非均匀受压简支矩形板屈曲系数的计算

非均匀受压简支矩形板屈曲系数的计算

板板是结构中常见的部件。受不均匀压力梯度影响的板通常出现在带有钢梁和弯曲部分的腹部板上。板的弯曲理论在文献中有介绍，国内外科学家对几台板的弯曲进行了大量研究。计算不同国家的标准按不同国家标准化计算。例如，中国标准gb50018、欧盟钢结构设计标准ec3和美国标准冷弯钢结构设计标准的弯曲系数公式被认为，非均匀压力板的四个边界条件是简单的。然而，在实际结构中，例如，当钢梁腹部的组合不同于不利的弯曲因素时，钢框架的形状为不均匀压力。这种限制是介于简单分支和固定分支之间的弹性限制。目前，关于非均匀压力腰板的弯曲系数（非加载边缘为硬分支）和考虑到翼边缘的弹性限制的弯系数没有足够的计算公式，并且没有足够的计算公式用于计算非均匀压力腰板的弯曲系数。对工字形构件的腹板,一般都考虑翼缘对腹板的弹性嵌固作用,这种嵌固作用传统上用板边界上设置转动弹簧来模拟,但是实际上工字形截面的翼缘对腹板的嵌固作用是与转动弹簧不同的.直接采用工字形截面的模型对腹板进行屈曲分析的研究还不是很多.任涛等对腹板纯剪切应力状态、腹板上边缘承受局部承压荷载情况下的屈曲进行了分析,提出了以翼缘自由扭转刚度与腹板弯曲刚度比值作为约束无量纲参数的、考虑翼缘任意程度约束的腹板屈曲系数公式.本文采用ANSYS有限元程序对腹板均匀受压、纯弯和压弯联合作用的情况进行分析,同样考虑了任意程度的翼缘约束,拟合出了相关的屈曲系数计算公式.本文还对板件在弯剪联合作用下的屈曲临界相关公式是否同样适用于考虑翼缘约束的情况进行了分析验证.1非均匀压板的弹性屈曲分析1.1有限元模型建立如图1所示的简支矩形板长度为L,宽度为h,厚度为tw,矩形板两横向对边上的压应力沿板厚度方向均匀,沿宽度方向按线性变化,最大、最小边缘应力分别为σ1、σ2(规定压应力为正,σ2<σ1),则在x=0和x=L两边上的压应力可表示为σx=σ1[1-(1-Ψ)y/h].(1)式中:Ψ为应力不均匀参数,Ψ=σ2/σ1,若σ2<σ1,改变Ψ值,板边压应力的不均匀程度随之变化,当Ψ=1.0时,是矩形板横向两对边均匀受压的情况;当Ψ=-1.0时,是矩形板纯弯曲状态;当-1.0<Ψ<1.0时,是矩形板受压弯荷载作用的情况.非均匀受压板件的临界应力以最大边缘压应力σ1为准,表示为σ1cr=Κπ2E12(1-μ2)(twh)2.(2)式中:E为弹性模量;μ为泊松比;h和tw分别为板的高度和厚度;K为板的屈曲系数,主要与板的荷载形式、形状、宽高比和边界条件有关.这里为了区别起见,把简支矩形板屈曲系数记为Kbcs,Kbcs的值与Ψ和L/h有关.利用ANSYS有限元分析软件对图1所示的矩形板在不同的线性分布压应力(Ψ不同)作用下进行弹性屈曲分析,分析时采用4节点SHELL63单元,每个节点有6个自由度,即x、y、z3个方向的位移以及绕x、y、z3轴的转动,为了叙述方便,这6个自由度分别用数字1～6对应表示,如图1所示.划分网格采用映射网格,网格的密度保证分析能得到稳定的结果,如图2所示.建立有限元模型时为了模拟矩形板简支边界条件,需约束板四边上所有节点的自由度3,即垂直于板平面的位移;同时为了防止模型发生刚体位移,还需约束矩形板正中间节点平面内2个方向的平动位移和绕垂直板面轴线的转动位移,即自由度1、2和6.用ANSYS分析时荷载以节点荷载的形式施加在矩形板的四边节点上,节点荷载值利用式(1)按照节点的从属面积计算,中间节点的从属面积为与该节点相邻两个单元面积的一半之和,端部节点为其所在单元面积的一半.