材料力学答案解析单辉祖版全部答案解析

1/1材料力学答案解析单辉祖版全部答案解析**

其次章轴向拉压应力与材料的力学性能

2-1试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴匀称分布，集度为q。

题2-2图

(a)解：由图2-2a(1)可知，

qx

qa

x

F-

=2

)(

N

轴力图如图2-2a(2)所示，

qa

F2

max

,

N

=

图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，

qa

F=

R

**

qaFxF==R1N)(

22R2N2)(qxqaaxqFxF-=--=

轴力图如图2-2b(2)所示，

qaF=maxN,

图2-2b

2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2

，载荷F=50kN。试

求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为

100MPaPa1000.1m

10500N

105082

63=?=??==－AFσ斜截面m-m的方位角，50-=α故有

MPa3.41)50(cosMPa100cos22=-?==ασσα

MPa2.49)100sin(MPa502sin2

-=-?==ασ

τα

杆内的最大正应力与最大切应力分别为

MPa100max==σσ

MPa502

max==

σ

τ2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详

图。试确定材料的弹性模量E、比例极限pσ、屈服极限sσ、强度极限bσ与伸长率δ，并推断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5

**

解：由题图可以近似确定所求各量。220GPaPa102200.001

Pa10

220ΔΔ96

=?=?≈=

εσEMPa220p≈σ,MPa240s≈σ

MPa440b≈σ,%7.29≈δ

该材料属于塑性材料。

2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d

=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

题2-6图

解：

255MPaPa1055.2m0.010πN1020482

23=?=???==AFσ

查上述εσ-曲线，知此时的轴向应变为

%39.00039.0==ε

轴向变形为

mm780m108700390m)2000(Δ4lεl=?=?==-

拉力卸去后，有

00364.0e=ε，00026.0p=ε

故残留轴向变形为

0.052mmm105.2000260(0.200m)Δ5p=?=?==-.lεl

2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=32kN，板宽b

=100mm，板厚=δ15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图

解：依据

2.0m)100.0m/(020.0/==bd

查应力集中因数曲线,得

42.2≈K

依据

**

δ

dbF

σ)(n-=

，nmaxσσK=得

64.5MPaPa1045.60.015m

0.020)(0.100N

103242.2)(72

3nmax=????=-==＝－δdbKFKσσ2-10图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽

b1=90mm，b2=60mm，板厚δ=10mm，孔径d=10mm，圆角半径R=12mm。

试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-10图

解：1.在圆孔处依据

111100.090m

m010.01.bd==查圆孔应力集中因数曲线，得6.21≈K

故有

117MPaPa1017.1m

010.0)010.0090.0(N

10366.2)(82

311n1max1=?=???===－－δdbFKσKσ2．在圆角处

依据

1.50.060m

m

090.021===bbdD2.00.060m

m012.02===bRdR查圆角应力集中因数曲线，得74.12≈K

故有

104MPaPa1004.10.010m0.060N103674.182

322n2max2

=?=???===δbFKσKσ3.结论

MPa117max=σ（在圆孔边缘处）

2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用

应力均为，试确定载荷F的许用值[F]。

**

题2-14图

解：先后以节点C与B为讨论对象，求得各杆的轴力分别为

FF2N1=

FFF==N3N2

依据强度条件，要求][2σ≤A

F

由此得

2

][A

Fσ=

2-15图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[σ]。若在节点B

和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的α值（即确定节点A的最佳位置）。

题2-15图

解：1.求各杆轴力

设杆AB和BC的轴力分别为N1F和N2F，由节点B的平衡条件求得

αFFα

FFctansinN2N1==

，2.求重量最轻的值

由强度条件得

ασF

AσFActan]

