高中数学立体几何与空间向量真题(解析版)

高中数学专题16立体几何与空间向量真题1.如图，正方体--S13-5-5.-的一个截面经过顶点A,C及棱EF上一点K且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则U的值为.【答案】芒【解析】曲二二截面与FG交于J.=^ABdP十妆北邛+^ASJC=：+：花丄==解得"芋"予舍去）2—5—2—5—L!>/a-i2.设点P到平面二的距离为3,点Q在平面二上，使得直线PQ与二所成角不小于30°且不大于60°,则这样的点Q所构成的区域的面积为.【答案】⑺【解析】设点P在平面二上的射影为O•由条件知，壬仁'y即OQW[1,3]，故所求的区域面积为丁丁-厂二".3•在正三棱锥上：中，二二…/二二过AB的平面二将其体积平分.则棱二与平面二所成角的余弦值为【答案】3：【答案】3：岳1D【解析】设©〜■「的中点分別为L•叮，则易证平面ABM即为平面忆由平行四边形的性质知UH二-二心，所以丄叮二-JC:.：-2?C:,,<5KM=^JAM--AK"=—又直线PC在平面「「上的射影为直线MK,由得KM2■+KM2■+MC2-KC22KM■MCcos^lKMC因此，棱PC与平面忆所成角的余弦值为j故答案为:3^5故答案为:3^51D4.设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足ZABC=90°,M为AP的中点.若AB=1,AC=2,AP=J^，贝二面角M-BC-A的大小为【解析】由厶4乳二「二知AC为底面圆的直径•如图所示，设底面中心为0.P-—iJ-—iJII于是，平面ABC.故应。二2虫芒二1n户。二-JAP--AO2二'1.设H为M在底面上的射影.则H为A0的中点.在底面中作H覚于点K.由三垂线定理知.从而，二炸三为二面角M-BC-A的平面角.由打m二肪二二，结合壬［一百得:兰二二二懑二三二公s二三故二面角M-BC-A的大小为覚二二二5•四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点•则异面直线MN与PC之间的距离为.【答案】F【解析】如图，设底面对角线AC与BD交于点0,过点C作直线MN的垂线，与MN交于点H.由于P0为底面的垂线，故P0丄CH•又AC丄CH,于是，CH与平面P0C垂直•从而，CH丄PC.因此，CH为直线MN与PC的公垂线段.注意到，葉二丁=亍故异面直线MN与PC之间的距离为亍.6.已知正三棱锥P—人月亡底面边长为1,高为则其内切球半径为.【答案】F【解析】如图，设球心°在平面沈与平面4貯内的射影分别为乩-丫，边-再的中点为.'叮，内切球半径为二则m、耳分别三点共线，，卅】=汀注=三，且OH=OK=rtPO=PH-OH==—AB==叔H7F护=|二+2=—.E7•设同底的两个正三棱锥?---3■:--J.内接于同一个球.若正三棱锥--.--3■:的侧面与底面所成的角为451则正三棱锥Q-磁的侧面与底面所成角的正切值是.【答案】4【解析】如图6,联结胚.则PQ_平歸旦，垂足耳为正3一£1的中心，且胚过球心C.R6联结嘿并延长与砧交于点*则君为边W的中点，且匚叮—乜.易知，厶丁叮土二门啓分别为正三棱锥正三棱锥—宜的侧面与底面所成二面角的平面角.则"MH=4ZPH=MH=討耳.由丄K二NJaH-迭二防n山护二弘冃-QHnQH二1AH二4丽甘.故t初乂网甘二生二4.8.在四面体AECD中，已知MDE二二上⑦』二自0為AD—BD-3?CD-2.则四面体FECD的外接球的半径为.【答案】“土【解析】易知,m为正三角形，且CA=CB.

