常熟理工学院概率论及数理统计试题库部分答案

-.z.一、选择题1-5DDDDD6-10ABBBB11-15ADCCA16-20BAA(C/D)B21-25AAAAA26-30DCDCC31-35ABCBC36-40CCDCD41-45CCDAC46-50BADBA51-55BCABB56-60CABAB61-65CCBAB66-70DCCCB71-75BDBBB76-78AAC三、解答题1、设两两相互独立的三事件满足条件：，且已知，求.解：，则，其中舍去，因为.2、设事件与相互独立，两事件中只有发生及只有发生的概率都是，试求及.解：由已知条件知：则解得3、一口袋中有6个红球及4个白球。每次从这袋中任取一球，取后放回，设每次取球时各个球被取到的概率相同。求：（1）前两次均取得红球的概率；（2）取了次后，第次才取得红球的概率。解：（1）记A={前两次均取得红球}，（2）记B={取了次后，第次才取得红球}，4、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为.（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.解：（1）设，，，.则（2）５、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4，0.5，0.7，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2，若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6，若三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？解：设{甲炮射中飞机}，{乙炮射中飞机}，{丙炮射中飞机}，{一门炮射中飞机}，{两门炮射中飞机}，{三门炮射中飞机}，{飞机坠毁}，则由题意可知事件相互独立，故故由全概率公式可得：6、已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.解：设为被查后认为是合格品的事件，为抽查的产品为合格品的事件.，7、*厂用卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱。现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。解：考虑成从10个纸箱中取3箱这样一个模型，设={第i次取道民用口罩}，i=1，2，3。则8、设有来自三个地区的各名，名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为份，份和份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解：设事件表示报名表是个考区的,；事件表示第次抽到的报名表是女生表,；则有(1)由全概率公式可知，先抽到的一份是女生表的概率为(2)所求事件的概率为先考虑求解，依题意可知，抽签与顺序无关，则有，由全概率公式可知：因为；则由全概率公式可知：故所求事件的概率为：9、玻璃杯成箱出售，每箱只，假设各箱含只残次品的概率相应为，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：令表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，表示箱中恰有件残次品,由题意可得：(1)由全概率公式可知，顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为：(2)由贝叶斯公式知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率为：10、设有两箱同类零件，第一箱内装件，其中件是一等品；第二箱内装件，其中件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求(1)现取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解:(1)记表示在第次中取到一等品,表示挑到第箱.则有(2)11、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是.若坐火车来迟到的概率是；坐船来迟到的概率是；坐汽车来迟到的概率是；坐飞机来，则不会迟到.实际上他迟到了，推测他坐火车来的可能性的大小？解：设表示朋友坐火车来，表示朋友坐船来，表示朋友坐汽车来，表示朋友坐飞机来；表示朋友迟到了.朋友坐飞机迟到的可能性为.12、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束．假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望．解：设表示比赛结束时的比赛场数，则的可能取值为3，4，5．其分布律为；；；故，．13、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数的分布律.解:的可能取值为从而的分布律为:*012P14、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为，乙的命中率为，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求和的联合概率分布.解：由题意知：，因为和相互独立，则从而随机变量和的联合分布律为：01204/252/251/10018/254/251/5024/252/251/10015、袋中有只白球，只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量和：；求：(1)随机变量的联合概率分布；(2)与的边缘分布.解：(1)由题意可知：的可能取值为0,1；的可能取值为0,1.从而随机变量的联合概率分布为：*Y0103/103/1013/101/10(2)因为从而的边缘分布律为：*01P…

