第一章解三角形

成都市第三十七中学“行知课堂”教案设计PAGEPAGE4第一章：解三角形§1.1.1正弦定理（第一课时）授课教师:张怀忠【教学目标】（一）知识与技能1.掌握正弦定理的推导方法及推导过程；2.会利用正弦定理解斜三角形；3.能迅速准确分析“已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形”问题的解的个数。（二）过程与方法通过自主探究与小组合作学习理解向量在数学学习中的工具性及逐步建立方程与分类解决问题的数学思想。（三）情感态度与价值观1.培养学生自学能力和观察、分析问题的能力；2.培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。【教学重点】1.正弦定理的证明；2.正弦定理的应用（解斜三角形）。【教学难点】1.正弦定理的证明方法及证明过程；2.用正弦定理解“已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形”时解的个数的探究。【教具教法】1.多媒体，投影仪；2.自主学习，合作探究，讲授法。【教学过程】一、知——创设情境，生成问题我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？在Rt△ABC中，C是直角，所对的斜边c是最大的边，根据正弦函数的定义：所以又sinC=1，所以那么，对于一般的三角形，以上关系式是否依然成立呢？二、行——自主学习，展示成果（一）阅读教材P2—3，掌握教材中正弦定理的证明方法并解决教材P3“探究”中提出的问题。（二）请同学展示在网络或教辅资料上搜索出的正弦定理的其他证明方法。证法2：如图，作△ABC的外接圆O，连接CO并延长交圆O于A1点，设A1CAAAA1BCO•abc同理可得：，于是：，钝角三角形同理易证。证法3：在锐角△ABC中，设是垂直于BC的单位向量，则ACBabc与的夹角为，与的夹角为。ACBabc又，所以即所以csinB=bsinC，即。同理可证。当△ABC为钝角三角形时同理可证得。三、行知——合作研讨，探究问题讨论：利用正弦定理，我们可以解决哪些解斜三角形的问题？（阅读教材P3）已知三角形的任意两角与一边，求其余的边、角；已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其余的边、角。1.自学教材P3例题1变式：在中，c=10，C=450,A=300,解此三角形。解：B＝1800－（A+C）=10502.自学教材P4例题2以下三个变式题由第1学习小组完成变式1，由第2学习小组完成变式2，由第3学习小组完成变式3（1）第4学习小组完成变式3（2）,5分钟后小组互评。变式1：（2010北京卷10题）在△ABC中，若b=1，，，则a=______。解：由正弦定理得：所以，，所以a=b=1。变式2：在中，A=450,a=2，c＝，求B与C。解：由正弦定理得：c>a，所以C=600或1200①当C=600时，B=750，②当C=1200时，B=150。变式3：(1)已知中，a=1，b=，A=1500，求B。（无解）(2)已知中，a=1，b=3，A=300，求B。（无解）四、行1——课外提升，归纳总结(一)思考：同样是已知任意两边与其中一边的对角解三角形，解的个数为什么却各不相同呢？课后阅读教材P8的探究与发现：“解三角形的进一步讨论”，小组合作解决此问题。(二)正弦定理的证明方法；(几何法，向量法)(三)用正弦定理解斜三角形的两种类型；1.已知三角形的任意两角与一边，求其余的边、角；2.已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其余的边、角。(四)已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形时解的情况；（常用大边对大角，小边对小角的边角关系并结合内角和定理判断）(五)本节课所用到的数学思想和方法。（向量法，转化思想，方程思想，分类讨论思想）五、行2——课后练习，拓展知能(一)教材P4练习：1、2题(二)教材P10习题1.1（A）1、2题(三)新知预学探究：对正弦定理作适当变形，它还能用于解决一些什么问题？完成下列题目。1.在中，，则三角形的形状为（C）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2.在中，若，则是（D）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3.已知中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若⊥且acosB+bcosA=csinC，求B的大小。（）(四)2010高考题集锦1.(2010湖北卷3题)在△ABC中，a=15，b=10，A=600，则cosB=（A）A．B.C.D.2.（2010广东卷13题）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1，，A+C=2B，则sinA=______。解：由A+C=2B得B=600，所以3.（2010山东卷15题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别