如图，设P、M分别为AB、CD的中点，联结PD、PC.则平面一牯&—平面PDC.设丄4器的外心为N,四面体ABCD的外接球的球心为0.则0皿丄CDrON丄PD.可求得心竺:P=二.—由题意知、丘.二在中,由余弦定理得=:于一=2==仁又因为D、M、O、N四点在以DO为直径的圆上sinZCDP故外接球的体积「二亍仝》=9.已知正三棱柱-一三-二_三二的9条棱长都相等，F是边二_的中点，二面角则.【答案】于【解析】解法1如图，以砧所在直线为〔轴、线段砧的中点为&原点、&厂所在直线为■•轴建立空间直角坐标系.

Goy4.Bsina-—设正三棱柱的棱长为2.贝归、-.；』□'八-T'_故甄二厂21=茅二□二-丄门：尹二：--.^J.--'.设分别与平面？丄』、平面乞垂直的向量为T二二所以，Goy4.Bsina-—设正三棱柱的棱长为2.贝归、-.；』□'八-T'_故甄二厂21=茅二□二-丄门：尹二：--.^J.--'.设分别与平面？丄』、平面乞垂直的向量为T二二所以，.T1：=.T::lGSCl卩、..E='-.2X2“沁=lCSCl=—.因此,解法2设丸E与G交于点。.则兀-平面店殳-L-.又丄_.-i5._,贝y■>£._—平面P心.过点°在平面"一二上作'"--丄_-°,垂足为匚，联结=_匚.则三□-匚''为二面角“1-4-_*-亠的平面角.设丄丄_二二易求得?5=?-4._=X5；AC-牡二yG二在史」"疋中，丄_&又5.C=•-.［，则M「F5则二一「匚二二匚e二三乂二—亍：二匚、bn・BP-—工丄+V3yi■+zL=0：111・bap-—工士*V3y3-z2=9.由此可设f=二匚：.；』：：=」：・„.「.如图.？'-="--_*P-4•一—故曲“血吗加二器二乎1.四面体P-ABC,==晶芒^=宜世二屈!PC=AB=彳帀,则该四面体外接球的半径为【答案】'飞【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a,b,c,c2+b2=1-0则护十N二呂斗代+畀+*=12,所以四面体外接球的半径为a24r2=62•四面体ABCD中，有一条棱长为3,其余五条棱长皆为2,则其外接球的半径为.【答案】【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心0在DH上，因三工;覚,所以AE=DE，于是ED为AD的中垂线是，顒球心0是DH,EF的交点，且是等腰AEAD的垂心，记球半径为「由厶DOF〜△EAF,得二壬".而-U—-匚一£=_£二=一心―丄二=二,所以而-U—-匚一£=_£二=一心―丄二=二,所以r=3.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4丄平面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=AB,E.F分别为PD、BC的中点，则二面角E-FD-A的正切值为.【答案】—【解析】如图，作EH丄AD于H,连HF.由PA丄面ABCD,知PA丄AD,EH〃PA,EH丄ABCD.作HG丄DF于G,连EG,贝VEG丄FD,ZEGH为二面角E_FD_A的平面角.^ABCD为正方形，E、F分别为PD、BC的中点，:.H为AD中点，FH丄AD.设PA=AB=2，贝=-,FH=2,HD=4,.面角E-FD-A的正切值为144.已知正四面体内切球的半径是1,则该正四面体的体积为【答案】正了【解析】设正四面体的棱长为门.则该正四面体的体积为汽亍u：從亍,全面积为寸JX匚，所以才址F乂圧乂】乂：二?XF次丁X£■•；，解得〔二从而正四面体的体积为故答案为：A-心5•正方体AC】棱长是1,点E、F是线段DD],BC】上的动点，则三棱锥E—AA】F体积为【答案】【解析】因为F是BC1上的动点，所以在正方体中有弓「面也3,利用等体积转化有=^F-AAr£=1越-££1占=占总鼻1占顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB丄OB,垂足为B,OH丄HB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点，则当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长为.【解析】法一：AB丄OB,=PB丄AB^AB丄面POB,=面PAB丄面POB.OH丄PB,=OH丄面PAB,=OH丄HC,OH丄PC,又，PC丄OC,=PC丄面OCH.=PC是三棱锥P-OCH的高.PC=OC=2.而AOCH的面积在石三=Hl=：时取得最大值（斜边=2的直角三角形）.当卅二、-.2时，由池八、二,知zOPB=30°,0E=POtan30:=—法二：由C为PA中点，故而'■:--rrz-：■:■-rc-：=T7=77^戶‘-="?二，.记？C=C-.-1=2-,2=P.j二tGE=u贝卩;2三=二齐7二um=十耳七二-丄忆,sinZa1TOC\o"1-5"\h\z.人—9in2n甲_zcngSii[£+-r口_口/曰二_13-|-[?092£[・•.令，得m'3-|-[?092£[=>cosa-—OF-—匸'5：故答案为：宁如图，在正三棱柱-一_二；中，AB=2,二_二二〉了，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为.

