钢筋混凝土桥面组合梁的弹性屈曲分析

钢筋混凝土桥面组合梁的弹性屈曲分析

1连续组合梁的临界弯矩变化由于上翼边缘板的限制，钢框架梁的定向稳定性计算应不同于钢结构设计规定的梁的曲线畸变失稳计算。框架梁上翼缘基本上没有侧向变形,其稳定性主要是负弯矩区下翼缘的侧向失稳。这是一种畸变屈曲(图1),即截面形状不再保持不变的屈曲。连续组合梁的负弯矩区也发生这种屈曲。对于钢框架梁和连续组合梁负弯矩区的稳定性设计,GB50017采用限制梁的绕弱轴的长细比的方法,参见规范第9.3.2条的规定。这种方法来自于梁整体弯扭屈曲的计算而不是畸变屈曲的研究,未能考虑楼板作用,过于保守,因而是不适合的。文献提出,将下翼缘看做压杆,在下翼缘侧向失稳时受到腹板的侧向约束,因此下翼缘被简化为弹性地基上的压杆。文献的算例7.2利用这个模型,提出了如下的计算步骤来计算负弯矩区的稳定性:(1)计算弹性屈曲临界应力σcr1=E2√3√bft3wtfh3w(1)(2)计算下翼缘作为压杆的长细比λ=π√Eσcr1√fy235(2)(3)查柱子稳定系数b曲线,得到下翼缘畸变屈曲的稳定系数φ(4)负弯矩区的最大应力应该满足下式σ≤φf(3)式(1)中bf和tf分别是梁截面下翼缘的宽度和厚度,hw和tw分别是腹板的高度和厚度,E是弹性模量。Svensson及陈世鸣等先后研究了变轴力弹性地基梁模型的设计方法,指出轴力变化的影响是不能忽略的重要因素,他们得到了一些图表,但是未能提出近似公式。弹性地基梁的方法未能考虑腹板本身也存在受压应力区,自身也有发生屈曲的趋势,因此它对下翼缘提供的侧向约束在大多数情况下估计得过高。因而上面求得的临界应力σcr1经常过大。欧洲组合结构设计规范EC4给出了连续组合梁负弯矩区畸变屈曲的设计规定。EC4模型的计算模型如图1所示,考虑了混凝土楼板和钢梁腹板的弯曲对下翼缘侧向位移的约束,建立倒U型框架模型。根据文献,纯弯时的弹性临界弯矩的公式为:Μcr=kcl(π2χ1/2+χ-1/2)[(GJ+ksl2/π2)EΙf]1/2(4)式中是梁长,EIf是下翼缘绕y轴的抗弯刚度,GJ是钢截面的自由扭转刚度。Aa,Iax,Iay分别是钢梁截面的面积、绕强轴惯性矩、绕弱轴惯性矩,A,Ix分别是组合截面换算成钢截面的面积和绕强轴的惯性矩,zc是混凝土楼板的中心到钢截面形心的距离。ks为下翼缘侧向约束等效弹簧刚度,与k1和k2有关1ks=1k1+1k2=aαEΙ2+4(1-ν2)hwEt3w(5)EI2是开裂后的正弯矩区楼板单位宽度的弯曲刚度,a是梁与梁的间距,ν是泊松比,α=2(边梁),α=4(中间的框架梁)。假设混凝土为C25,弹性模量为28000N·mm-2,板厚100mm,钢梁腹板高600mm,翼缘厚度为14mm,腹板厚度为8mm,翼缘宽度为250mm,梁长为4800mm,钢梁间距为3000mm,楼板开裂抗弯刚度取未开裂的一半,则k1=2EΙ2/a=2×28000×100312×3000/2=7.7778×105Νk2=Et3w4(1-ν2)hw=206000×834(1-0.32)×600=4.8293×104Ν可见一般情况下k1比k2要大10倍多,从而在研究中可以假设上翼缘是完全约束,不能侧向变形和扭转。求出弹性临界弯矩后计算极限承载力为:Μd=χLΤΜp(6)χLT是根据通用长细比查EC3的压杆稳定系数曲线c得到的弹塑性稳定系数。通用等效长细比为—λLΤ=(Μp/Μcr)1/2。EC4公式考虑的因素较多,计算复杂,不便于工程应用。对于我国的工程实际应用来说,亟需在一些可行的假定前提下找出弹性临界荷载更为简单的表达形式。本文采用能量法对畸变屈曲进行了求解,并用有限元进行了分析和验证,得到了多半波失稳和单半波屈曲情况下的弹性临界荷载,并对支座约束对于弹性临界荷载的影响作了相关研究。