一类偏微分方程特征值带权估计

一类偏微分方程特征值带权估计

1nn,121122、m2）是一个有平滑边界的带。考虑到以下特征值问题。{-△5u=λs(x)u,x∈Ω∂ku∂vk=0,k=0,1,2,3,4;x∈∂Ω(1.1)(1.2)其中v是边界∂Ω的单位外法向量,x=(x1,x2,⋯,xn)‚s(x)∈c(ˉΩ),且满足其中μi(i=1,2)是正实数,△为拉普拉斯算子。本文中,我们运用文献中的方法,并对其方法加以改进,获得了用前n个特征值来估计第n+1个特征值的上界的不等式,其估计系数与区域的度量无关。这个结果在力学和物理学中有着广泛的应用。根据方程理论知,问题(1.1)、(1.2)的特征值是离散的,且都是正实数。设问题(1.1)、(1.2)的特征值为0<λ1≤λ2≤…≤λn≤λn+1≤…与之对应的特征函数为u1,u2,…,un,un+1,…,且满足∫Ωs(x)uiujdx=δij={1i=j0i≠j(i,j=1,2,⋯)(1.4)利用(1.3)和(1.4),得1μ2≤∫Ω|ui|2dx≤1μ1(1.5)记:∇⋅∇=∇2=△‚ui,xk=∂ui∂xk‚ui,xk,xj=∂2ui∂xk∂xj(i,j,k=1,2,⋯)。从问题(1.1)和(1.2),利用分部积分法,有λi=∫Ωui(-△5ui)dx=∫Ω|∇5ui|2dx,(i=1,2,⋯,xk)(1.6)设ϕik=xkui-n∑j=1akijuj(1.7)其中akij=∫Ωxks(x)uiujdx,(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m)。显然,akij=akji,ϕik与u1,u2,…,un带权正交,且满足ϕik=∂ϕik∂v=∂2ϕik∂v2=∂3ϕik∂v3=∂4ϕik∂v4=0,x∈∂Ω,(i=1,2,⋯,n;k=1,2,…,m)于是,利用Rayleigh定理,得到下列不等式λn+1≤∫Ωϕik(-△5ϕik)dx∫Ωs(x)ϕik2dx(i=1,2,⋯,n;k=1,2,…,m)(1.8)计算得-△5ϕik=λis(x)xkui-10△4ui,xk-∑j=1naijkλjs(x)uj(1.9)利用ϕik与uj(j=1,2,…,n)的带权正交性,以及∫Ωs(x)ϕik2dx=∫Ωxks(x)ϕikuidx,从式(1.9),有∫Ωϕik(-△5ϕik)dx=λi∫Ωs(x)ϕik2dx-10∫Ωϕik△4ui,xkdx(1.10)设Ιik=-∫Ωϕik△4ui,k,Ι=∑k=1m∑i=1nΙik‚Uik=∫Ωs(x)ϕik2dx,U=∑k=1m∑i=1nUik。利用式(1.10),得∑k=1m∑i=1n∫Ωϕik(-△5ϕik)dx=∑k=1m∑i=1nλi∫Ωs(x)ϕik2dx+10Ι(1.11)利用式(1.8)和(1.11),有λn+1U≤∑k=1m∑i=1nλi∫Ωs(x)ϕik2dx+10Ι(1.12)在式(1.12)中,用λn替代所有的λi(i=1,2,…,n),有(λn+1-λn)U≤10I(1.13)2明确i的特征函数引理1设ui是问题(1.1)、(1.2)对应特征值λi的特征函数(i=1,2,…,n),则1)∫Ω|∇3ui|2≤λi35μ125;2)∫Ω|∇2ui|2≤λi25μ135;3)∫Ω|∇ui|2≤λi5μ145。证利用分部积分法、Schwartz不等式和(1.5),得∫Ω|∇ui|2dx≤μ1-12(∫Ω|∇2ui|2dx)12(2.1)同理,∫Ω|∇2ui|2dx≤μ1-14(∫Ω|∇2ui|2dx)14(∫Ω|∇3ui|2dx)12。化简,得∫Ω|∇2ui|2dx≤μ1-13(∫Ω|∇3ui|2dx)23(2.2)利用分部积分法,Schwartz不等式,(1.5),(2.1),(2.2)和(1.6),得∫Ω|∇3ui|2dx≤μ116λi14(∫Ω|∇3ui|2dx)712化简得引理1(1)式。引理1(1)代入(2.2)得引理1(2)式。引理1(2)代入(2.1)得引理1(3)式。引理2设ui是问题(1.1)、(1.2)对应特征值λi的特征函数(i=1,2,…,n),则1)∑k=1m∫Ω|∇3ui,xk|2dx=∫Ω|∇4ui|2dx;2)-∑k=1m∫Ωxkui△4ui,xkdx=12(8+m)∫Ω|∇4ui|2dx。证对于1),利用分部积分法,得∑k=1m∫Ω|∇3ui,xk|2dx=∑k=1m∫Ωui,xk(-△3ui,xk)dx=∑k=1m∫Ωui,xkxk△3uidx=∫Ω△ui⋅△3uidx=∫Ω|∇4ui|2dx类似地,有-∫Ωxkui△4ui,xkdx=∫Ω|∇4ui|2dx+∫Ωxkui△4ui,xkdx+8∫Ωui△3ui,xk,xkdx(2.3)利用式(2.3),得-∫Ωxkui△4ui,xkdx=12∫Ω|∇4ui|2dx+4∫Ω|∇3ui,xk|2dx(2.4)利用引理2和式(2.4),得2)成立。