医用高等数学-事件的概率与计算

第二节事件的概率与计算医用高等数学07-02-01一、事件的概率二、概率的性质与计算三、条件概率与概率乘法公式医用高等数学07-02-02四、事件的独立性五、全概率公式和逆概率公式六、伯努利概型一、事件的概率（1）概率的统计定义（2）概率的古典定义医用高等数学07-02-03频率(frequency)

若随机事件A

在n次重复独立试验中出现了m次，则比值m/n称为事件A

出现的频率，m称为频数，记为医用高等数学07-02-04性质：由于0≤m≤n

0≤fn(A)≤1对必然事件Ω

fn(Ω)=1对不可能事件

fn(

)=0医用高等数学07-02-05例对一个妇产科医院6年中出生的婴儿进行统计，新生男孩共16146人，新生女孩共15248人，试计算男孩、女孩出生的频率。医用高等数学07-02-06例掷一枚质量均匀的硬币，出现正面与出现反面的机会是相等的，即在大量重复试验中，出现正面的频率应接近于0.5。为了验证这一点，历史上曾有几位数学家做过试验，结果如下：医用高等数学07-02-07医用高等数学07-02-08实验者硬币次数出现正面次数频率德·摩根204810390.5073蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005例瑞典1935年官方统计资料显示该年各个月份出生的男婴和女婴人数，以及生女频率如下：医用高等数学07-02-09医用高等数学07-02-10月份总数男婴女婴生女频率17280374335370.48626957355034070.49037883401738660.49047884417337110.47157892411737750.47867609394436650.48277585396436210.47787393379735960.48697203371234910.485106903351233910.491116552339231600.482127132376133710.473全年8827345682425910.4825频率的稳定性种种事实表明，尽管在一次试验中，可能出现这种结果，也可能出现那种结果，但在大量试验中，一个随机事件出现的频率，随着试验次数的逐渐增多，越来越接近在一个常数附近摆动，明显地呈现出稳定于该常数的趋势，这是一种统计规律，称为频率的稳定性。医用高等数学07-02-11概率的统计定义设在相同条件下，进行大量重复独立试验，若事件A的频率稳定地在某一确定值p附近摆动，称此数值p为事件A

发生的概率(probability)，记作P(A)=p医用高等数学07-02-12优点：P

fn(A)=m/n

定义直观，应用广泛；概率的统计定义缺点：计算工作量大（且有的试验不可重复进行）。医用高等数学07-02-13性质：对任何事件A，成立0≤P(A)≤1对必然事件Ω

P(Ω)=1对不可能事件

P(

)=0医用高等数学07-02-14概率的公理化定义设Ω

是一给定的样本空间，A

为其中的任意一事件，规定一个实数，记作P(A)，若P(A)满足下列三条公理：（1）非负性：P(A)

0；（2）规范性：P(Ω)=1；（3）可列可加性：事件A1,A2,…,An,…

两两互斥，即AiAj=(i

j)，则有医用高等数学07-02-15则称P(A)为事件A

发生的概率。若随机试验具有如下两个特征：（1）有限性：试验中的所有可能结果（即基本事件）只有有限个，而且是两两互斥的；（2）等可能性：每个试验结果出现的可能性相同。

具有这两个特征的试验称为古典概型。医用高等数学07-02-16概率的古典定义设古典概型的所有基本事件为e1,e2,…,en，事件A

含有其中的m个基本事件，则定义事件A

的概率为医用高等数学07-02-17其中n

是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件数。例一个口袋里装有大小相等、质量相同的球8个，其中白球5个，黑球3个。从中任取一球，问取出的是黑球的概率为多少？医用高等数学07-02-18例设箱中装有100件产品，其中有3件次品。为检查产品质量，从中任取5件，求事件A={所取的5件产品中恰有1件次品}的概率。医用高等数学07-02-19课堂讨论题把一个表面涂有红色的正方体，锯成1000个同样大小的小正方体。搅匀后，任摸一小正方体，求有R=0,1,2,3面涂有红色的概率。医用高等数学07-02-20医用高等数学07-02-21例两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄，求事件A={第二个邮筒恰好被投入1封信}的概率。医用高等数学07-02-22例