如图1所示的矩形板,当取h=800mm、L/h=1.5、tw=6mm时,在Ψ=-1.0、σ1=100N/mm2的纯弯荷载作用下,通过ANSYS弹性静力计算得到板中σx分布如图3所示,不难发现板中各点的σx非常接近理论值.图1所示为受线性分布压应力作用的简支矩形板,取tw=6mm,h=800mm不变,L为320～3840mm,即L/h从0.4到4.8变化,Ψ为-1.0～1.0,分析了23个系列250多个模型,将具有代表性的系列结果绘于图4.图4(a)绘出了单向均匀受压的四边简支矩形板屈曲系数与L/h的关系曲线,从中不难发现,当L/h>1.4时板的屈曲系数变化很小,基本接近于4,这与文献得到的结果完全吻合.这也说明了L/h较大的单向均匀受压简支矩形板屈曲系数与L/h关系不大,因而此时试图用横向加劲肋来改变L/h以提高屈曲系数的效果并不明显,更有效的方法是配置纵向加劲肋,以减小h来提高临界屈曲应力.从图4(a)中还可以看出,当L/h<1.4时,板的屈曲系数波动变化较大,此时板件以一个半波屈曲,特别是当L/h很小时,均匀受压板件的临界应力实际上接近于两端铰支长度为L的压杆的临界应力.图4(b)还分别绘出了当Ψ=0.4、Ψ=0和Ψ=-0.4时简支矩形板的屈曲系数与L/h的关系曲线,其曲线形式与均匀受压时类似.当板件以多个半波(两个及以上)形式屈曲时其屈曲系数变化不大,都基本趋于固定值,因而在实际工程常见的L/h范围内可以偏安全地各取其近似下限值作为板的屈曲系数.图4(c)绘出了纯弯曲状态下简支矩形板屈曲系数与L/h的关系曲线,其变化规律也与其他非均匀受压情况类似,当L/h较小时屈曲系数随之波动变化,但不论屈曲时出现几个半波,屈曲系数的最小值总是接近于23.9,这与文献给出的结果也完全吻合.图5绘出了纯弯状态下不同宽高比的简支矩形板的屈曲波形等高线图,结合图4(c)说明了在纯弯曲状态的简支板随着L/h增大屈曲半波数增多,板的屈曲系数则随之波动变化.1.2规范中的屈曲系数对非均匀受压板件的稳定系数,我国GB50018规范第5.6.2条,对加劲板件按下式取值:当1.0>Ψ>0时,Kbcs=7.80-8.15Ψ+4.35Ψ2;(3a)当0≥Ψ≥-1.0时,Kbcs=7.80-6.29Ψ+9.78Ψ2.(3b)欧盟EC3规范也给出了非均匀受压板件稳定系数的简化计算公式:当1.0≥Ψ>0时,Kbcs=8.2/(1.05+Ψ);(4a)当0≥Ψ>-1.0时,Kbcs=7.81-6.29Ψ+9.78Ψ2.(4b)EC3规范还给出了可以替代式(4a)、(4b)统一公式,在1.0≥Ψ≥-1.0下通用,即Κbcs=16[(1+Ψ)2+0.112(1-Ψ)2]0.5+(1+Ψ).(5)美国AISI规程对非均匀受压板件的稳定系数计算公式最为简洁:Κbcs=4+2(1-Ψ)+2(1-Ψ)3.(6)上述几种非均匀受压简支板屈曲系数公式都假定板件四边是简支的,图6对这些公式与ANSYS有限元分析得到的屈曲系数进行了比较.从中不难看出,简支板的屈曲系数随应力不均匀系数的增大而减小,这是不难理解的,因为非均匀受压板总是在受压区发生屈曲,当-1.0≤Ψ<0时板件中出现了不同程度的受拉区,这对板件受压区的稳定有增强作用.因而板件在纯弯曲时屈曲系数最大,在均匀受压时屈曲系数最小,在其余非均匀受压情况下的屈曲系数介于两者之间.从板屈曲系数的各种计算结果比较来看,在实际工程中常见的L/h范围内前述各种简支板非均匀受压屈曲系数的计算公式都具有良好的精度.