江西省上饶市广丰区2021-2022学年高一上学期期末模拟考数学试题（二）

20212022学年度广丰区高一数学期末考试复习卷（二）考试范围：必修第一册；考试时间：120分钟；命题人：刘林芳注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1.设函数与(且)在区间具有不同的单调性，则与的大小关系为（）A. B. C. D.不确定【答案】D【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性可知或，分类讨论两种情况，结合指数函数的单调性即可比较大小.【详解】解：因为与(且)在区间具有不同的单调性，所以或，解得：或，当时，，，此时；当时，，，此时；所以的大小不确定.故选：D.2.已知偶函数满足，且当时，若函数恰有4个零点，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】将问题转化为函数的图象与函数的图象有4个交点，根据题意画出函数图象，结合图象可得函数的图象经过点，从而可求出的值【详解】因为函数恰有4个零点，所以函数的图象与函数的图象有4个交点，因为，所以的图象关于直线对称，因为为偶函数，且当时，所以的部分图象如图所示，结合图象可得函数的图象经过点，则，解得.故选：D3.若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.(1，＋∞)【答案】B【解析】【分析】结合对数函数的定义域、复合函数单调性同增异减来求得的取值范围.【详解】令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.综上可得1<a<2.故选：B.4.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出和为真时的范围，然后根据充分必要条件的定义求解．【详解】由已知，即，，是的充分不必要条件，则．故选：A．5.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，.则（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得是以4为周期的函数，则，从而计算可得；【详解】解：因为为奇函数，所以，①将①中的替换为得.②因为为偶函数，所以，③由②③得，则，所以是以4为周期的函数，故.故选：D6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是偶函数 B.的最小值是1C.的值域是 D.是单调函数【答案】C【解析】【分析】对于A，通过计算和的值进行判断即可，对于B，举例判断，对于C，通过计算求解即可，对于D，举例判断【详解】对于A，因为，，所以，所以不是偶函数，所以A错误，对于B，因为，所以的最小值不是1，所以B错误，对于C，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的值域是，所以C正确，对于D，由C选项可知，当时，，当时，，当时，，当时，，所以不是单调函数，所以D错误，故选：C7.向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答.【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，由Venn图可知，，即，解得，所以对A，B都赞成的学生有21人.故选：D8.已知函数（），则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接代入解析式化简可得答案.【详解】解：∵，∴，故选：C.二、多选题9.已知，，，，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用指数函数的性质及幂函数的性质即得.【详解】由题得，，，，因为幂函数在上单调递增，所以，又因为指数函数在上单调递增，所以.故选：ABC.10.（多选题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】【分析】令转化为，采用数形结合法可求参数范围，结合选项即可求解.【详解】令得，令，由画出图象得：由图可知，要使恰有2个零点，则直线与要有两个交点，或，故ABC都符合.故选：ABC11.已知函数，若关于x的方程的无实数根，则实数a的取值可以为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】将方程无实数根，转化为与图象无交点，，利用换元法求其范围，进而可得a的范围.【详解】∵方程无实数根，∴与图象无交点，令，则令，则，因为，即∴当a取非正值时，与无交点.所以当a取或或时，符合题意.故选：ACD12.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（）A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)By＝x＋C.y＝－log3xD.y＝【答案】AD【解析】【分析】由题得能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调，再判断函数的单调性即得解.【详解】解：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.因此，能够被用来构造“同值函数”函数必须满足在其定义域内不单调.对于选项A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；对于选项B，y＝x＋为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数（增函数+增函数=增函数），故B不可以构造“同值函数”；对于选项C，y＝－log3x为定义在(0，＋∞)上的单调减函数（减函数+减函数=减函数），故C不可以构造“同值函数”；对于选项D，y，所以，所以函数不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是A和D.