[]sin[21==

，α

结构的总体积为

)ctansin22

(][ctan][cos]sin[2211αα

σFlασFlαlασFlAlAV+=+?=

+=

由

0dd=α

V

得

**

01cos32=-α由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为

4454opt'=α

2-16图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[σ]。若节点A

和C间的指定距离为l，为使结构重量最轻，试确定θ的最佳值。

题2-16图

解：1.求各杆轴力

由于结构及受载左右对称，故有

θ

F

FFsin2N2N1=

=2.求θ的最佳值由强度条件可得

θ

σF

AA]sin[221=

=

结构总体积为

θ

σFl

θlθσFlAV]sin2[cos2]sin[211=

?=

=由0dd=θ

V

得

0cos2=θ

由此得θ的最佳值为

45opt=θ

2-17

图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力＝120MPa，许

用切应力＝90MPa，许用挤压应力[

bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立

杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。

题2-17图

解：依据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为

**

][4π][2

tσdF=

(a)][4

)(π][bs22bσdDF-=

(b)

][π][sτdhF=

(c)

抱负的状况下，

sbt][FFF==在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得dh]

[4]

[τσ=

dDbs

]

[1σσ+=

于是得

1:]

[4]

[:][1::bsτσσσ+

=dhD由此得

1:333.0:225.1::=dhD

2-18图示摇臂，承受载荷F1

与F2

作用。已知载荷F1

=50kN，F2

=35.4kN，

许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力][bsσ=240MPa。试确定轴销B的直径d。

题2-18图

解：1.求轴销处的支反力

由平衡方程0=∑xF与0=∑yF，分别得kN25cos4521=-=FFFBx

kN25sin452==FFBy

由此得轴销处的总支反力为

kN435kN252522.FB=+=

2.确定轴销的直径

由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）

][π22

sτdFAFτB

≤==

得

m0150m10100104.352][26

3

.τFdB=????=≥ππ

由轴销的挤压强度条件

**

][bsbbsσdFdFσB

≤==

δ

δ得

m014750m102400100104.35][6

3

bs..σδFdB=???=≥

结论：取轴销直径15mmm015.0=≥d。

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与

挤压应力。

题2-19图

解：剪应力与挤压应力分别为

MPa5)m100.0)(m100.0(N

10503=?=τ

MPa5.12)

m100.0)(m040.0(N

10503bs=?=σ

2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[

]=160MPa，

许用切应力=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa，载荷F=230kN。

试校核接头的强度。

题2-20图

解：最大拉应力为

MPa3.153)

m)(010.0)(020.0170.0(N

1023023max=-?=σ

最大挤压与剪切应力则分别为

MPa2300.010m)5(0.020m)(N

102303bs=?=σ

MPa4.146π(0.020m)

5N1023042

3=???=τ2-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=

45kN作用。已知木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[σ]=6MPa，许用挤压应力][bsσ=10MPa，许用切应力[τ]=1MPa。试确定钢板的尺寸δ与l以及

木杆的高度h。

**

题2-21图

解：由拉伸强度条件][)

2(σδhbF

σ≤-=

得

0.030mm10

625001045][26

3

=???=≥-.σbFδh（a）

由挤压强度条件][2bsbsσbδ

F

σ≤=

得

mm9m0090m1010250.021045][26

3

bs==????=≥.σbFδ

（b）

由剪切强度条件

][2τbl

Fτ≤=得

mm90m0900m10

1250.021045][26

3

==????=≥.bFlτ取m009.0=δ代入式（a），得

48mmm0480m)009.02030.0(==?+≥.h

结论：取

mm9≥δ，mm90≥l，mm48≥h。

2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用

应力[σ]=160MPa，许用切应力[τ]=120MPa，许用挤压应力][bsσ=340MPa。板

件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。

题2-22图

解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，

4/3N2N1FFFF==，

**

][)(1N11σδ

dbFAFσ≤-==

432kNN104.32N10160015.0)02023000(][)(56=?=???=-≤.-.σδdbF

][)2(432N22σδ

dbF

AFσ≤-==

512kNN105.12N10160015.0)040.0200.0(3

4

][)2(3456=?=???-=-≤σδdbF

图2-22

2.考虑铆钉的剪切强度8

sF

F=][π842sτd

FAFτ≤==

302kNN1002.3N101202300π2][π25622=?=????=≤.τdF

3．考虑铆钉的挤压强度

]