2弹性过载2.1下翼缘应力应变的识别图2所示的简支梁,承受纯弯的负弯矩。上翼缘因为和楼板连成整体,不会发生侧移,而扭转变形也忽略不计。下翼缘发生侧向失稳时,翼缘和腹板中的应变能为Uf=12∫l0(EΙfyu″2f+GJfϕ′2f)dz(7a)Uw=12Dw∫l0∫hw/2-hw/2{(∂2uw∂y2+∂2uw∂z2)2-2(1-ν)[∂2uw∂y2∂2uw∂z2-(∂2uw∂y∂z)2]}dydz(7b)荷载势能为Vf=-12∫l0(Ρu′2f+Ρr20ϕ′2f)dz(8a)Vw=-12tw∫l0∫hw/2-hw/2σz(∂uw∂z)2dydz(8b)其中r20=Ιfx+ΙfyAf=112(b2f+t2f)‚Dw是腹板的弯曲刚度,Ify,Ifx,Jf分别是受压下翼缘绕自身形心轴的惯性矩及自由扭转惯性矩。Af为下翼缘的面积,P是下翼缘应力的合力。总势能为∏=Uf+Uw+Vf+Vw(9)由于本文研究的是畸变屈曲,因此不能指望下翼缘对腹板提供约束。假设腹板就像一根固定于受拉上翼缘的一边自由板,腹板在受压下翼缘端的侧移和转角的关系可以按照一端固定一端自由的悬臂柱在顶部作用水平力时的侧移和顶部转角的关系来描述,即ϕB=1.5uBh(10)假设下翼缘上每一个点的位移为:uf=uBsinmπzl(11)腹板的位移假设为三次曲线的形式,为:uw=uB(0.3125+1.125y—+0.75y—2-0.5y—3)sinmπzl(12)式中y—=y/h。上式满足腹板和上下翼缘的位移和转角连续的条件。将式(11)、(12)代入总势能表达式,令其对于uB的一阶变分为零,得到临界应力的表达式如下:σcr=m2π2l2hw2(EΙfy+0.236Dwhw)+3Dwl2m2π2hw+1.5Dwhw+2.25GΙfkbftf(hw2+2.25r02)+0.148hw3tw(13)上式对半波数m求导数,令导数为0得到m=lπhw3γ+0.2364≈lπhw3γ4(14)γ=EΙfyDwhw(15)上述简化基于γ一般均大于100。将m代入(13)式得到σcr=Dwhw(23(γ+0.236)+1.5)+2.25GΙfkbftf[hw2+2.25(bf2+tf2)]+0.148hw3tw(16)公式(16)与梁长无关,是公式(13)的下限。通过试算发现,畸变屈曲的波长经常超出实际钢梁的长度,这样一来,畸变屈曲的半波数经常是1,在这种情况下用(16)式偏小较多,因此对于这种情况需要修正。修正后的公式为σcr=ϕ1(23γ+1.5)Dwhw+2.25GΙfkbftf(hw2+2.25r02)+0.148hw3tw(17)ϕ1推导如下:将m=1时的σcr与(17)式比较得到ϕ1=π2hw223γl2γ+3l2π2hw223γ+1.523γ分析得知最后一项影响较小,所以偏安全地ϕ1=12[(ldisl)2+(lldis)2]ldisl≤1(18a)ϕ1=1.0ldisl>1(18b)式中ldis=πhwγ34≈2.4hwγ4(19)2.2anasas弹性屈曲分析利用ANSYS通用有限元程序对于一系列钢梁截面进行弹性屈曲分析,采用Shell63壳单元进行模拟。为了实现假设的混凝土楼板的无穷大的侧向和约束扭转,采用限制上翼缘与腹板交接节点的侧向位移,耦合上翼缘同一z值节点的y向位移的方法来实现。同时限制支座处下翼缘y方向的位移及下翼缘与腹板交接节点的x方向位移,及一侧支座这类节点的z方向位移来满足两端简支梁的支座条件。截面尺寸为:截面S1:H400×80×6/8,截面S2:H600×120×8/10,截面S3:H800×160×8/12,取l=(4～20)hw对ANSYS弹性屈曲分析的结果,与公式(16)进行对比,如图3所示。