北京市2013届高三数学上学期第五次考试试题理北师大版

命题人

李久权北京市十一学校2013届阶段检测理科数学试卷(限时120分钟满分150分)练习时间：2012.10.26一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填涂在机读卡上.1.已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则 (B)A.MCN={4,6}B.MUN=UC.(CN)DM=UD.(CM)CN=NU U2.下列命题错误的是 (B)A.命题“若X2—3X+2=0,则X=1”的逆否命题为“若X≠1,则X2-3X+2≠0”B.若P八q为假命题，则P,q均为假命题C.对命题P:存在XeR,使得X2+X+1<。，则「P为:任意X∈R,均有X2+X+1≥0D.“X>2”是“X2-3X+2>0”的充分不必要条件3.已知函数f(X)=(X-a)(X-b)(其中a>b)的图象如下面右图所示，则函数g(X)=aX+b的图象是(A)4.在AABC中，/C=900,00<A<450，则下列各式中正确的是(D)A.SinA>CoSAB.SinB>CoSAC.SinA>CoSBD.SinB>CoSB.定义域为R的函数f(X)对任意X都有f(X)=f(4-X),且其导函数f'(X)满足(X-2)f'(X)>0，则当2<a<4时，有A.f(2a)<f(2)<f(loga)2Cf(2)<f(2a)<f(loga)2(B)B.f(2)<f(loga)<f(2a)2D.f(loga)<f(2a)<f(2)2f(X-4),X>0.若f(X)={ f1 ,c则f(2012)等于( )eX+J2—dt,X≤0I1t0ln21+e21+ln2【答案】D【解析】f(2012)=f(0)=e0+ln2=1+ln2.已知平面区域如右图所示，Z=mx+y(m>0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为( )A.LB._LC.1D.不存在20 20 2x+—,x>0.已知函数f(x)=SXX3+3,X≤0则方程f(2x2+x)=a(a>2)的根的个数不可能为f(x)=a有3个根，一负二正，当3<a时，f(X)=a有2个正根.令t=2x2+x1t≥——则8,当2<a≤3时，f(t)=a有3个t使之成立，一负二正，两个正t分别对应2个X，当负t<—1时，没有X与之对应，当负t=—1时，有1个X与之8 8对应，当负t>—1时，有2个X与之对应，所以根的个数分别为4、5、6个；当3<a时，f(t)=a有2个正根，两个正t分别对应2个X，此时根的个数为4个.所以根的个数只可能为4、5、6个.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸中相应题号的横线上.11,,.设a,b为正数，且a+b=1,则一+-的最小值是―4 ..ab.已知命题“函数f(X)=log(X2+ax+1)定义域为R”是假命题，则实数a的取值范2围是。a≤-2或a≥2.若幂函数f(X)的图象经过点A(4,2)，则它在A点处的切线方程为。X-4y+4=0.已知a=(3,2),b=(2,—1)，若λa+b与a+λb平行，则λ=-1.函数f(X)=Asin(3X+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+∙∙∙+/(2012)=∙【答案】2√2+2【解析】由图象知φ=0,①=—=-,/.fQ)=2sin%，其图象关于Q,。)x=2,χ=6对称知，T4 4f(1)+f(2)+f(3)+∙∙∙+∕(8)=0,・・・丁=8,2012=251X8+4,∙∙∙f(1)+f(2)+f(3)+…+/(2012)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)==f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin?+sin2—+sin3-+sin4-1=2石+2..对于各项均为整数的数列｛1｝,如果a+i(i=1,2,3,…)为完全平方数，则称数n i列｛α｝具有“尸性质”.不论数列｛a｝是否具有“尸性质”，如果存在与｛a｝不是同一n n n数列的｛b｝,且｛b｝同时满足下面两个条件：①b,b,b,...,b是a,a,a,...,a的一个排n n 12 3n12 3n列；②数列｛b｝具有“尸性质”，则称数列｛a｝具有“变换尸性质”.下面三个数列：①nn数列｛a｝的前n项和S=n(n2—1)；②数列1,2,3,4,5；③1,2,3,…，11.具有“尸n n3性质”的为;具有“变换尸性质”的为.【答案】①；②【解析】对于①当n≥2时，a=S—Snn n-1n,八n-L,=—(n2-1) [(n-1)2-1]=n2-n,又a=0,所以a=n2-n(n∈N*).\o"CurrentDocument"3 3 1 n所以a+i=i2(i=1,2,3,…)是完全平方数，数列｛a｝具有“P性质”；对于②，数列1,i n2,3,4,5具有“变换P性质”，数列｛b｝为3,2,1,5,4；对于③，数列1,2,3,…，n11不具有“变换P性质”，因为11,4都只有5的和才能构成完全平方数，所以数列1,2,3,…，11不具有“变换P性质”.北京市十一学校2013届阶段检测理科数学试卷一、选择题：(每小题5分，共40分，请将选择题的正确答案填涂在机读卡上).二、填空题：(每小题5分，共30分，请将填空题的正确答案填在下列题号后的横线上)9.； 10.； 11.；12.； 13.； 14..三、解答题：(本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;请将解答写在规定的区域内，在其他区域内答题无效)15.(本小题满分13分)若关于X的不等式［X-(3—a)］(X—2a)<0的解集是A,y=ln(-X2+3X-2)的定义域是B,若AUB=A,求实数a的取值范围.X兀、 ,X兀、..16.(本小题13分)来已知函数f(X)=2√3sin(-+)cos(-+-)-sin(X+兀).24 24(I)求f(X)的最小正周期;www.(II)若将f(X)的图象向右平移B个单位得到函数g(X)的图象，求函数g(X)在区间［0,兀］6上的最大值和最小值。M.（本小题满分13分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB⊥BC,OA//BC,且AB=BC=2AO=4km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出.正数数列｛〃｝的前n项和S,满足4S=(a+1〉,试求：(I)数列｛a｝的通项公n n nn n1 11式；(II)设b= ，数列的前n项的和为B，求证：B<-；(O)设C=a∙(-)n,naa n n2 nn3nn+1求数列L｝的前n项和T.nn19.(本小题满分13分)已知f(%)=%2+ax+a(a≤2,XER), g(X)=e-X,①(X)=f(X)∙g(X).(1)当a=1时，求①(%)的单调区间；(2)求g(%)在点(0,1)处的切线与直线X=1及曲线g(%)所围成的封闭图形的面积；(3)是否存在实数a，使①(%)的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分14分)定义：推数列”。已知数列^a｝中，a