[44

bsbbsbσδδσ≤===

dFdFFF

kN408N1008.4N103400.0200.0154][456bs=?=????=≤σdFδ

结论：比较以上四个F值，得

kN302][=F

2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，

钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力=100MPa，许用挤压应力[

bs]=300MPa，许用拉应力

=160MPa。试校核钢带的强度。

题2-23图

解：1．钢带受力分析

分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

**

铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为

N100.23

N106333b?=?==FF

孔表面的最大挤压应力为

][MPa125Pa1025.1)

m008.0)(m002.0(N

100.2bs83bbs

σδσ<=?==?==dF在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为

][MPa25Pa105.2)

m020.0)(m002.0(2N

100.2273bτδτ<=?==?==aF

钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1减弱最严峻，而截

面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2-2的正应力分别为

σδσ<=?-?=-==MPa3.83m)002.0(m)008.02.040m03(N)106(2)23(231N11dbFAF

σδσ<=-?=-==MPa8.93m)

002.0(m)008.0.040m0(N106)(32N22dbFAF

**

第三章轴向拉压变形

3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，

两端承受轴向拉力F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比μ=0.30。试计算该杆外径的转变量

D及体积转变量V。

解：1.计算D

由于EA

FDD

εEAFεμμε-

=-=='=

Δ，故有

0.0179mm

m1079.1m020.00600(π1080060

.01020030.04)(π4Δ52

29322-=?-=-???????-=--=-='=-）.dDEFDEAFD

DεDμμ

2.计算

V

变形后该杆的体积为)211)(1(])[(4

π

)(222εεVεεAldεdDεDllAlV'++≈'++='+-'++=''='ε

故有

3

373

9

3

mm400m1000.4)

3.021(m1080400.010200)212(Δ=?=?-???=-='+=-'=-μEFlεεVVVV3-4图示螺栓，拧紧时产生l?=0.10mm的轴向变形。已知：d1

=8.0mm，

d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，

[σ]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。

题3-4图

解：1.求预紧力F

各段轴力数值上均等于F，因此，

)(π4)(Δ23

3222

211332211dldldlEFAlAlAlEFl++=++=

由此得

kN6518N108651N)007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ42

223

923

3222211..dldl

dllEF=?=++?????=++=-

2.校核螺栓的强度

**

514MPaPa1014.5m

00680πN

1065.184π482

2322minmax=?=???===.dFAFσ此值虽然超过][σ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的

纵向正应变分别为1ε=4.0×10-4与

2ε=2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角θ之值。

题3-5图

解：1.求各杆轴力16kNN1061N10200100.4102004649111N1=?=?????==--.AεEF

8kNN108N10200100.2102003649222N2=?=?????==--AεEF

2.确定F及θ之值

由节点A的平衡方程0=∑xF和0=∑yF得

0sin30sinsin30N1N2=-+FθFF

0coscos30cos30N2N1=-+θFFF

化简后，成为

θFFFsin2N2N1=-

及

θFFFcos2)(3N2N1=+

联立求解方程(a)与(b)，得

1925.010

)816(310)816(3tan3

3

N2N1N2N1=?+?-=+-=FFFFθ由此得

9.1089.10≈=θ

kN2.21N102.12N89

10sin210)816(2sin4

3N2N1=?=?-=-=

.θFFF3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为

，长度为l，

左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。

**题3-6图

解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

x

x

b

E

F

x

x

EA

F

ll

l

d

)

(

d

)

(

Δ

?

?=

=

δ

(a)

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

x

l

b

b

b

x

b1

2

1

)

(

-

+

=

代入式(a)，于是得

1

2

1

2

1

2

1

ln

)

(

d

1

Δ

b

b

b

b

Eδ

Fl

x

x

l

b

b

b

δ

E

F

ll

-

=

?

?

?

?

?-

+

=?

