垂径定理“十校联赛”一等奖

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2.3垂径定理知识回顾1.什么叫圆内接四边形?顶点都在圆上的四边形叫作圆内接四边形.2.

圆内接四边形有怎样的性质?

圆内接四边形的对角互补.3.圆周角定理的推论2是什么?

直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．

在下图的⊙O中,AB是任一条弦,CD是⊙O的直径,且CD⊥AB,垂足为E.试问:

AE与BE，与，与

分别相等吗？动脑筋CDE·OABCDEOB

因为圆是轴对称图形,将⊙O沿直径CD对折,如下图,我发现AE与BE重合,

，分别与,重合,即AE=BE,

=，=从而∠AOC=∠BOC.下面我们来证明这个结论.在下图中,连接OA,OB.∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形.∵OE⊥AB，∴AE=BE,∠AOD=∠BOD.==∴由此得到垂径定理：数学符号语言：∵

CD是⊙O的直径,且CD⊥AB==∴AE=BE·OABCDE结论

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.下列图形是否具备垂径定理的条件？是否是否OEDCAB垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD

解连接OA.设OA=rcm,则OE=(r-2)cm.∵

CD⊥AB，由垂径定理得=4(cm).在Rt△AEO中,由勾股定理得OA2=OE2+AE2解得r=5.

∴

CD=2r=10(cm).即r2=(r-2)2+4·OABCDE范例分析

例1如图所示,弦AB=8cm,CD是⊙O的直径,

CD⊥AB,垂足为E,DE=2cm,求⊙O的直径CD的长.证明作直径EF⊥AB，∴

又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.∴

因此即例2证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知:如图,在⊙O中,弦AB与弦CD平行.求证：=

如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AC=8cm,AB=10cm,OD⊥BC于点D,求BD的长.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB

中，AC=8cm，AB=10cm，∴BC=6cm.又∵OD⊥BC，∴解练

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