空间向量的数量积运算课件高二上学期数学人教A版选择性(1)2

1.1.2空间向量的数量积运算1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影向量的概念.（数学抽象）2.理解空间向量的数量积的运算律：交换律和分配律.并可以与数的乘法相联系与区别.（数学运算）3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.（逻辑推理、数学运算）学习目标W=|F||s|cos

根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.复习引入复习引入已知两个非零向量,作,，则叫做向量的夹角.1向量的夹角:OAB已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把叫做向量的数量积,记做,即=.2平面向量数量积:3平面向量数量积的性质4平面向量数量积的运算律（交换律）（分配律）（数乘结合律）新知探究

我们知道任意两个空间向量可平移到同一平面，因此可转化为平面向量再求其夹角。两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？新知探究

空间向量夹角定义新知探究思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？

数量积的运算性质①a·e=|a|cos<a,e>(e为单位向量).②若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;③若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.特别地,|a|2=a·a或|a|=.④若θ为a,b的夹角,则cosθ=.⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立)(1)(2)AB(3)(1)(2)AB(3)acb不能不能

向量没有除法运算，因为有两种乘法：一是数量积a·b，二是向量积a×b，所以向量的除法没有意义.不成立当a与c共线时，(a·b)·c＝a·(b·c)成立；当a与c不共线时，(a·b)·c≠a·(b·c).因此，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.向量的数量积不满足结合律.证明:空间向量数量积及其计算例

如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，

求：＝cos600－cos600＝0.【练】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（）√解（1）∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.空间向量数量积及其计算＝4－0＋0－2＝2.2

利用数量积求夹角空间向量的数量积空间向量的数量积

方法总结问题

如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=

60°，∠BAA'=

∠DAA'=

45°.求：(1)；(2)AC'的长（精确到）.追问(1)

如何计算？它们的长度，夹角是多少？

AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3，∠BAD=

60°.解：(1)追问(2)为了求AC'的长，应该用哪些向量表示？为什么？如何表示？可以根据已知条件与平行四边形法则，用

来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算.(2)

用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法.例、如图，m、n是平面a内的两条相交直线，如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥amnlg习题1.1#8、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。aOPAl已知：如图，PO，PA分别是平面a的垂线、斜线，AO是PA在平面a内的射影，l⊂

a，且l⊥OA，求证：l⊥PA例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：AB⊥CD；ABCDEF例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：AB⊥CD；（2）求AE、CF所成角的余弦值；解：∵点E、F分别是BC、AD的中点ABCDEF例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：AB⊥CD；（2）求AE、CF所成角的余弦值；ABCDEF

B

随堂检测

D

0

回顾本节课的学习过程，你学到了什么？1数量积运