因为从而的边缘分布律为：Y01P16、*射手每次打靶能命中的概率为，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为，后两次中靶数为,求（1）的分布律；（2）关于和的边缘分布律解：(1)由题意的所有可能取值为0，1，2，3，的所有可能取值为0，1，2.,,,,,,,,,,,故的联合分布律为：012(2)和的边缘分布律分别为：012317、设随机变量的概率密度为，试求（1）系数;（2）方差.解：(1)因为，所以，即(2),因而，.18、设随机变量的分布函数为求：(1)确定常数和；（2）的概率密度函数解：（1）因是连续函数，故，即，解得（2）由可知，19、设二维随机变量的联合概率密度为求（1）的值；（2）解：（1）(2)20、*工厂生产的一种设备的使用寿命（年）服从指数分布，其密度函数为。工厂规定，设备在售出一年之内损坏可以调换，若售出一台可获利100元，调换一台设备需花费300远，试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。解：设Y={厂方售出一台设备净获利}，则Y的可能取值为100，-200。，故，21、*种型号的器件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度。现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取4只，问其中至少有一只寿命大于2000小时的概率是多少？解：设4只器件中寿命大于1000小时的器件个数为,则，且其中故22、设随机变量的概率密度为.求的概率密度.解：的分布函数为：当时，，当时，故的概率密度函数为：23、设随机变量服从上的均匀分布，求方程有实根的概率.解：依题意可知，，则的概率密度为：若要使得方程有实根，则有：，即；解得或故方程有实根的概率为：24、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径服从上的均匀分布，则求横截面积的数学期望和方差，其中解:由题意可得,直径的概率密度为:则而横截面积故25、设随机变量服从正态分布，求随机变量函数的密度函数。解：服从为偶函数，即26、设*种药品的有效期间以天计，其概率密度为求：(1)的分布函数；(2)至少有天有效期的概率.解：(1)当时，当时，则(2)此题错误27、设随机变量服从均匀分布，求的概率密度.解：的反函数为，且当即时，故的概率密度为：28、设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度．解：函数严格单调，反函数为，则29、设二维随机变量的概率密度为，求.解：在的区域上作直线，并记，则=====30、设随机变量的联合概率密度函数为试求(1)的分布函数；(2)的边缘密度函数.解：(1)当时，当时，在其他情况下，此处以下错误从而的分布函数为(2)当时，在其他情况下，从而的边缘密度函数为：31、设随机变量的联合概率密度函数为试求(1)和的边缘密度函数；(2).解：(1)当时，在其他情况下，从而的边缘密度函数为：当时，在其他情况下，从而的边缘密度函数为：(2)32、设二维连续型随机变量的概率密度为，（1）确定常数；（2）讨论的独立性．解：（1）因为，所以．（2）因为；同理可得．显然对任意的，恒有，故随机变量相互独立．33、设二维随机变量的联合密度函数,求：(1)的分布函数；(2)关于的边缘分布函数.解：(1)即有（2）当时，当时，的边缘分布密度函数当时，当时，的边缘分布函数34、设二维连续型随机向量的概率密度为求：(1)的分布函数；(2)关于的边缘概率密度.解：(1)(2)35、设二维随机变量的联合概率密度为求（1）的值；（2）.解：（1）因故（2）36、设(*,Y)的联合分布律为试求：（1）边缘分布Y的分布律；（2）；（3）.－112解：（1）边缘分布Y的分布律为：（2）(3),因,故37、从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求(1)的分布律；(2)的期望.解：(1)由题意可知：则从而的分布律为：0123

(2)38、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量*,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算*和Y的分布律和数学期望.解：的可能取值为0，1，2，，，的分布列为*012P0.60.3类似可求的分布列为Y321P0.60.3所以，又因为39、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立,以*表示同时需要调整的部件数,试求的数学期望和方差.解：设易见有四个可能值0，1，2，3。由于独立，可见所以40、设随机变量的概率密度，试求：（1）概率；（2）数学期望。解：（1）=1-=1-=1-1=0（2）41、设随机变量的概率密度为已知，求系数.解：由概率密度的性质而所以有(1)又因所以有(2)因故而所以(3)解由(1),(2),(3)所组成的方程组，得42、设的概率密度为试求：（1）的分布函数；（2）数学期望。解：（1）当时，；当时，；当时，.综上，的分布函数（2）43、设随机变量代表*生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望，标准差．试用切比雪夫不等式估计概率．解：因为=，而，由切比雪夫不等式，44、设是总体的一个样本，若，样本方差，试求.解：因是总体的一个样本，且，则由题意可知故因，，故45、已知总体服从(二点分布)，为总体的样本，试求未知参数的最大似然估计．解：的分布律,似然函数令解得,故最大似然估计量46、设总体*服从正态分布，其中是末知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，试求的极大似然估计量。解：由题意，的概率密度函数为：样本的似然函数为：所以对数似然函数为：求导得似然方程为：，解得故的极大似然估计量为：47、设总体的概率密度为其中是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，求（1）的矩阵估计量；（2）判断是否为的无偏估计量.(3)求的极大似然估计量。解：（1）因总体期望值的矩估计为样本平均值,则,从而的矩估计量为：.（２）因故不是的无偏估计量.（３）lnＬ（）=得到48、设服从正态分布，和均未知参数，试求和的最大似然估计量.