管道流动速度边界层的增量积分法

管道流动速度边界层的增量积分法

自1904年公案提出边界层理论以来，特别是冯门立即采用了平幅速度边界层的理论，并通过动态积分法引入了平幅距离层的问题，使现代水流理论更加重要，并将工程应用多样化。在传热、传质、石油、化工等众多工程领域得到广泛的应用。在石油工程方面,利用热边界层减阻是高粘液体管道输送的一个重要课题。自1995年以来,笔者一直在进行这一课题的研究,并在管道热边界层理论及其应用方面取得了系列成果。对于恒定管流,热边界层同速度边界层有着显著的差异。通过实验发现,速度边界层发展起始段很短,而热边界层发展段(入口段)的长度要大得多。因此,在考虑热边界层时,可近似认为速度边界层已充分发展达到稳定,这样在研究数学模型时,就只需要考虑能量方程即可,从而为管道热边界层理论的研究带来了方便。但这一假设是否合理呢?对于平板问题已经证明:其中:δ和δT分别为速度和热边界层厚度,Pr=μcp/λf,Pr为普朗特数。对于Pr≈1000的粘性油品,其热边界层厚度不到速度边界层厚度的十分之一。但对于管流中的速度边界层,实际上,到目前为止未见有完整的解析理论。本文就这一问题加以分析。1u3000边界层积分方程卡门于1921年用动量积分方法推出了平壁面速度边界层问题的积分关系式和边界条件,即∂∂x∫δ0ρu2xdy-ue∂∂x∫δ0ρuxdy=-δ∂p∂x-τ0(2)对于管流问题,上式是否适用,本文将做出解答。如图1所示,在边界层发展段,任意断面上的速度分布分成两部分:边界层和核心区。下面仍然采用动量积分方法来推导管流的边界层方程。在边界层中取一环形管段ABCDEFGH作为控制体,如图2所示。其流动方向上单位时间的动量方程为ABCD环形断面上流入的流量为EFGH环形断面上流出的流量为ρQEFGΗ=ρQABCD+∂ρQABCD∂xdx=∫δ0ρux2π(R-y)dy+∂∂x[∫δ0ρux2π(R-y)dy]dxBFCG断面上流入的流量为ρQBFCG=ρQEFGΗ-ρQABCD=∂∂x[∫δ0ρux2π(R-y)dy]dx通过此3个断面上的动量为ΚABCD=∫δ0ρu2x2π(R-y)dyΚEFGΗ=ΚABCD+∂ΚABCD∂xdx=∫δ0ρu2x2π(R-y)dy+∂∂x[∫δ0ρu2x2π(R-y)dy]dxΚBFCG=ρQBFCGue=ue∂∂x[∫δ0ρux2π(R-y)dy]dx作用在控制体上的表面力有3个作用面上的压力和边界上的切力:ΡABCD=p[πR2-π(R-δ)2]=p(2πRδ-πδ2)ΡEFGΗ=(p+∂p∂xdx)[πR2-π(R-δ-dδ)2]=(p+∂p∂xdx)[2πRδ+2πRdδ-2πδdδ-πδ2-π(dδ2)]ΡBFCG=(p+12∂p∂xdx)[π(R-δ)2-π(R-δ-dδ)2]=(p+12∂p∂xdx)[2π(R-δ)dδ-π(dδ)2]边界上的切力为T=2πRτ0dx忽略高阶无穷小后,其合力为∑Fx=-2πRδ∂p∂xdx-2πRτ0dx故动量方程为∂∂x[∫δ0ρu2x2π(R-y)dy]dx-ue[∫δ0ρux2π(R-y)dy]dx=-2πRδ∂p∂xdx-2πRτ0dx或∂∂x∫δ0ρu2x(1-yR)dy-ue∫δ0ρux(1-yR)dy=-δ∂p∂x-τ0(4)式中,ue为核心区中的速度,可按理想势流处理,即∂p∂x=dpdx=-ρueduedx(5)对于不可压缩流体,(4)式也可写成:∂∂x∫δ0u2x(1-yR)dy-ue∫δ0ux(1-yR)dy=ueduedxδ-τ0ρ(6)(6)式即为管流中的边界层积分方程,与卡门的动量积分方程比较后可看出,两式有细微的区别。