2012数学讲座2932多元微分学4第31抽象求偏明结构32条件极值很自然

多元微分学（31，32讲第31讲 计算多元函数zf(x,y)zyx元函数求导。求偏导数

设函数zf(uv，而uu(x,y)vv(x,y，其中f,u,vzfuf zfuf u v zfuf zfuf u v 若函数zf(x1,x2L,xn)xjxj(t)都可微，1≤j≤n，则有dzfdx1fdx2Lf 1 2 n 函数zu(x)v(x)，u和v均为可微函数，且恒有u(x)0，分析这就是一元函数中的“幂指型”函数的求导问题。现在，我们可以把它看成是dzzduzdvv(x)u(x)v(x)1uu(x)v(x)lnu(x) u v 已知函数zuv，其中u ，varctg(y/x)，求全微分d dz

zdxzdyzuzv

zuzv

u vx u vyzxyu，指数v，应用复合函数求导方法来计算（略。dzzduzdv， duudxudy，dvvdxv dzvuv1duuv(lnu)dv，其中duxdxx2y

，dvydxx2y dz

u(x2y2

uylnudxuxlnu

2 已知zf(u,v)，uxy,vxy，且f(u,v)的二阶偏导数都连续，求 zfyf，可以 ff(u,v)f ff(u,v)f fu,v2

2

2

2

2

2

2

2

) (x 设zsin(xy)

xxy

2

xu解z是两个函数的和，后一函数是抽象复合函数。复合结构为 zycos(xy ；和φ 2

xxycos(xy)xysin(xy)

y2uv

2v vv 2 2cos(xy)xysin(xy)

1uy

xuvy

xy

2 解函数的复合结构为 y从 zf2fyf ；f和f及f都有与zf(x,u,v)相同的复合

2zfxf2(fxf)y(fxf)f 字编号代替表示中间变元的字母，才能避免对x求偏导时算符记号混淆。） 若zxf(y)y(x

2fφ解zf(y)xf(y)(y)

x)1f(y)

f(y)(x

(x

f( f() f( ( )

f(y) (x

x x

y x

y y yy x 已知zf((x) y yy x 2

z

f(x)f f和f都有与 相同的复合结构

2z (x)(f11( f21( (x)f11((x)(y)1)f12f22(

2*例 设函 有连续的二阶偏导数，且满足 2f ，试证明f(u,vzfx2y2,2xy)

2

2y2

分析这是标准的二元复合结 zf2xf2 z2yf2xf2z

x 2( xf112 xf122 yf212 yf222y2z2(fyf

(2y)yf

2xxf

(2y)xf

2y

1

1 2z2z 2 x y 4( y)( 一个方程能确定（解出）一个未知量。n个变元满足一个约束条件，比如方程F(xyz0n−1n1 F(x,y,z)0，就看成 F(x,y,z(x,y))0，——设F(x,yz)Fz0，则方程F(x,yz)zzFx z （潜台词：Fz00 F(x,y,z)进一步计算FxFy及Fzx、y、z42根据隐函数存在定理，方程xyzlnyexz1在点011)

zz(x,yyyx,z)xxy,z)xxy,z)

zz(x,yzz(x,yyy(x,z分析Fyzexz F(0,1,1)2 Fyxz F(0,1,1)y yFzlnyxexz,Fz0,1,1) ，应选 设函数z是由方程zf(xz,yz)所确定的隐函数，试求偏导数z、 解用复合函数法xzf(1z)f x 2 1ff 用公式法——记Fzf(xz,yz，Fxf1Fz1f1f2zFx f 1f1f

1f1f 设usin(y3z)，其中z是由方程z2yxz310所确定的隐函数，求

x cos(y3z)3，再由确定隐函数z的方程得2zy3xz2z30 代入已知点，直接由隐函数所满足的方程解出z(1,0)1x1y0z1

x

13

cos又例 已知函y(0)

yyx)由方程ey6xyx210eyy6yxy)2x0，y00ey(y)2eyy6(2yxy)2 ，y(0) 已知u是由ueu

Fueuxy；Fu1eu；Fxy，FyuFx

，

Fy 1 12u 1 y 12u

1euyeu(u/y) (1eu)2 1u

(1eu)ee 设zf(x,y)是方程zyxxezyx0所确定的二元隐函数，求解将方程两端取微分 dzdydxezyxdxxezyx(dzdydx) (1xezyx)dz(1xezyxezyx)dx(1xezyx)dy1(x1)ez所 dz dx1xezy评注也可以用公式法先求隐函数zx,y)的导数zzd 例46 设函数uf(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又已知函数yy(x)及zz(x)分别由方程exyxy2 和exxzsintdt确定，求du 分析duffdyfdz，而 dyFx；dzGx y z 其中Fexyxy2，Gexxzsint yexyy

ex(xz)sin(x，， xexy sin(x47设函数uf(xyzzz(xyxexyeyzez所du解u是一个复合函数，它的复合结构为uf(x,yzx,yduudxu uffz，uff 3 3又，用公式法求隐函数zzx,y)Fxexyeyzezz

