为其圆心C的坐标为（0，1），半径长为点C（0，1）到直线l的距离请你总结直线与圆位置关系判断方法直线与圆位置关系判断几何方法代数方法各有何优劣，如何选用？

几何方法直观，但不能求出交点；代数方法能求出交点，根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；

根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断.二、直线与圆的位置关系的判断：

1、相离2、相切3、相交直线与圆有两个交点直线与圆有一个交点直线与圆没有交点(d>r)(d=r)(d<r)方法1：形——距离圆心到直线的距离d与半径r的大小关系方法2：数——方程(1)△＞0直线与圆相交；(2)△

=

0直线与圆相切；(3)△＜0直线与圆相离.消元后关于x或y得一元二次方程解的个数跟踪训练1已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为∵d<r＝6，∴直线l与圆C相交.变式：点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）内不为圆心的一点，则直线m：x0x+y0y=a2，与该圆的位置关系是＿＿＿＿＿＿。拓广：（1）点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）上一点，则直线m与圆的位置关系为＿＿＿＿＿。（2）点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，则直线m与圆的位置关系为＿＿＿＿＿＿。（3）相离相切相交相交反思与感悟：直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.三、圆的弦长问题求直线与圆相交时弦长的两种方法：图①(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，.CABdrxy··例2求直线

被圆x2＋y2＝4截得的弦长.解：设直线

与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，圆心到直线距离为d，跟踪训练2已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.(1)求直线l的方程；∴两直线交点为(2,1).设直线l的斜率为kl，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，∵直线l过点(2,1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.(2)若圆C的圆心坐标为(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为

，求圆C的标准方程.(2)若圆C的圆心坐标为(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为

，求圆C的标准方程.设圆的半径为r，依题意，得∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.课本例2过点P(2,1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程.四、圆的切线问题解：方法一

因为22＋12＝5>1，所以点P在圆外.设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，因此，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0.方法二设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2).消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0. ①因为方程①只有一个解，所以Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0，所以，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0.例3过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程.①若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，解

因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.②若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，即15x＋8y－36＝0.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.反思感悟

求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关

系，以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为

，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时(有2条)常用几何方法求解：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练3

(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为x－y＋9＝x＋y－9＝0x＋y＋