从图3的ANSYS结果曲线中可以看出,随着跨高比的不断增加,临界荷载趋于平稳,通过观察屈曲模态发现畸变屈曲半波从一个变化为二个甚至多个。随着半波数的增多,临界应力逐渐接近下限值,但在跨高比较小时,其与下限应力相比有明显的增大。这说明了(17)式中采用的修正的必要性。从图3结果曲线的比较中可以看出用公式(16)结果作为弹性屈曲应力的下限估计是足够精确的,图中超出下限的结果误差不超过5%。除了上面3种截面外,本文还选取了截面高度范围为300mm～800mm,翼缘宽度为截面高度的1/5～4/5,腹板厚(6～12)mm,翼缘厚(6～16)mm,腹板厚比翼缘厚小(2～6)mm,跨高比为6,12,18的梁进行了计算。在采用的1620个分析样本中,有790个发生了畸变失稳,判断发生畸变失稳的标准是受压下翼缘发生的x向位移等于腹板平面的最大x位移,且远远大于下翼缘的y向位移。(17)式与790个畸变屈曲的结果误差分析如图4所示,由图可见绝大多数偏于安全。表1给出了一些更加具体的对比。由表可见,(17)式有足够的精度。2.3解释2:有条件时的临界荷载为了考察除分析时使用的约束外其他类型约束对于畸变失稳临界荷载的影响,采用截面S1-6来进行分析。上翼缘的约束与前面相同,不限制腹板节点位移。下翼缘均先限制y向位移和中点x向位移,一端z向位移。表2给出下翼缘侧向弯曲时的三种边界条件下的临界荷载。从表2可以看出,对于这个例子,支座约束的影响是很大的。A,B,C三种情况得到的临界荷载与公式最小值的比值μ与屈曲半波数的关系分布如图5所示,可以看出,支座约束对于临界荷载的影响只在半波数较小时比较大。情况B大约是情况A的2到4倍,而多半波数的时候,支座约束的影响相对较小。局部失稳和畸变失稳的相互影响比较复杂,不在本文讨论范围之内,具体设计时两种失稳模式应当分开验算。因此,图中由于局部失稳而导致的数据点奇异的情况,不在本文中考虑。为了考虑支座形式的影响,改写ϕ1表达式如下:ϕ1=(1μ-12)(ldisl)2+12(lldis)2(20)两端简支μ=1,两端固定时μ=0.5,一端简支一端固定时μ=0.8。两种支座形式下的误差见图6。2.4梁的临界应力实际上梁的弯矩都是变化的。假设弯矩线性变化,小弯矩和大弯矩的比值为β=M2/M1。则σw=ΜzΙxh2=σz[1-(1-β)zl](21)如果荷载位移曲线仍然采用(12)式,则荷载势能计算如下:Vfβ=-12AF∫0l[σzu′f2+σzr02ϕ′f2]dz=(1+β)2Vf(22a)Vwβ=-12tw∫0l∫-0.5hw0.5hwσzu′w2dydz=12(1+β)Vw(22b)两个修正系数均为12+12β,因此临界应力为σcr=βmσcr0(23)βm=2β+1‚δcr0是纯弯时的临界应力。采用表3所列的截面进行的有限元分析,结果如图7、图8所示:通过观察上图下降段曲线上点的屈曲模态可以发现,梁的下翼缘发生了局部屈曲或是在畸变失稳的基础上发生了局部失稳。由于局部屈曲的影响不在本文的考虑范围之内,所以拟采用如下的公式计算弯矩放大系数:βm=1.25-0.25β(24)当β=-1时,βm=1.5,从图上看偏于安全。当作用有横向荷载的时候,可以取支座负弯矩至最大正弯矩之间的梁段,计算两端弯矩比值β来计算,参见图9。对于图9,可计算弯矩分布系数为β=MB/MC,负弯矩取正值,正弯矩取负值。对于梁长可取正负弯矩之间的距离。文献中利用伽辽金方法对于变轴力作用下的弹性地基梁弯矩放大系数作了推导,对于图10中的几种荷载情况,通过试算表明,取最大正弯矩与支座负弯矩的比值,并且取梁长为最大正弯矩处与支座的距离,按照本文的公式(24)(20)及(17)式计算临界应力偏于安全。3弹性临界应力本文对上翼缘有混凝土楼板的工字形截面钢