把n

个不同的球随机地放到N(N

n)个编号为1到N

的盒子中去，求：（1）指定的n

个盒子中各有一球的概率；（2）任意n

个盒子中各有一球的概率。医用高等数学07-02-23课堂讨论题（抽签问题）n个人以摸彩的方式分两张奥运入场券票。求：（1）第一个人摸到奥运入场券的概率；（2）第k(k≤n)个人摸到奥运入场券的概率。医用高等数学07-02-24课堂讨论题（生日问题）某班有40名大学生是1989年出生的，试问至少有2人同日生的概率是多少？医用高等数学07-02-25定理（狭义加法定理）设A,B

是两个互不相容的事件，则它们的和事件的概率等于各事件的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)医用高等数学07-02-26推论1

有限个两两互斥事件A1,A2,…,An，它们的和事件的概率等于各事件的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)医用高等数学07-02-27推论2

互不相容完备事件组的各事件的概率之和等于1。即若A1,A2,…,An之间两两互斥，且A1+A2+…+An=

，则P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1医用高等数学07-02-28推论3

互相对立的两个事件的概率之和为1，即P(A)+P()=1医用高等数学07-02-29例设50支针剂中有3支不合格品，今从中任意取4支，求其中不合格品数不少于2支的概率。医用高等数学07-02-30例袋中有4只黑球和1只白球，每次从袋中任意取出一球，并换入一只黑球。连续进行，问第三次取出的是黑球的概率是多少？

医用高等数学07-02-31医用高等数学07-02-32定理

若有事件A

与B

满足A

B，则有P(A-B)=P(A)-P(B)定理（广义加法定理）若事件A与B为任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)医用高等数学07-02-33例袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球，从中每次任取1球，并放回，连续两次，求取得的两球中无黑球或无红球的概率。医用高等数学07-02-34医用高等数学07-02-35例设P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(AB)=0.4，试求：

P(A+B)，，，课堂讨论题（1973年美国中学生数学竞赛试题）有两张卡片，一张两面都是红色，另一张一面是红色，另一面是蓝色。现任选一张的任一面放在桌上，若该卡片上面是红色，现问下面也是红色概率是多少？(A)1/4(B)1/3(C)1/2(D)2/3(E)3/4医用高等数学07-02-36三、条件概率与概率乘法公式（1）条件概率（2）概率乘法公式医用高等数学07-02-37例光明玩具厂有职工500人，男女各半，男女职工中非熟练工人分别有40人与10人。现从该厂职工中任意选取一人，试问：（1）该职工是非熟练工人的概率是多少？（2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率是多少？医用高等数学07-02-38条件概率(conditionalprobability)

设A、B

是样本空间

中的两个事件，且P(B)>0，称医用高等数学07-02-39为在事件B

发生的条件下事件A

发生的条件概率。例一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女的可能性是相同的）医用高等数学07-02-40例设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？医用高等数学07-02-41课堂讨论题

有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个。其中第一个盒子７个球标有字母A,３个球标有字母Ｂ；第二个盒子红球和白球各有５个；第三个盒子中有红球８个，白球２个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中取一个球，若取得标有字母Ａ的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母Ｂ的球，则在第三个盒子里任取一球。如果第二次取得红球，则试验成功，求试验成功的概率。医用高等数学07-02-42概率乘法公式两个事件积事件的概率等于一个事件的概率乘以这个事件发生的条件下另一事件的条件概率，这就是概率乘法公式。即P(AB)=P(A)×P(B|A)(当P(A)>0时)P(AB)=P(B)×P(A|B)(当P(B)>0时)医用高等数学07-02-43定理设A1,A2,…,An为n