解：的概率密度为：似然函数为：对数似然函数为：令因此得的最大似然估计量为：49、设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试求的最大似然估计量及矩估计量.解：(1)依题意可知,总体,其分布律为则似然函数为:对数似然函数为:似然方程为:解得为的最大似然估计量.(2)因为总体,则故=为的矩估计量.50、设总体的概率密度为，是取自总体的简单随机样本.求：(1)的矩估计量；(2)的方差.解：(1)记，令，则的矩估计量为：.(2)因为所以的方差为：51、设总体的概率分布列为：0123p22p(1-p)p21-2p其中()是未知参数.利用总体的如下样本值：1，3，0，2，3，3，1，3求(1)p的矩估计值；(2)p的极大似然估计值.解：(1)，令，得的矩估计为.(2)似然函数为令，.由，故舍去所以的极大似然估计值为52、设总体的概率密度为其中是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，求(1)的矩估计量；(2)的最大似然估计量.解：(1)令则的矩估计量为：(2)样本的似然函数为：对数似然函数为：求导得似然方程为：解得故的最大似然估计量为：53、设总体，为总体的一个样本，并且已知样本的平均值，求的置信水平为的置信区间．（、）解：的置信水平为0.95的置信区间为所以的置信水平为的置信区间为54、有一大批糖果.现从中随机地抽取16袋，得重量(以g计)的样本平均值，样本标准差，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.解：由题意可知，.，=503,.均值的的置信水平为0.95的置信区间置信区间为，即．四、综合题1、已知求解，故2、设是两个事件，又设且，证明：.证明：3、假设,试证.证明：4、已知事件相互独立，证明：与相互独立.证明：＝；从而和相互独立.5、设是任意二事件，其中，证明：是与独立的充分必要条件.证明：，即与独立.6、设事件A、B满足，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。解：（反证法）假设A与B独立和A与B互不相容同时成立。由“A与B独立”可得，。（1）又“A与B互不相容”可得，。（2）由式（1）（2）得，。而该式与题设中的“”矛盾！故，A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。7、证明：解：因,故8、*船只运输*种物品损坏2%(记为),10%(记为),90%(记为)的概率分别为,,,现从中随机地独立地取3件,发现这3件都是好的(记为).试分别求,,(设物品件数很多,取出一件以后不影响取后一件的概率)解：则，9、假设*山城今天下雨的概率是，不下雨的概率是；天气预报准确的概率是，不准确的概率是；王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若天气预报没有雨，王先生带伞的概率是；试求：(1)*天天气预报下雨的概率？(2)王先生*天带伞外出的概率？(3)*天邻居看到王先生带伞外出，求预报天气下雨的概率？解：令A={今天天气预报下雨}，={今天天气真实下雨}，={王先生今天带伞外出}(1),其中(2),其中(3)={邻居看到王先生带伞外出，今天天气下雨}10、设随机变量的概率密度为令表示对的次独立重复观测中事件发生的次数，求.解：Y服从二项分布，参数为故，11、设2000件产品中有40件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数为随机变量．（1）写出随机变量的概率分布律的表达式；（2）按泊松分布近似计算概率。解.(1)(2),12、设随机变量服从标准正态分布，求的概率密度.解则Y的概率密度为13、设，两个随机变量，是相互独立且同分布，求随机变量的分布律.解：（1）的所有可能取值为0，1，且01故的分布律为：（2）的所有可能取值为0，1，2，且012故的分布律为：14、设二维随机变量是区域内的均匀分布，．试写出联合概率密度函数，并确定是否独立？是否相关？解：的联合概率密度，由边缘概率密度的定义，,即，同理，因为，所以不独立．又因为，同理，，所以，，即不相关．15、设二维随机变量的联合概率密度为求（1）的值；（2）两个边缘概率密度函数。解：（1）由可得，（2）两个边缘概率密度函数分别为16、设随机向量的联合概率密度函数为试求：(1)常数；(2)和的边缘密度函数；（３）证明与相互独立.解：(1)由规*性可知:即得(2)当时，在其他情况下，从而的边缘密度函数为：当时，在其他情况下，从而的边缘密度函数为：(3)因为对任意;所以与相互独立.17、已知随机变量的概率密度为，随机变量的概率密度，且相互独立．试求（1）、的联合密度函数；（2）；（３）数学期望Ｅ（）。解：（1）因为相互独立，故（2）（3）18、设二维随机变量的联合密度函数，求（1）的边缘密度函数；（2）.解：(1)当时，，故当时，，故(2).19、一个电子仪器由两个部件构成，以和分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知和的联合分布函数为：求联合概率密度；（2）求关于*和Y的边缘概率密度；（3）判别和是否独立？解:(1)由题意可知:的联合概率密度为:（2）因为对任意;所以和相互独立.20、已知随机变量的分布律为和，且,求的联合分布律。解:由,从而由得，\再由可得联合分布律为21、设，试证明服从标准正态分布.证明：的分布函数为：令得由此知服从22、设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，试证明仍服从泊松分布，参数为6.解参见教材第93页例23、设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布，试证明随机变量与相互独立.证：由题设知01012；；；；；.所以与相互独立.24、设随机变量的概率密度函数为已知对独立重复观测3次，事件至少发生一次的概率为。（1）求常数。（2）为了使事件至少发生一次的概率超过0.95，则对至少要作多少次独立重复观测。（）解令对独立重复观测3次中事件A发生的次数为Y，易知,其中(1)，解得(2)令对独立重复观测n次中事件A发生的次数为Z,其中,故至少要作11次独立重复观测25、设连续型随机变量的分布函数为，试求（1）常数；（2）的概率密度；（