一类偏微分算子谱的上界估计

一类偏微分算子谱的上界估计

0特征函数特征函数、m2）是一个有光滑边界的区域。假设l=（）t+a（）l的光谱估算问题（t，l是满足l-t正整数和常数a0的正整数），并考虑。{L(u)=λs(x)u,x∈Ω,∂ku/∂vk=0,k=0,1,2,⋯,t-1;x∈∂Ω,(1)其中v是边界∂Ω的单位外法向量,x=(x1,x2,⋯,xm)‚s(x)∈C(ˉΩ),且满足μ1≤s(x)≤μ2,(2)其中μ1,μ2是正实数.我们参考文献中的方法,对问题(1)的谱进行讨论,获得了用前n个谱来估计第n+1个谱的上界的不等式,其估计系数与区域的度量无关.文献和讨论的问题分别是本文问题当t=2,a=0和a=0,s(x)=1时的特例,因此本文结论是和的进一步推广,在力学和物理学中有一定的应用价值.设问题(1)的谱为0<λ1≤λ2≤…≤λn≤λn+1≤…,与之对应的特征函数为u1,u2,…,un,un+1,…,且满足∫Ωs(x)uiujdx=δij={1i=j,0i≠j,i,j=1,2,⋯由此可得1μ2≤∫Ωu2idx≤1μ1.(3)记∇⋅∇=∇2=△,ui,xk=∂ui∂xk‚ui,xkxj=∂2ui∂xk∂xj(i,j,k=1,2,⋯).从问题(1),利用分部积分有λi=∫Ωui[(-△)tui+a(-△)lui]dx=∫Ω|∇tui|2dx+a∫Ω|∇lui|2dx.于是∫Ω|∇tui|2dx≤λi.(4)设φik=xkui-n∑j=1akijuj,(5)其中akij=∫Ωxks(x)uiujdx(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m).显然aijk=ajik,φik与u1,u2,…,un带权正交,且满足φik=∂φik/∂v=…=∂t-1φik/∂vt-1=0,x∈∂Ω(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m).于是,利用Rayleigh定理,得到下列不等式λn+1≤∫Ωφik[(-△)tφik+a(-△)lφik]dx∫Ωs(x)φik2dx.(6)计算得(-△)pφik=xk(-△)pui+(-1)p2p△p-1ui,xk-∑j=1naijk(-△)puj(p为任一正整数).于是(-△)tφik+a(-△)lφik=xkλis(x)ui+(-1)t2t△t-1ui,xk+a(-1)l2l△l-1ui,xk-∑j=1naijkλjs(x)uj.(7)利用φik与uj(j=1,2,…,n)的带权正交性,以及∫Ωs(x)φik2dx=∫Ωxks(x)φikuidx,从式(7)有∫Ωφik[(-△)tφik+a(-△)lφik]dx=λi∫Ωs(x)φik2dx+(-1)t2t∫Ωφik△t-1ui,xkdx+(-1)l2al∫Ωφik△l-1ui,xkdx.(8)设Ιik=(-1)t∫Ωφik△t-1ui,xkdx‚Ι=∑k=1m∑i=1nΙik‚Jik=(-1)l∫Ωφik△l-1ui,xkdx‚J=∑k=1m∑i=1nJik‚Uik=∫Ωs(x)φik2dx‚U=∑k=1m∑j=1nUik,利用式(8)得∑k=1m∑j=1n∫Ωφik[(-△)tφik+a(-△)lφik]dx=∑k=1m∑i=1nλi∫Ωs(x)φik2dx+2tΙ+2alJ.(9)利用式(6)和(9)有λn+1U≤∑k=1m∑i=1nλi∫Ωs(x)φik2dx+2tΙ+2alJ.(10)在式(10)中,用λn替代λi(i=1,2,…,n-1),有(λn+1-λn)U≤2tΙ+2alJ.(11)1iue引理1设ui是问题(1)对应的谱λi(i=1,2,…,n)的特征函数,则∫Ω|∇pui|2dx≤1μ1(μ1λi)pt,p=1,2,⋯,t-1.证明首先,用数学归纳法可证下列不等式成立(证略),∫Ω|∇pui|2dx≤μ1-1p+1(∫Ω|∇p+1ui|2dx)pp+1,p=1,2,⋯,t-1.(12)反复利用不等式(12)和式(4),得∫Ω|∇pui|2dx≤μ1-1p+1(∫Ω|∇p+1ui|2dx)pp+1≤μ1-2p+2(∫Ω|∇p+2ui|2dx)pp+2≤⋯≤μ1-t-pt(∫Ω|∇tui|2dx)pt≤μ1-t-ptλipt=1μ1(μ1λi)pt.引理2设ui是问题(1)对应的谱λi(i=1,2,…,n)的特征函数,则(1)∑k=1m∫Ω|∇sui,xk|2dx=∫Ω|∇s+1ui|2dx,s=0,1,2,⋯,t-1;(2)-∑k=1m∫Ωxkui(-△)sui,xkdx=12(2s+m)∫Ω|∇sui|2dx,s=1,2,⋯,t-1.证明(1)利用分部积分,有∑k=1m∫Ω|∇sui,xk|2dx=∑k=1m∫Ωui,xk(-△)sui,xkdx=-∑k=1m∫Ωui,xkxk(-△)suidx=-∫Ω△ui(-△)suidx=∫Ω|∇s+1ui|2dx.