其中EC3规范的分段公式和统一公式计算得到的屈曲系数与ANSYS计算值吻合最好;GB50018规范在0≥Ψ>-1.0段得到的屈曲系数值与EC3规范基本一致,在1.0>Ψ>0段GB50018规范公式得到的屈曲系数值与ANSYS计算值的吻合精度略逊于EC3公式;美国AISI规程的近似公式得到的屈曲系数值与ANSYS计算值也吻合很好,而且其表达式非常简洁,便于在实际工程设计中应用,因而建议采用.2固支矩形板屈曲分析这里所指的固支矩形板是两条非加载对边固支,两条加载边仍视为简支.为了区别起见,非均匀受压固支矩形板的屈曲系数记为Kbcf.此时ANSYS分析模型与简支板的不同之处在于,要约束纵向2条非加载边上节点绕板平面内两轴的转动位移,即约束自由度4和5,其余边界约束条件与简支情况相同.对L/h=0.3～4.8以及Ψ=-1.0～1.0的250余个固支矩形板模型进行了弹性屈曲分析,得到其屈曲系数,将有代表性的系列结果绘于图7.图7(a)～(c)绘出了当Ψ=1.0(均匀受压)、Ψ=0.4、Ψ=0(三角形分布压应力)、Ψ=-0.4、Ψ=-1.0(纯弯)时固支板屈曲系数与L/h的关系曲线,曲线形状与简支板类似.从图中可以看出,非均匀受压固支矩形板的屈曲系数随L/h的变化而波动,也就是说屈曲系数随着板屈曲半波数增加而波动变化,且只有在L/h较小时屈曲系数的波动幅度较大,当L/h较大时屈曲系数的变化很小基本趋于固定值.因此在实际工程常见的L/h范围内对不同非均匀程度受压固支矩形板,也可以偏安全地各取其屈曲系数的近似下限值来计算临界屈曲应力.对均匀受压的固支矩形板,其最小屈曲系数约为6.97,此时对应的L/h为0.60～0.70(约2/3);对纯弯曲状态的固支板,其最小屈曲系数约为39.6,与文献的结果吻合.由于非均匀受压固支矩形板屈曲系数在工程常见的L/h范围内与L/h的大小关系不大,通过对ANSYS分析得到的数据进行拟合,得到非均匀受压固支板的屈曲系数可由下式来计算:当1.0≥Ψ>0时,Kbcf=14.47/(1.08+Ψ);(7a)当0≥Ψ>-1.0时,Kbcf=13.54-10.79Ψ+15.27Ψ2.(7b)也可以将式(7a)、(7b)分段公式统一成通用于-1.0≤Ψ≤1.0的单一公式:Κbcf=27.86[(1+Ψ)2+0.124(1-Ψ)2]0.5+(1+Ψ).(8)根据式(6)的形式,还可以将非均匀受压固支板的屈曲系数计算公式简洁地表示为Κbcf=6.97+3.34(1-Ψ)+3.24(1-Ψ)3.(9)式(7)～(9)得到的屈曲系数曲线见图8,与ANSYS计算结果(以散点形式绘于图8)进行比较,可以看出式(7)、(8)具有相当高的精度,式(9)的精度略逊于式(7)、(8),但其值与有限元结果的误差基本都在3%以内,且其表达式非常简洁便于实际设计应用,因而建议采用.3工字形截面屈曲分析工字形截面翼缘对腹板提供嵌固约束,这种约束传统上采用转动弹簧来模拟,如图9(a)所示.但是实际上工字形截面的翼缘对腹板的嵌固作用与转动弹簧是不同的,两者的对比如下:单位长度上转动弹簧对板的约束弯矩为Μx|y=0,h=kz∂w∂y|y=0,h=kzθ.(10)式中:w为腹板的屈曲挠度,∂w/∂y|y=0,h=θ,其中θ为板上下边的转角;kz为板边单位长度上的转动约束刚度.而实际上腹板屈曲时,翼缘产生转角θ,在翼缘内产生的是扭矩GJfθ′,其中GJf为扭转刚度,θ′为转角变化率,从图9(b)看出,从翼缘自身的扭转平衡要求出发,翼缘和腹板交线处产生的单位长度上的腹板弯矩为Μx|y=0,h=GJfθ′′|y=0,h=GJf∂3w∂x2∂y|y=0,h.