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一类偏微分系统谱的上界估计

1构造矩阵式考虑到这是一个光滑的区域。的特征值来估计问题,其中n是边界的单位法向量。根据方程理论知,问题(1)和(2)的谱是离散的,且都是正实数,离散谱又称特征值。把问题(1)和(2)写成矩阵式,设问题(1)和问题(2)就可写成如下矩阵形式显然,问题(3)和(4)与问题(1)和(2)是等价的。设问题(3)和(4)的特征值为与之对应正交规范特征向量为v1,v2,…,vn,…,即满足利用分部积分,得设其中显然,θik与vj正交(i,j=1,2,…,n,k=1,2,…,m),且满足于是,利用Rayleigh定理,得到下列不等式利用式(9),得利用式(7)和式(10),有用γn替代式(8)中的γi,成立着2主要配置定理1如果γi(i=1,2,…,n+1)是问题(3)和(4)的特征值,则3schzartz定理引理1vi设是问题(3)和(4)对应特征值γi的特征向量,则证明利用分部积分和式(6),得利用式(15)和式(16),得既得引理1。引理2设γ1,γ2,…,γn是问题(3)和(4)的n个特征值,则证明利用恒等式和分部积分法,得利用式(17),有利用分部积分,有利用式(18)~式(20),和分部积分,有即得引理2。证明利用θik的定义,有利用Schwartz不等式和引理1,有即得引理3。定理1的证明,利用引理3,成立着再利用式(12)和引理2,可得定理1的式(13),在式(13)右端用γn替代γi,可得式(14)。定理2的证明,选择参数υ>γn,利用式(11),得其中ε>0为待定常数。设,利用式(21)(22)和引理1,化简得为了使式(24)右端的值达到最小,取将式(25)代入式(24),有利用引理2,式(23)和(26),得其中υ-γn,选择υ使式(27)右端等于零,即设易知,h(υ)是在(γn,+∞)内单调减少连续函数,其值域为(0,+∞),因此,存在唯一的υ使等式(28)成立。从式(27)知υ≥γn+1,用γn+1替代等式中υ,即得定理2。4复杂，广泛方程的特征值问题是数学学科研究的一个重要领域,它涉及的内容复杂而广泛。本文研究了某类系统特征值的上界估计,并获得了用前n个

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