(2)类似地-∫Ωxkui(-△)sui,xkdx=∫Ωui(-△)suidx+∫Ωxkui,xk(-△)suidx=∫Ω|∇sui|2dx+∫Ωxkui(-△)sui,xkdx-2s∫Ωui(-△)s-1ui,xkxkdx.(13)由式(13)得-∫Ωxkui(-△)sui,xkdx=12∫Ω|∇sui|2dx+s∫Ω|∇s-1ui,xk|2dx.利用引理2(1)有-∑k=1m∫Ωxkui(-△)sui,xkdx=12(2s+m)∫Ω|∇sui|2dx.引理3设λi(i=1,2,…,n)是问题(1)的n个谱,则2tΙ+2alJ≤t(2t+m-2)μ1-1t∑i=1nλi1-1t+al(2l+m-2)u1l-t-1t∑i=1nλil-1t.证明将式(5)代入Iik可得Ιik=(-1)t∫Ωxkui△t-1ui,xkdx-(-1)t∑j=1naijk∫Ωuj△t-1ui,xkdx.由于aijk=ajik,∫Ωuj△t-1ui,xkdx=-∫Ωui△t-1uj,xkdx,所以有∑i,j=1naijk∫Ωuj△t-1ui,xkdx=0.于是∑i=1nΙik=(-1)t∑i=1n∫Ωxkui△t-1ui,xkdx.由引理2(2)有Ι=∑k=1m∑i=1nΙik=12(2t+m-2)∑i=1n∫Ω|∇t-1ui|2dx.由引理1得Ι≤2t+m-22μ1-1t∑i=1nλi1-1t.(14)类似可得J≤(l+m2-1)μ1l-t-1t∑i=1nλil-1t.(15)于是由式(14)和(15)可得2tΙ+2alJ≤t(2t+m-2)μ1-1t∑i=1nλi1-1t+al(2l+m-2)μ1l-t-1t∑i=1nλil-1t.引理4对于φik和λi(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m),有下列不等式成立U≥m2n2μ12-1t4μ22(∑i=1nλi1t)-1.证明由φik的定义,有∑i=1n∫Ωφikui,xkdx=∑i=1n∫Ωxkuiui,xkdx-∑i,j=1n∫Ωaijkujui,xkdx.(16)利用aijk=ajik,∫Ωujui,xkdx=-∫Ωuiuj,xkdx,易知式(16)右端第二项恒等于零,又∫Ωxkuiui,xkdx=-∫Ωui2dx-∫Ωxkuiui,xkdx,即∫Ωxkuiui,xkdx=-12∫Ωui2dx.(17)利用式(16)、(17)和(3)得|∑k=1m∑i=1n∫Ωφikui,xkdx|=|-m2∑i=1n∫Ωui2dx|≥mn2μ2.(18)利用式(18)、Schwartz不等式和(2),有m2n24μ22≤(∑k=1m∑i=1n∫Ωs(x)φik2dx)(∑k=1m∑i=1n∫Ω1s(x)|ui,xk|2dx)≤U(1μ1∑i=1n∫Ω|∇ui|2dx).(19)利用式(19)和引理1,得U⋅1μ1⋅1μ1⋅(∑i=1n(μ1λi)1t)≥m2n24μ22,化简即得引理4.2-等式42定理1设λi(i=1,2,…,n+1)是问题(1)的谱,则λn+1≤λn+4μ22[t(2t+m-2)μ11-1t∑i=1nλi1-1t+al(2l+m-2)∑i=1nλil-1t〗(∑i=1nλi1t)m2n2μ13-1t,(20)λn+1≤[1+4μ22t(2t+m-2)m2μ12〗λn+4μ22al(2l+m-2)m2μ13-ltλnlt.(21)证明利用引理3和引理4,从式(11),可得式(20),在式(20)中用λn来替代λi(i=1,2,…,n-1),可得到式(21).定理2对于m≥2,n≥1,有∑i=1nλi1tλn+1-λi≥m2n2μ13-lt4μ22[t(2t+m-2)μ11-lt∑i=1nλi1-1t+al(2l+m-2)∑i=1nλil-1t〗.证明选择参数σ≥λn,利用式(10),得λn+1U≤σU+∑k=1m∑i=1n∫Ω(λi-σ)s(x)φik2dx+2tΙ+2alJ.(22)利用式(18)和Young不等式和(2),有mn2μ2≤σ2∑k=1m∑i=1n(σ-λi)∫Ωs(x)φik2dx+12δμ1∑k=1m∑i=1n(σ-λi)-1∫Ω|ui,xk|2dx,(23)其中δ>0是待定常数.设V=∑k=1m∑i=1n(σ-λi)∫Ωs(x)φik2dx,将式(22)和(23)简化为(λn+1-σ)U+V≤2tΙ+2alJ,(24)mnμ2≤δV+1δμ1(∑i=1n(σ-λi)-1∫Ω|∇ui|2dx).(25)利用引理1和式(25),有mnμ2≤δV+μ11tδμ12∑i=1nλi1tσ-λi.(26)为了使(26)右端的值达到最小,取δ=1V12μ11-12t(∑i=1nλi1tσ-λi)12.(27)利用式(26)和(27),得V≥m2n2μ12-1t4μ22(∑i=1nλi1tσ-λi)-1.(28)将式(28)代入(24),得(λn+1-σ)U≤t(2t+m-2)μ1-1t∑i=1nλi1-1t+al(2l+m-2)μ1l-t-1t⋅∑i=1nλl-1t-m2n2μ12-1t4μ22(∑i=1nλi1tσ-λi)-1‚(29)其中