n1若数列M｝满足A=A2，则称数列M｝为“平方递

n n+1 n n=2，点(a,a)在函数f(%)=2X2+2X的图像上，nn+1其中n为正整数。(1)证明：数列Ea+1｝是“平方递推数列”，且数列加(2a+1)｝为等比数列。nn(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为T，即T=(2a+1)(2a+1)…(2a+1)，nn 1求数列L)的通项及T关于n的表达式。2nn（3）记b=logT，n 2a+1nn求数列%n｝的前n项之和S，并求使S>2008的n的最小值。

n nn15.解:由—X2+3x—2〉0得l<x<2,即B=(1,2), 3 分VA∪5=A,λA⊃5,⑴若3-。(2〃，即。>1时，A=(3-Q,2Q),Y(3-a,2a)ɔ(1,2)a>l3-a≤1 .∖a≥2 6分2a≥2⑵若3-〃二2Q,即。=1时，A=Φ,不合题意; 8分(3)若3-Q>2Q,即。〈1时,A=(2〃，3-。)，∙.∙(2q,3-〃)卫(1,2),a<l:.<2a<∖ :.a<—23—Q≥211分综上，实数〃的取值范围是〃≤:或〃≥2. 13分.解：(I)∕G)=√3sinX+—+sinXI2√J =√3COSX+sinX2分=2∖1sinX+旦osX12 2(TΓʌ2sinx+—I3J√4分所以fQ)的最小正周期为2兀 5分(11)・.•将fQ)将f(x)的图象按向量a=(3,0)平移，得到函数gQ)的图象.6・•・gQ)=fIXTI6J兀+—32sinX一一I6J2sinX+—I6J10分LLi 兀兀73・・・X∈10,兀时，x+-∈-,—6L6611分・当X+g=g,即X=3时,sinX+3=1,gQ)取得最大值2. 12分6 2 3I6J3 73 口当X+—=一,即X=36 6(3\时Sin(X+-J二-1,g(X)取得最小值-1.13分.解：以O为原点，OA所在直线为X轴建立直角坐标系(如图) 1分依题意可设抛物线的方程为1X2=2py,且C(2,4).Λ22=2P∙4,λp=一.2故曲线段OC的方程为y=X2(0≤X≤2). 4分设P(X,X2)(0≤X<2)是曲线段OC上的任意一点,则∣PM∣=2+X,∣PN∣=4—X2.・・・工业园区面积S=IPM∣∙∣PN∣=(2+X)(4—X2)=8—X3—2X2+4X.2・・・S,二—3X2—4X+4,令S'=0nX=-,X=一2,1322又∙.∙0≤X<2,.∙.X=—.32当X∈[0,-)时，S'>0,S是X的增函数；2当X∈(-,2)时，S'<0,S是X的减函数.6分2 8 . 32.∙.x=—时，S取到极大值，此时∣PM∣=2+x=—,IPNI=4一x2=-3 3 9S=8X32=变X9.5(km2).39 2712分当X=0时,S=8..S=9.5(km2).max.32. .8.. 答：把工业园区规划成长为豆上也宽为W左加时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5km% 13分18.(1)由已知，得4S=Q+11(n≥2)，4S=Q+11(n≥2)nn n-1 n-1作差，得(a+a)(a-a-2)=0。n n-1 n n-1又因为｛α｝正数数列，所以a-a=2,由2S=a+1,得n n n-1 1 1a=1.∙.a=2n—1 4分1 n(II)b=——naann+11 1/1 1、= ÷÷ ⅛=—( - )(2n-1)(2n+1)22n-12n+1,八1八1 1 1所以Bn=2(I-3+3-5+1 1、1_ 1 /1+2n-1-2n+1)=2-2(2n+1)<2 9分(∏DC=(2n-1)∙(1)n,S=1-竺1n 3n 3n14分ιg.⑴当q=1吐中⑶=(/十五十。］，中十初.当中(力>CBtClMr<1;当中(工)M附,工>喽工MCL.•・中⑺的单调超增区间为S，单调递减区间为:SG，⅛+∞) 3分(2)切线的斜率为k=g'(0)=-e-XI =-1,・•・切线方程为y=-x+1.x=0所求封闭图形面积为S=J1[e-χ-(-x+1)]dx=J1(e-x+X-1)dx=(-e-X+—x2-X)|1=』一，.0 0 2 02e6分(3)①'(X)=(2X+a)e-X-e-X(X2+ax+a)=e-X[-X2+(2-a)x],令①'(x)=0,得x=0或x=2-a.列表如下：X(一8,0)0(0,2—a)2-a(2—a,+∞)①'(X)0+0①(X)\极小/极大\由表可知，①(X) =①(2—a)=(4—a)ea-2.极大10分设μ(a)=(4-a)ea-2,μ'(a)=(3-a)ea-2>0,・•・μ(a)在(-∞,2)上是增函数，・•・μ(a)≤μ(2)=2<3，即(4-a)ea-2≠3,.∙.不存在实数