3-7图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为ρ，弹性模量为E，

试求自重下杆端截面B的位移。

题3-7图

解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为

gAy

Fρ=

N

该处微段dy的轴向变形为

y

E

gy

y

EA

gAy

Δ

y

d

d

d

ρ

ρ

=

=

于是得截面B的位移为

E

gl

y

y

E

g

Δl

Cy2

d

2

ρ

ρ

=

=?)(↓

3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩

擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f=ky2，式中，k为常数。已知地

桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量δ。

题3-8图

解：1.轴力分析

**

摩擦力的合力为

3

dd3

02

klykyyfFl

l

y=

==??

依据地桩的轴向平衡，

Fkl=3

3

由此得

33l

Fk=

（a）截面y处的轴力为

3

dd3

02

NkyykyyfFy

y

=

==*

**

??

2.地桩缩短量计算

截面y处微段dy的缩短量为EA

y

FδddN=

积分得

EA

klyyEAkEAyFδll12d3d4

030N=

==??

将式(a)代入上式，于是得

EA

Fl

δ4=

3-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向

刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

题3-9图

解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为NF，

其总伸长为lΔ。

图3-9

以刚性梁为讨论对象，由平衡方程∑=0AM得

)2(NNbaFbaFaF+=++

由此得

FF=N

由图3-9可以看出，

)2(bay+=θ?

)2(Δ21babaaΔΔlyy+=++=+=θθθ

**

可见，

lΔyΔ=

(b)

依据k的定义，有ykΔlkF==ΔN于是得

k

F

kFΔy==

N

3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水

平与铅垂位移。

题3-10图

（a）解：

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

（拉力）N2N1FFF==

（压力）2N4FF=

0N3=F

于是得各杆的变形分别为

)(21伸长EA

Fl

ll=?=?

)(2224伸长＝EA

Fl

EAlFl?=

?

03=?l

如图3－10(1)所示，依据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该

点作长为l+

l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,

此即结构变形后节点A的新位置。

于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

0=AxΔ

EA

Fl

EAFlEAFlEAFllllΔAy2

12222241+=++=

?+?+?=

**

图3-10

（b）解：明显，杆1与杆2的轴力分别为

（拉力）

N1FF=0N2=F

于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

EAFllΔAx=

?=1EAFllΔAy=?=13-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性

模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，θ应取何值（即确定节点A

的最佳位置）。

题3-11图

解：1.求各杆轴力由图3-11a得

θFFθ

F

FctansinN2N1==

，

图3-11

2.求变形和位移由图3-11b得

**

2

2

22N221211N11ctanΔsin22ΔEAθ

FlEAlFlθEAFlEAlFl===＝，及

)ctansinsin22(tanΔsinΔ2

21221AθθθAEFlθlθlΔBy+=+=

3.求θ的最佳值由0d/d=θΔBy，得

0cscctan2sin2sin)sin2cossincos22(222221=?-+-Aθ

θθ

θθθθθA

由此得

0)cos31(cos22231=--θAθA

将21AA与的已知数据代入并化简，得

003125.4cos09375.12cos23=-+θθ

解此三次方程，舍去增根，得

5649670cos.θ=

由此得θ的最佳值为

6.55opt=θ

3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，

材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点

C的铅垂位移。

题3-12图

解：两杆的轴力均为

α

cos2NF

F=

轴向变形则均为

BlAFlB

lln

n

?????===?ασεcos2于是得节点C的铅垂位移为

α

α1cos2cos+=?=nnnnCyBAl

FlΔ

3-13图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料

均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水

**平与铅垂位移。

题3-13图

解：1.求各杆轴力由0=∑xF，得0N2=F由∑=0yF，得kN102N3N1===F

FF

2．求各杆变形0Δ2=l3

4

-693N11Δ0.50mmm105.0m1010010200000

.11010ΔlEAl

Fl==?=?????==-3．求中点C的位移由图3-13易知，图3-13)(mm50.0Δ)(mm50.0Δ11↓==→==lΔlΔyx，3-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形分析