三年高考(20222023)各地文科数学高考真题分类汇总：抛物线

1/1三年高考(2022-2023)各地文科数学高考真题分类汇总：抛物线抛物线

1.（2023全国II文9）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆

2213xypp

+=的一个焦点，则p=A．2B．3

C．4

D．8

2.（2023浙江21）如图，已知点(10)F，为抛物线2

2(0)ypxp=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记,AFGCQG△△的面积为12,SS.（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求

1

2

SS的最小值及此时点G的坐标.

3.(2023全国III文21）已知曲线C：y=2

2

x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切

线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，

5

2

)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.4．（2023新课标Ⅱ）过抛物线C：2

4yx=的焦点F，

C于点M(M

在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为A

B

．C

．D

．5．(2023北京)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线2

4yax=截得的线段长为

4，则抛物线的焦点坐标为_________．

6．（2023全国卷Ⅱ）设抛物线2

4=：Cyx的焦点为F，过F且斜率为(0)>kk的直线l与

C交于A，B两点，||8=AB．

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

7．（2023浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：2

4yx=上存在

不同的两点A，B满意PA，PB的中点均在C上．

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆2

2

14

yx+=(0x.从而

42242212

44

242222211|2|||322

221222211|||1||2|23A

ctttFGytStttttSttQGytttt

-+-??--====--+--?--?-.令2

2mt=-，则m>0，

122122213434SmSmmmm=-=-=+

++++…

当m=1

2SS

取得最小值1，此时G（2，0）.

3.解析（1）设111,,,2DtAxy?

?-

??

?

，则2112xy=.

由于y'x=，所以切线DA的斜率为1x，故11

11

2yxxt

+

=-，整理得1122+1=0.txy-

设22,Bxy，同理可得2222+1=0txy-.故直线AB的方程为2210txy-+=.所以直线AB过定点1(0,)2

.

（2）由（1）得直线AB的方程为12

ytx=+

.由2

122

ytxxy?

=+????=??，可得2210xtx--=.于是2

1212122,121xxtyytxxt+=+=++=+.

设M为线段AB的中点，则2

1,2Mtt?

?+

??

?

.由于EMAB⊥uuuuruuur，而2,2EMtt=-uuuur，ABuuur与向量(1,)t平行，所以

220ttt+-=.解得

t=0或1t=±.

当t=0时，||EMuuuur=2，所求圆的方程为2

2

542xy??+-=???；

当1t=±

时，||EM=uuuur2

2522xy??+-=??

?.

4．C【解析】由题意可知，如图60MFx∠=o

，又抛物线的定义得MFMN=，所以MNF?

为等边三角形，在三角形NFH中，2FH=，

cos60FH

NF

=o，得4NF=，所以M到NF的距离为等边三角形MNF?中NF

边上的高，易知为

2

NF=C．

5．(1,0)【解析】由题意知0a>，对于2

4yax=，当1x=

时，y=±l被抛物

线2

4yax=截得的线段长为4

，所以4=，所以1a=，所以抛物线的焦点坐标为

(1.0)．

6．【解析】(1)由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk=->．

设1221(,),(,)AyxyxB，

由2(1),4ykxyx

=-??=?得2222(24)0kxkxk-++=．2

16160k?=+>，故1222

24

kxkx++=

．所以1222

44

||||||(1)(1)xkABAFBFkx+=+=+++=．由题设知22

44

8kk+=，解得1k=-（舍去），1k=．因此l的方程为1yx=-．

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx-=--，即5yx=-+．

设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则

0022

0005,

(1)(1)16.2

yxyxx=-+???-++=

+??解得003,2xy=??=?或0011,6.xy=??=-?因此所求圆的方程为2

2

(3)(2)16xy-+-=或2

2

(11)(6)144xy-++=．

7．【解析】(1)设00(,)Pxy，211(,)4yAy，2

2

2(,)4

yBy．

由于PA，PB的中点在抛物线上，所以1y，2y为方程

2

21014

422

yxyy++=?即22

10100280yyyxy-+-=的两个不同的实数根．所以1202yyy+=．因此，PM垂直于y轴．

(2)由(1)可知1202

12

0028yyyyyxy+=??=-?所以22

21200013||384

PMyyxyx=

+-=-

，12||yy-=因此，PAB?

的面积3

2212023||||4)2PAB

SPMyyyx?=?-=-．由于2

200

14

yx+

=0(0)x，即1m>-

时，1,22x=±

从而12||ABxx-=．

由题设知||2||ABMN=

，即2(1)m+，解得7m=．

所以直线AB的方程为7yx=+．9．【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，

21

14122xkxx-

=

=-+，由于13

22

x-<<，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)-。

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

110,24

930,

42

kxykxkyk?

-++=???

?+--=??解得点Q的横坐标是

2243

2(1)

Qkkxk-++=+

由于

||PA

1

)2x+

1)k+

||PQ

=)Qxx-

=2

，