ClCl【答案】—2【解析】由正三棱锥--牯［可得丄丸—底面ABC,所以丄丄_—AB,-丄丄_—AC.在Rt^ADF中，•如图①，把底面ABC与侧面忙匚-L_在同一个平面内展开，展开图中只有当D、E、F三点在同一条直线上时，DE+EF取得最小值.如图②，在AADF中，工4扌二貯-沱二TT,由余弦定理可得•所以ADEF周长的最小值为、了-二B图①B图①在边长为1的长方体.-三二-d：二内部有一小球，该小球与正方体的对角线段-二相切，贝9小球半径的最大值=•i—v'E【答案】【解析】当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点二的三个面相切.以二为原点，mh二匸分别为X、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设A（0,1,1），匚（1,0，0），小球圆心P（r，r，r），则P至卜匚_的距离U=亍_二'一="'.故答案为:正方体毗D冲，e为AB的中点,F为血的中点.异面直线EF与肚丄所成角的余弦值是【答案】二【解析】设正方体棱长为1，以DA为x轴，DC为y轴，二二为z轴建立空间直角坐标系，则皿q故有二=二.所以加掳二寺盏二故答案为：--在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值【答案】智二一'•.壬【解析】设内接圆柱底面半径为址二〔:,则高位匚比，那么全面积为二口］-XIRCCSC=2兀苦（"】1%*sin2a）=go-sIx-^2sui2,a）=+阪in（2a-弔）］＜Tifi3（1+VS］.其中n芒=二，等号成立的条件是匸二£--.丄丄故最大值为丰―'壬.故答案为:冷、:_一''壬已知空间四点二三二满足二三一二丁-二一二二一-二，且-二=一「=-二:=--；是三棱锥二-m的外接球上的一个动点，则点Q到平面円口?的最大距离是【答案】【答案】【解析】将三棱锥」-云二^补全为正方体，则两者的外接球相同.球心就是正方体的中心，记为°,半径为正方体对角线的一半，即为1.在正方体里，可求得点匚到平面覚二的距离为贝y点$到平面覚二的最大距离是」—寸二宁.在正四核锥一曲仞中，已知二面角上-SE-D的正弦值火，则异面直线期与毗所成的角为.【答案】匚■丁【解析】如图，设Q范的交点为在％上的射影为匚则竝一淀.A又因为疋—面労二，因此疋—百，所以茁—面aEC，贝则疋_百.因此3弐即为二面角H-灯-二的平面角，从而口工=77=y.设再二i；』^.4二?，贝貝匚二〒成.Xi在_J去中，「檻二二圧二孔严一三由此得■，因此，，解得I：二■■.上4：三；=Er从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线Ft与孑［所成的角为半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切•它们都内切于一个大球，则大球的半径【答案】14【解析】设四个球的球心分别为A、B、C、D,则AB=BC=CA=12,DA=DB=DC=13,即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X,半径为r.,则由对称性可知DX—平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知0A=4^?OD=yDA^-OA^二11.设OX=x,贝貝工=C-X:一匕丄=、-.■：'：-由于球A内切于球X,所以AX=r-6即一止=「一&①又DX=OD-OX=ll-x,且由球D内切于球X可知DX=r-7于是---T二丁一?②从①②两式可解得7=4,?'=14即大球的半径为14.故答案为：14一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为.【答案】2【解析】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，所