个随机事件，则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

…P(An|A1A2…An-1)医用高等数学07-02-44例某小组共有n

人，分得一张观看奥运会的入场券。该小组用摸彩的方式决定谁得入场券，他们依次摸彩，求：（1）已知前k

1(k

n)个人都没有摸到，第k

个人摸到的概率；（2）第k

个人摸到的概率。医用高等数学07-02-45例10个考签中有4个难签，甲、乙、丙3人参加抽签（无放回），甲先、乙次、丙最后。试分别求出甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。医用高等数学07-02-46课堂讨论加工某零件经过两道工序，第一道工序出现合格品的概率为0.9，次品率为0.1，第一道工序生产的合格品在第二道工序加工出现的合格品率为0.8，废品率为0.2，第一道工序生产的次品在第二道工序出现的次品的概率为0.6，废品率为0.4，求经过两道工序加工出来的零件是合格品、次品和废品的概率是多少？医用高等数学07-02-47例（不放回摸球）设一口袋中有2个红球，3个白球。从中每次任取1个（不放回），连取二次，求第一次取得红球，第二次取得白球的概率。医用高等数学07-02-47例（有放回摸球）设一口袋中有2个红球，3个白球。第一次取出一球，取后放回；第二次再取一球，求第一次取得红球，第二次取得白球的概率。医用高等数学07-02-48事件的独立性(independent)

若事件A

发生与否不影响事件B

的发生，即P(B|A)=P(B)，则称事件B

独立于事件A。医用高等数学07-02-50

两个事件独立总是相互的。定理

两个事件A、B

相互独立的充要条件是它们积事件的概率等于其各自概率的积。即P(AB)=P(A)P(B)医用高等数学07-02-51例子：一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩的是等可能的，令：Ａ＝｛一个家庭中有男孩又有女孩｝B={一个家庭中最多有一个女孩｝对下述两种情况，讨论Ａ与Ｂ的独立性。１．家庭中有两个小孩２．家庭中有三个小孩医用高等数学07-02-52例据说有某种新药能够治疗某种肠道感染病。现有该疾病患者500人，有的服用了此新药(A)，有的未服用此新药，经过一周时间以后，有的已经痊愈(B)，有的还没有痊愈，详细结果见下表。试分析这种新药对该肠道感染病有无疗效。医用高等数学07-02-53治疗效果服药(A)未服药()合计痊愈(B)170230400未痊愈()4060100合计210290500医用高等数学07-02-55定理

若事件A

与事件B

是相互独立，则，事件Ａ与事件事件Ｂ与事件事件与独立。例子：有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各任取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率;(2)至少有一粒种子能芽的概率。定义：对任意三个事件A,B,C如果P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C独立例假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。医用高等数学07-02-56课堂讨论：用2n个相同的原件组成一个系统，有两种不同的连接方式，第一种是先串联后并联，第二种是先并联后串联，如果各个原件是否能正常工作是独立的，每个原件能正常工作的概率为ｒ，请比较一下两个系统那个更可靠一些。五、全概率公式和逆概率公式（1）全概率公式（2）逆概率公式医用高等数学07-02-57（3）逆概率公式在医药学中的应用全概率公式设事件组A1,A2,…,An是样本空间

的一个完备事件组，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n；则对任意事件B，有医用高等数学07-02-58BA1AnA3A2…医用高等数学07-02-59

例某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,又这四条流水线不合格品率为0.05,0.04,0.03,0.02.现在从出厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？医用高等数学07-02-60全概率公式的解题思路是——（1）把一个较复杂的事件分解成若干个互不相容的较简单的事件之和（关键是找一组互不相容的Ai）；（2）分别计算较简单事件的概率（用乘法定理）；（3）最后利用概率的加法定理，得到最终结果。医用高等数学07-02-61BA1AnA3A2…医用高等数学07-02-62

课堂讨论题（不放回摸球）设一口袋中有2个红球，3个白球。从中每次任取1个（不放回），连取二次，求第二次取得白球的概率。医用高等数学07-02-64课堂讨论题（有放回摸球）设一口袋中有2个红球，3个白球。第一次取出一球，取后放回；第二次再取一球，求第二次取得白球的概率。医用高等数学07-02-65例星星制药厂有三个制药车间生产同一种药品的片剂，其中有50％的片剂由第一车间生产，有25％的片剂是由第二车间生产，另外25％的片剂则由第三车间生产。已知第一、第二车间生产的产品中有2％的次品，第三车间生产的产品中有4％的次品，如果已知取出的一份产品是次品，问该次品最有可能来源于哪一个车间？医用高等数学07-02-66