2管流动量积分方程图1为管流中的速度边界层,对于恒定流,从连续性方程可知,各断面上的流量应相等,从图中的几何关系可以看出:管道中的总流量为核心区中的流量和边界层中的流量之和,即Q=πR2υ=π(R-δ)2ue(x)+∫0δux2π(R-y)dy(7)设层流边界层中的速度分布为二次分布:ux=a+by+cy2y=0,ux=0;y=δ,ux=ue,∂ux∂y=0(8)从(8)式可解出:ux=ue(2yδ-y2δ2)(9)将(9)式代入流量表达式(7)式,积分后可得:Q=πR2ue(1-2δ3R+δ26R2)(10)所以核心区的速度可以写成:ue=υ/(1-2δ3R+δ26R2)(11)边界切应力满足牛顿内摩擦定律,即τ0=μ∂ux∂y|y=0=2μueδ=2μυ/[δ(1-2δ3R+δ26R2)](12)将(9)、(11)和(12)代入动量积分方程(6)式,经推导后可得到:dηdX=20Re⋅(6-4η+η2)218η+η2-18η3-11η4(13)其中:η=δR,X=xD,Re=υDν,为管道雷诺数。上式关于速度边界层厚度的数值解如图3、图4所示。其近似解析解为δ/R=12.0[x/DRe-2.156(x/DRe)](14)当δ=R时,就可以求出速度边界层入口段长度为从两种解的结果可以看出:当雷诺数较小时,近似解析解比数值解稍大,在Re=1000时,两种解的结果非常接近;当Re>1000时,近似解析解比数值解稍小。若采用卡门动量积分方程进行推导,则有dηdX=10Re⋅(6-4η+η2)26η+14η2-2η3X=0,η=0(16)其近似解析解为δ/R=10.0[x/DRe-2.156(x/DRe)](17)当δ=R时,就可以求出速度边界层入口段长度为比较两种解的结果可以看出,采用本文中的管流动量积分方程比按卡门的方程计算时,前者边界层发展更快,而入口段长度更短。当D=0.15mm时,层流速度边界层入口段的最大长度为现行流体力学教材中,其层流入口段长度具有不同的表达式:从这里可以看出,这两个式子给出的值都偏大。3速度边界层厚度对于紊流,设速度分布满足普朗特公式,即ux/ue=(y/δ)1/7(19)将上式代入(7)式,按照前面同样的方法可以推得:ue=υ/(1-δ4R+δ215R2)(20)紊流时的边界切应力按布拉休斯公式计算,即将上面(19)～(21)式代入动量积分方程(6)式积分后可得:dηdX=0.3275Re1/4⋅(60-15η+4η2)5/4(97-104.2η+140η2+154.5η3)η1/4(22)上式关于速度边界层厚度的数值解如图5、图6所示。其近似解析解为δ/R=8.6(x/D)Re4000<Re≤10000(23)从图中可以看出,紊流边界层的发展比层流边界层更快,边界层厚度曲线接近为直线。其入口段长度可按下式计算:Lδ=0.11DRe(24)而现有教材中,其紊流边界层入口段长度的表达式为L=50D(25)若按卡门动量积分方程进行推导,则有:dηdX=1.4512Re1/4⋅(60-15η+4η2)5/4(420-450η+212η2)η1/4(26)4速度边界层结构方程本文给出了管道流动中速度边界层的完整的解析理论,得出如下结论:1)管流中速度边界层动量积分方程式与冯·卡门动量积分方程较为接近,但有区别。2)本文对