故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题13.若函数与的图像恰有两个公共点，则实数k的取值为____________【答案】4【解析】【分析】作出两函数的图象，当时，，在，上有一个交点，只需当时两函数图象有且只有一个交点，最后根据一元二次方程只有一个根建立关系式，从而可求出所求．【详解】由得，由得，作出两函数的图象如下图：当时，，在，上有一个交点，而函数与的图象恰有两个公共点，所以当时两函数图象有且只有一个交点，即与相切，即，即，，解得或0（舍去）故答案为：4．14.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时.【答案】5【解析】【分析】根据给定条件求出k值，再由排放的污染物含量不超过的1%列出不等式求解即得.【详解】依题意，过滤5小时，污染物数量，于是得，解得，排放污染物时，，即，解得，，所以排放前至少还需要过滤时间是5小时.故答案为：515.已知二次函数，若任意且都有，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】不妨令，可得，进而可得在上单调增，即可求解.【详解】不妨令，因为，所以，即，令，则，因为，所以在上单调增，，则，解得：，综上所述：实数的取值范围是，故答案为：.16.掷3颗骰子，则所得点数之和不小于5的概率为_______.【答案】【解析】【分析】根据古典概型的概念，可先求出点数之和小于5的概率，即可求解.【详解】先求点数之和小于5的概率，掷3颗骰子，则有①点数之和为4的情况有1+1+2=4，3种，②点数之和为3的情况有1+1+1=3，1种，∴点数之和小于5的概率为，∴点数之和不小于5的概率为.故答案为：.四、解答题17.已知集合，，全集，求：（1）（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，再与集合进行并集运算即可求解；（2）由集合求出，再与集合进行交集运算即可求解.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】由可得，因为，所以.18.设．若函数在上有意义，求实数m的取值范围．【答案】【解析】【分析】由题意可知，在上恒成立，进而结合二次函数的图象和性质求得答案.【详解】在上有意义，即在上恒成立，∴或，解得：或.即．19.已知函数（1）若对任意，存在，成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有8个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，，，结合函数图象求出及，即可得到不等式，解得即可；（2）令，则①，结合函数的图象可知，再不同取值范围时的解的个数，原方程有个不同的实根，等价于关于的方程①在上有两个不等实根，令，再根据二次函数的根的分布得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：依题意，，，即，，，即，，，因为，函数图像如下所示：当，，当，，所以，解得，所以【小问2详解】解：令，则①，结合函数的图象可知，当或时，有1解；当或时，有3解；当时，有2解；当时，有4解；因为关于的方程①至多有两个不等实根，所以原方程有个不同的实根，等价于关于的方程①在上有两个不等实根，令，所以，解得，即20.已知二次函数对一切实数x∈R，都有成立，且，，(b，c∈R)．（1）求的解析式；（2）记函数在[1,1]上的最大值为M，最小值为m，若≤4，求b的最大值．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由题设可得二次函数的顶点坐标为，设，结合已知求参数，即可得解析式．（2）求出对称轴为，通过对称轴与已知区间的位置关系求解函数的最值，通过≤4，求解b的范围，得到实数b的最大值．【小问1详解】对一切实数x∈R都有成立，则二次函数的对称轴为x＝1，又，则二次函数的顶点坐标为，设，则，∴.【小问2详解】∵，开口向上且对称轴为，1、当，即b≥2时，在[1,1]上单调递增，∴＝b+c+1，＝b+c+1，则＝2b≤4，得b≤2，此时b＝2；2、当，即0≤b＜2时，在上递减，在上递增，∴，＝b+c+1，则，整理得b2+4b12≤0，解得6≤b≤2，此时0≤b＜2；3、当，即2≤b＜0时，在上递减，在上递增，∴，，则，整理得b24b12≤0，解得2≤b≤6，此时2≤b＜0；4、当，即b＜2时，函数在[1,1]上单调递减，∴＝b+c+1，＝b+c+1，则＝2b≤4，解得b≥2，此时b∈∅．综上，2≤b≤2，则实数b的最大值为2．21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）判断在的单调性，并给出证明．（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可；（2）根据函数单调性的定义进行判断、证明即可；（3）首先得到函数在上的单调性，即可得到函数的取值特征，依题意可得，再分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.【小问1详解】是定义在上的奇函数，，当时，．当时，则，则，则，，所以．【小问2详解】函数在上单调递减，证明：设，则，，，，，则，即，即函数在上单调递减．【小问3详解】由（2）同理可证在上单调递增，又为上的奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递减，