即此时已知P(A1)、P(A2)、P(A3)及P(B|A1)、P(B|A2)、P(B|A3)，要求P(A1|B)、P(A2|B)、P(A3|B)。医用高等数学07-02-67(i=1,2,…,n)医用高等数学07-02-68逆概率公式（Bayes公式）设事件组A1,A2,…,An是样本空间

的一个完备事件组，则对任意事件B(P(B)>0)，成立

即在已知P(Ai)(i=1,2,…,n)（称为先验概率）及条件概率P(B|Ai)(i=1,2,…,n)的情况下，求P(Ai|B)（称为后验概率）的概率。医用高等数学07-02-69例星星制药厂有三个制药车间生产同一种药品的片剂，其中有50％的片剂由第一车间生产，有25％的片剂是由第二车间生产，另外25％的片剂则由第三车间生产。已知第一、第二车间生产的产品中有2％的次品，第三车间生产的产品中有4％的次品，如果已知取出的一份产品是次品，问该次品最有可能来源于哪一个车间？医用高等数学07-02-70例华东医药公司将其订货单按地区来源分为四组，它们分别来自东部、南部、西部和中部，同时，该公司又将全部货物分为易碎品和非易碎品两种。已知各地区的订单占全部订单的百分比以及各地区订单中易碎品所占比重见下表。现从所有订单中任意取一张，发现它是易碎品类订单，试问这一订单来自东部地区的概率是多少？医用高等数学07-02-71医用高等数学07-02-72地区订单百分比易碎品订单百分比东部3025南部4010西部205中部103课堂讨论题某发报站分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“

”，若通讯系统受到种种干扰，当发出信号“*”时，收报站分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“

”；当发出信号为“

”时，收报站分别以概率0.9和0.1收到信号“

”和“*”。求收报站收到信号“*”时，发报站确实发出信号“*”的概率。医用高等数学07-02-730.80.90.20.1“*”“*”“–”“–”0.60.4医用高等数学07-02-74例癌症的早期诊断、治疗是提高疗效的关键。近年来，甲胎蛋白免疫检测法（简称AFP法）被普遍应用于肝癌的普查和诊断。医用高等数学07-02-75

设A={肝癌患者}，B={AFP检验反应为阳性}；且已知AFP检测方法的真阳性率P(B|A)=0.94，假阳性率P(B|)=0.04；在人群中肝癌的发病率一般只有P(A)=0.0004；今有一人AFP检测结果为阳性，现问该人患肝癌的可能性有多大？医用高等数学07-02-760.940.960.060.04A0.00040.9996B医用高等数学07-02-77也很高（一般LR>20就认为是高的），但P(A|B)值却不大，为什么？医用高等数学07-02-78问题1虽然此检验方法很精确。真阳性率（又称检验方法的灵敏性）P(B|A)=0.94，真阴性率（又称检验方法的特异性）P(|)=0.96两者都很高，且诊断价值

对稀有病例来讲，必须澄清一个观点：即在对稀有病例的普查中，一次检测为阳性者，实际患此病的概率并不大。对医生来讲，不能根据一次检测的结果就武断地下结论，需作进一步检验；对病人来讲，医生应做一些必要的解释工作，告诫病人一次检验的结果并不说明问题，不必太紧张，但也要认真对待，可进一步复查，并结合其它项目的检查加以确诊。医用高等数学07-02-79问题2有人认为此方法无效，不足以作出判断。医用高等数学07-02-80

也就是说，一次检验所提供的信息还不足以作出判断，怎么办？医用高等数学07-02-81检测次数0123P(C)0.00040.00930.18100.8385P()0.99960.99070.81900.1615

设C

表示被检者实际患肝癌，则以上结果可归纳如下：注我们这里讨论的是对原始人群进行普查的情况。由贝叶斯公式所得到的结论是单项、一次检查，不足为凭。要进行多次、多项的检查才能确诊，此方法的本身还是很正确的。但在临床中，并不是单单靠单项、一次检验就作出判断，如在门诊诊断中，门诊病人都会有一些相应的临床表现，医生可根据这些临床表现及检验的结果综合分析即可作出判断。因此，在门诊诊断中一般只需做一次AFP检测就可以了。医用高等数学07-02-82