(x1)e (z1)e

z

(y1)e(z1)e du(ffx1exz)dx(ffy1eyz 3z 3z*例 已知函数uf(x,y,z)，而方程g(x,y,z)0和h(x,z)0确定了隐函数z 和yy(x)，f，g，h分析uf(x,yxzx，求du分析两方程的特点，可以首先设方程h(x,z)0确定了隐函数zz(x)g(x,y,z(x))0确定了隐函数yy(x)， y(x)g1g3z(x)

z(x) duffg1hzg3hxfhx gy z第32讲 如果二元函数zfx,y)DD上必有最大值和最小值。如果二元函数zfxy)在定义域内一点（x0y0）取值f(x0y0，且在点(x0,y0的有极值。又称点(x0,y0)为极值点。

zfx,y)在点(x0,y0zfx,y)实际上就成了一元函数zf(x(x后，因而理论上可以用一元函数的方法求zf(x,y)在边界上的极值。计算普通极值（二元函数zfxy)D内的极值）f(x,y) f(x,y)

得到全部驻点(

,y0二阶导数判别法——令Bfxy(x0y0Afxx(x0y0Cfyy(x0y0 B2AC0时函数有极值。A>0时f(x0,y0)极小；A<0时f(x0,y0)极D上连续函数zf(x,y)在简单的情形下，我们可以计算连续函数zfxy)的最值

zfx,y)在（有界）Dzfx,y)D记F(x,y)0为一般情形下的约束条件。作辅助函数——拉格朗日乘子函数L(x,yf(x,yFx,Lx(x,y,)fx(x,y)Fx(x,y)

L(x,y)f(x,y)F(x,y)0 L(x,y,)F(x,y) 设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的（A）f(x0,y)在yy0处导数为 （B）f(x0,y)在yy0处导数大于f(x0,y)在yy0处导数小于0 （D）f(x0,y)在yy0处导数不存在 f(x0,y)在yy0处的导数就是偏导数fy(x0,y0)fx,y在x0,y0可微，偏导数都存在。由函数取得极小值的必要条件知应选 设函数f(x,y)与(x,y)都是可微函数，且y(x,y)0，已知(x0,y0)fx,y在约束条件(x,y)0

0fx,

)(x,(x,

fxx0y0)0fyx0y0(x, 0)0，则fy(x0,y0)fxx0y0)0fyx0y0分析因为y(x,y)0，所以(x,y)0确定了隐函数y=y（x），进而x0是 f(x,y(x)) f(x,y0)fy(x0,y0)y(x0)0，而y(x0)x(x0,,y0 从 fx(x0,y0)0，则上式左端不为0，只能选（D例53 为q1和q2，需求函数分别为q1240.2p1 q2100.05p2；总成本函数为C3540(q1q2)；试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最分析总收入函 Rp1q1p2q224p10.2p210p20.05p

LRC32p10.2p20.05p2139512 L320.4p1 和L120.1p2 由此算得p180p2120z(80,120)例54 求二元函数zf(x,y)x2y(4xy)在由直线xy6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值，最大值与最小值。解（1）f(x,y)x2(4xy)x2y解得0y6(0，y)及点（4，0）和（2，1）点（4，0）x00y6)D的边界上，只有点（2，1）D内部，可能fxx8y6xy2y2，fxy8x3x24xy Afxx(2,1)6，Bfxy(2,1)4，Cfyy(2,1)B2AC320A<0，因此点（2，1）zf(x,yf(2，1)D的边界x0(0y6)及y0(0x6)上，恒有f(x,y)0在边界xy6上，将y6x代入f(x,y)中，得z2x312x2，(0x6) z6x224x0解得驻点x0，x4，且有z(0)0，z(4)64，z(6)0， zf(x,y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4,2)64zf(x,y)在D上的最大值为f(2,1) f(4,2)例55 设zz(x,y)是由 x26xy10y22yzz2180 求z(x,y)的极值点和极值。

Fx

x3yz

z3x10yz z

zy令两个偏导数为零，解得关系式x3y,zy，再代入确定隐函数的原方程，算出驻点M19,3)和M29,3)，如何求隐函数的二阶导数，对驻点进行检验？ Ax

(zy)(x3y)z (zy)

C2 x

B2AC0,M1是极值点，A ，极小值z(9,3)M2是极大点。极大值z9,3)具体验算