(11)对照式(10)、(11)可见,翼缘对腹板的约束不能采用传统的转动弹簧来模拟,而应该采用式(11)来模拟,或者直接对工字形截面的屈曲进行分析.本文利用ANSYS有限元程序对图10所示的工字型截面梁段进行整体建模,研究其腹板区格在非均匀压应力作用下的弹性屈曲.为了突出翼缘对腹板的约束作用,在建立ANSYS有限元模型时采用耦合自由度的方法,即翼缘与腹板单独建模,再将翼缘和腹板交线上节点的转动自由度4、5和腹板平面外位移自由度3耦合,其余自由度独立.这样做的目的是不要将腹板承受的非均匀压应力传递给翼缘,避免翼缘自身的屈曲效应,使问题得以简化.对腹板的两加载边上节点约束出平面外位移自由度3,为了防止翼缘发生刚体平动位移,还需约束上下翼缘4条侧边(eh、fg、jk、il)上节点的自由度1和2.网格划分方法和荷载施加形式均与简支板情况相同.衡量翼缘对腹板约束程度的参数,采用任涛等给出的翼缘自由扭转参数与腹板弯曲刚度之比,即β=bft3f/(ht3w),式中:bf、tf分别为翼缘的宽度和厚度.对图10所示的工字形截面模型进行弹性屈曲分析,bf分别取为100、200、300和400mm,L/h取为0.4～4.0,通过改变tw而改变β值,翼缘厚度为4～30mm,应力不均匀系数取-1.0～1.0,分析了32个系列,3500余个模型,将具有代表性的系列以散点绘于图11、12.从图11中不难发现,腹板屈曲系数随β值的增大而迅速增大,然后渐渐趋近于β=∞的值.从β的物理意义出发,考虑翼缘弹性约束的腹板在非均匀压力作用下的屈曲系数仍然可以采用任涛等给出的公式形式,通过拟合得到:Κbcr=Κbcs+3Κbcfβ1+3β.(12)由式(12)计算得到的腹板屈曲系数的近似值以实线的形式绘于图11,可以看出,在实际工程常见的宽高比范围内式(12)得到的腹板屈曲系数与ANSYS基本吻合很好且是偏于安全的.表1给出了当h=800、tw=6、bf=200时L/h为1.0、1.5、2.0、3.0的非均匀受压腹板屈曲系数的ANSYS计算值和式(12)拟合值以及两者之间的误差R.当腹板宽高比较小(比如图11中L/h=1.0的情况)、β较大时,式(12)得到的屈曲系数较ANSYS计算结果偏差略大.究其原因是,当β较大时考虑翼缘约束作用的腹板屈曲系数已经接近于固支矩形板的屈曲系数,而从图7可以看出,非均匀受压固支板在L/h=1.0附近其屈曲系数达到板件以一个半波屈曲的峰值,而式(12)中Kbcf的计算公式取的是下限值.不过从表1中可以看出,实际上在这种情况下式(12)与ANSYS计算结果之间的最大误差不超过15%,也是在实际工程安全经济要求可接受的误差范围内.图12绘出了腹板屈曲系数与应力不均匀系数的关系,从中也可以看出式(12)得到的屈曲系数与ANSYS得到的结果基本吻合.4剪应力和弯曲正应力作用时的临界值刚架梁和柱连接处、连续梁和悬臂梁支座处梁腹板同时承受较大的弯矩和剪力,必须考虑这两种力素共同作用对腹板稳定的影响.陈绍蕃给出了同时承受弯矩和剪力的四边支承板件弹性屈曲的临界条件相关公式如下:(ττscr)2+(σbσbcr)2=1.(13)式中:τ、σb分别为同时作用在腹板上的剪应力和边缘最大受压弯曲正应力的临界值,τscr、σbcr分别为剪应力和弯曲正应力各自单独作用时的临界值.σbcr按照式(2)计算,其中的屈曲系数按照式(12)取值;τscr也按照式(2)计算,但其中的Kscr按照文献给出的公式计算如下:Κscr=Κss+Κsfξvβ1+ξvβ.(14)式中:ξv=0.4+0.08L/h+1.15/(L/h)2;Kss、Ksf分别为简支矩形板和固支矩形板的剪