设A1,A2,…,An表示各种疾病，B

表示各种临床表现，现在的问题是：在出现临床表现B

时，患某种疾病Ai(i=1,2,…,n)的可能性是多少？

由Bayes公式知(i=1,2,…,n)医用高等数学07-02-83阑尾炎的鉴别诊断

在调查的1002份阑尾炎病例中，以病理解剖结论为标准，得如下数据：A1={慢性阑尾炎}共392例A2={急性阑尾炎}共494例A3={阑尾炎穿孔}共116例医用高等数学07-02-84症候Bij慢性A1急性A2穿孔A3B1腹痛开始部位B11右下腹661711B12下腹246B13上腹152942B14脐周123826B15全腹51215B2恶心和呕吐B21恶心(－)呕吐(－)332112B22恶心(＋)呕吐(－)523928B23恶心(＋)呕吐(＋)154060B3大便B31正常867453B32不正常111325B33腹泻31322医用高等数学07-02-85症候Bij慢性A1急性A2穿孔A3B4压痛B41右下腹989161B42大于右下腹2939B5肌紧张反跳痛B51肌紧张(＋)反跳痛(＋)105792B52肌紧张(－)反跳痛(＋)37324B53肌紧张(－)反跳痛(－)53114B6体温B61≤37℃70299B6237℃～38℃275432B63≥38℃31759B7白细胞计数B71≤1070916B7210～15204128B73≥15105056医用高等数学07-02-86

表中数据来源如下：比如在392例慢性阑尾炎中，右下腹痛260例、下腹痛7例、上腹痛59例、脐周痛47例和全腹痛19例；医用高等数学07-02-87

其条件概率分别是66％、2％、15％、12％和5％。例某病人在开始上腹部疼痛后转移至下腹部疼痛，伴以呕吐、腹泻，入院体温39℃，脉搏120次/分，全腹肌紧张，有压痛、反跳痛，白细胞19.35×109/L，据此疑为阑尾炎。为采取合适的治疗，需要鉴别以下三种情况：慢性阑尾炎、急性阑尾炎、阑尾穿孔。医用高等数学07-02-88症候Bij慢性A1急性A2穿孔A3B1腹痛开始部位B11右下腹661711B12下腹246B13上腹152942B14脐周123826B15全腹51215B2恶心和呕吐B21恶心(－)呕吐(－)332112B22恶心(＋)呕吐(－)523928B23恶心(＋)呕吐(＋)154060B3大便B31正常867453B32不正常111325B33腹泻31322医用高等数学07-02-89症候Bij慢性A1急性A2穿孔A3B4压痛B41右下腹989161B42大于右下腹2939B5肌紧张反跳痛B51肌紧张(＋)反跳痛(＋)105792B52肌紧张(－)反跳痛(＋)37324B53肌紧张(－)反跳痛(－)53114B6体温B61≤37℃70299B6237℃～38℃275432B63≥38℃31759B7白细胞计数B71≤1070916B7210～15204128B73≥15105056医用高等数学07-02-90后记对该病人作阑尾切除中发现其右髂骨部及盆腔内均充满脓汁、发臭，确是阑尾穿孔、坏死。这与我们鉴别诊断的结论一致。医用高等数学07-02-91注（1）在Bayes公式中，要求Ai之间互不相容，Bi之间相互独立，这一点在实际应用中很难满足。但Bayes公式在实际应用中的效果是很不错的。医用高等数学07-02-92（2）此算法算出的值后，比较它们的值大小，即可作出判断（诊断）。因为它们具有相同的分母P(B)。（3）此方法只适合于大方向已确定，而需选定小方向的情况。医用高等数学07-02-93（4）此方法可以和计算机结合起来。一方面，通过计算机可储存大量的病案资料；另一方面，新的经过实践检验的病案不断地输入计算机，使其信息量越来越大，且与实际情况也越来越吻合，诊断也就越准确。充分利用已有信息，对未知作出推测，这就是计算机看病的原理。医用高等数学07-02-94伯努利试验(Bernoullitrials)

只有两个可能结果的试验，称为伯努利试验。医用高等数学