引理3设λi(i=1,2,…,n)是问题(1.1)、(1.2)的n个特征值,则Ι≤8+m2μ15∑i=1nλi45证Ιik=-∫Ωϕik△4ui,xkdx=-∫Ωxkui△4ui,xkdx+∑j=1naijk∫Ωuj△4ui,xkdx。由于aijk=ajik,∫Ωuj△4ui,xkdx=-∫Ωui△4uj,xkdx,所以有∑i,j=1naijk∫Ωuj△4ui,xkdx=0从而得∑i=1nΙik=∑i=1n∫Ωxkui△4ui,xkdx(2.5)利用引理2和式(2.5),有Ι=∑k=1m∑i=1nΙik=12(8+m)∑i=1n∫Ω|∇4ui|2(2.6)利用Schwartz不等式,(1.6)和引理1(1),得∫Ω|∇4ui|2dx≤(∫Ω|∇3ui|2dx∫Ω|∇5ui|2dx)12≤λi45μi5(2.7)由(2.6)、(2.7)即得引理3。引理4对于ϕik和λi(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m),有下列不等式成立U≥m2n2μ1μ1454μ22⋅(∑i=1nλi5)-1证由ϕik的定义,有∑i=1n∫Ωϕikuidx=∑i=1n∫Ωxkuiui,xkdx-∑i,j=1n∫Ωaijkujui,xkdx(2.8)利用aijk=ajik和∫Ωujui,xkdx=-∫Ωuiuj,xkdx,易知式(2.8)右端第二项恒等于零,又∫Ωxkuiui,xkdx=-∫Ωu2idx-∫Ωxkuiui,xkdx即∫Ωxkuiui,xkdx=-12∫Ωui2dx(2.9)利用式(2.8)、(2.9)和∫Ωui2dx≥1μ2,得|∑k=1m∑i=1n∫Ωϕikui,xkdx|=|-m2∑i=1n∫Ωui2dx|≥mn2μ2(2.10)利用式(2.10)、Schwartz不等式和引理2,有m2n24μ22≤(∑k=1m∑i=1n∫Ωs(x)ϕik2dx)(∑k=1m∑i=1n∫Ω1s(x)|ui,xk|2dx)≤U(1μ1∑i=1n∫Ω|∇ui|2dx)(2.11)利用式(2.11)和引理1(2),得U⋅1μ1⋅1μ1⋅(∑i=1n(μ1λi)14)≥m2n24μ22即U≥m2n2μ1μ1454μ22⋅(∑i=1nλi5)-13iik2cdx定理1设λi(i=1,2,…,n+1)是问题(1.1)、(1.2)的特征值,则1)λn+1≤λn+20μ22(8+m)μ12m2n2(∑i=1nλi45)(∑i=1nλi5);2)λn+1≤μ12m2+20μ22(8+m)μ12m2λn。证利用引理3和引理4,从式(1.13),可得式定理1(1),用λn来替代λi,可得到定理1(2)式。定理2对于m≥2,n≥1,有∑i=1nλi5λn+1-λi≥μ12m2n220μ22(8+m)(∑i=1nλi45)-1证选择参数σ>λn,利用(1.12),得λn+1U≤σU+∑k=1m∑i=1n∫Ω(λi-σ)s(x)ϕik2dx+10Ι(3.1)利用(2.9)和Young不等式,有mn2μ2≤δ2∑k=1m∑i=1n(σ-λi)∫Ωs(x)ϕik2dx+12δ∑k=1m∑i=1n(σ-λi)-1∫Ω|ui,xk|2s(x)dx≤δ2∑k=1m∑i=1n(σ-λi)∫Ωs(x)ϕik2dx+12δμ1∑k=1m∑i=1n(σ-λi)-1∫Ω|ui,xk|2dx(3.2)其中δ>0是待定常数。设V=∑k=1m∑i=1n(σ-λi)∫Ωs(x)ϕik2dx将式(3.1)和(3.2)简化为(λn+1-σ)U+V≤10I(3.3)mnμ2≤δV+1δμ1(∑i=1n(σ-λi)-1∫Ω|∇ui|2dx)mnμ2(3.4)利用引理12)和式(3.4),有mnμ2≤δV+μ115δμ12∑i=1nλi15σ-λi(3.5)为了使式(3.5)右端的值达到最小,取δ=μ1110μ1V-12(∑i=1nλi15σ-λi)12(3.6)利用式(3.5)和(3.6),得V≥m2n2μ1954μ22(∑i=1nλi15σ-λi)-1(3.7)将式(3.7)代入(3.3),得(λn+1-σ)U≤5(8+m)μ115∑i=1nλi45-m2n2μ1954μ22(∑i=1nλi15σ-λi)(3.8)其中σ>λn,选取σ,使不等式(3.8)右端等于零,即∑i=1nλi15σ-λi=μ12m2n220μ22(8+m)(∑i=1nλi45)-1(3.9)设f(σ)=∑i=1nλi15σ-λi,易知,f(σ)是在(λn,+∞)内单调减少连续