微积分学广义积分敛散性判别教学课件

微积分学广义积分敛散性判别.21、静念园林好，人间良可辞。22、步步寻往迹，有处特依依。23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。24、结庐在人境，而无车马喧；问君何能尔？心远地自偏。25、人生归有道，衣食固其端。微积分学广义积分敛散性判别.微积分学广义积分敛散性判别.21、静念园林好，人间良可辞。22、步步寻往迹，有处特依依。23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。24、结庐在人境，而无车马喧；问君何能尔？心远地自偏。25、人生归有道，衣食固其端。无穷积分—无穷区间上的广义积分1.无穷积分的概念设函数f(x)在[a,+∞)上有定义A∈R,A>a,且f(x)∈R({a,A]).记f(x)dx=limf(x)dxA→+」a称之为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分若式中的极限存在,贝称此无穷积分收敛,枧狠值即为无穷积分值;若式的极限不存在,则称亥无穷积分发散类似地可定义:()Jf()dx=limnf(x)dx(B<b)(2)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxlim.f(x)dx+limf(x)d若f(x)dx与f(x)dx同时收敛,则称∫f(x)dx收敛若」f(x)dx与f(xdx至少有一个发散,则f(x)dx发散付[f(x)dx而言,由定积分对区间的可加性,显然其收敛性与c值无关为方便起见,通常取C=0无穷积分—无穷区间上的广义积分1.无穷积分的概念设函数f(x)在[a,+∞)上有定义A∈R,A>a,且f(x)∈R({a,A]).记f(x)dx=limf(x)dxA→+」a称之为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分若式中的极限存在,贝称此无穷积分收敛,枧狠值即为无穷积分值;若式的极限不存在,则称亥无穷积分发散类似地可定义:()Jf()dx=limnf(x)dx(B<b)(2)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxlim.f(x)dx+limf(x)d若f(x)dx与f(x)dx同时收敛,则称∫f(x)dx收敛若」f(x)dx与f(xdx至少有一个发散,则f(x)dx发散付[f(x)dx而言,由定积分对区间的可加性,显然其收敛性与c值无关为方便起见,通常取C=0例1计算∫"xcdxxedx=limedx令l=lim2能否将这里的书im(=")62写方式简化?lim(为书写方便起见,若F(x)是f(x)的一个原函数,则约定f(xdx=F(x)0=limF(x)-FOf(x)dx=F(x)b=F(b)-limF(x)「f(x)dx=F(x)imF(X0r→+0r→0这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了5/讨论P一积分(a>0)的敛散性,其中P为任意常数解当P=1时dxlnx=limInlx-lna=+∞,故p=1时,P-积分发散当P≠1时+∞,p<1,发散x-p+0=ax'1-pP>1.收敛综上所述,P-积分dx(a>0)P-积分当p>1时收敛;当p≤1时发散2.无穷积分的基本运算性质其它类型的无穷设以下所有出现的积存在,则积分的情形类似于此(1)|f(x)dxf(xdx(2)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxcER∫。"af(x)B8()dx=a」。f(x)dx士∫8(x)d(4)∫。(x)y(x)dx=(x)(x)=-J(x)v(xdx(5)无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算(6)若在[a,+)上f(x8(x),则∫。f(x)dxs∫。g(x)dx3.无穷积分敛散性的判别法实际上,我们可以将无穷积分的义式写成下面的形式∫。f(x)dx=lim∫f()df(r)dx=limf(t)dtx→-0这样可以利用积分上函数来进行有关的讨论定理设函数f(x)∈C(a,+∞),且f(x)≥0若积分上限函数F(x)=f(m)dt在[a,+∞)上有上界,则无穷积分「f(x)dx收敛证因为f(x)∈C(a,+∞),且f(x)≥0,所以积分上限函数F(x)在[a,+∞)上单调增加又已知函数F(x)在[a,+∞)上有上界,从而F(x)=f(r)da在[a,+∞)上单调增加且有上界.由极限存在准则可知极限mF()=mdr存在+即无穷积分「f(x)dx收敛谢谢骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷箩侣郎虫林森-消化系统疾病的症状体征与检查林森-消化系统疾病的症状体征与检查11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓

12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰

13、知