T-模与分解定理

第三章

T-模与分解定理一.T-模(三角模)的概念前面介绍了模糊集定义的各种拓广形式,本节是对模糊集运算进行拓广,就是将模糊集的并、交运算拓广到一般的t-模、s-模。1.从西瓜问题谈起

考虑一堆西瓜,定义西瓜为“里红且外绿”的水果,这里“红”与“绿”是模糊概念,从而这里的“西瓜”也是一个模糊概念。假设某水果里红的程度是0.5,外绿的程度是0.8.它隶属于西瓜的程度如何?

如果使用前述模糊集的交运算定义,则这个水果属于“西瓜”的程度0.5∧0.8=0.5.

然而,就直观的感觉而言,里红和外绿对于成为一个西瓜来说应该是互相加强的“证据单元”,因此这个水果隶属于“西瓜”的程度大于0.5才合理。

观点：当取两个模糊集的交集时,可能希望较大的模糊集对结果产生影响,但如果模糊交集选用min,则可能较大的模糊集无法产生影响。

因为客观世界现象错综复杂，“与”算子的选取也应具体问题具体分析。所举西瓜“证据强度”的例子说明min算子用此例不合适,但不能说采用别的算子就一定不合适。目前“与”算子除采用min外,还可以用有界积、乘积等算子。min算子作为“与”算子可用于许多论域,但不是所有论域,其它的“与”算子在一定条件下适用于一定的实际问题,数学的高度抽象性和客观世界的复杂多样性从来就是相辅相成的。T-模(triangularnorm,又称为三角模或T-范数)首先出现在K.Menger于1942年发表的论文“Statisticalmetrics”(统计度量)中,在这里,T-模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的。60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新严格定义了T-模(即现在通用的定义)和统计度量空间(现称为概率度量空间),从而导致了这个领域的飞速发展。由于T-模较好地反映了“逻辑与”的性质,因此T-模作为一般的“模糊与”算子一致受到模糊逻辑学界的青睐。事实上,除了概率度量空间和模糊逻辑外,T-模还应用于决策支持、函数方程、测度理论、博弈理论等许多领域.

2.T-模的定义定义

T-模是单位区间[0,1]上的二元运算T,它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元1.即T:[0,1][0,1][0,1]满足以下条件：

x,y,z[0,1]有：(1)T(x,y)=T(y,x),(2)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),(3)

当y

z时,有T(x,y)T(x,z),(4)T(x,1)=x.容易证明:T(x,0)=0,

x[0,1].常用

表示T,并将T(x,y)记为x

y.

以下各式定义的

都是T-模:(1)x

y=min(x,y).(取小算子或GödelT-模)(2)x

y=xy.(积算子或乘积

T-模)(3)x

y=max(x+y1,0).

(LukasiewiczT-模)(4)

突变积或极端积当x,y至少有一个是1时x

y取最小者,否则,x

y=0.(5)R0

T-模(王国俊)二.S-模(T-余模)的概念1.S-模的定义定义

S-模(三角余模或T-余模)是单位区间[0,1]上的二元运算S,它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元0.即S:[0,1][0,1][0,1]满足以下条件：

x,y,z[0,1]有:(1)S(x,y)=S(y,x),(2)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),(3)

当y

z时,有S(x,y)S(x