金融工程-习题-第二部分-答案

《金融工程与风险管理》习题第二部分假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：第二天收盘时的预期价格，第二天收盘时股价的标准差，在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。由于在本题中，S＝50，＝0.16,=0.30,t=1/365=0.00274.因此，S/50(0.160.00274,0.30.002740.5)=(0.0004,0.0157)S(0.022,0.785)因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.960.785至50.022+1.960.785,即48.48元至51.56元之间。2.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为1和2，方差率分别为12和22。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？（1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关；（2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为。（1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为：X2的概率分布为：根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为：这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为的普通布朗运动。（2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为：如果都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为：这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为+的普通布朗运动。3．假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25,因此，这样，欧式看跌期权价格为，4．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有：由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为：同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有：可见，，看涨期权和看跌期权平价公式成立。5．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65可见，显然，该美式期权是不应提早执行的。红利的现值为：该期权可以用欧式期权定价公式定价：S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184因此，看涨期权价格为：6．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：42Δ-3=38Δ得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：28.5e-0.08×0.08333=28.31元。这意味着：-c+40Δ=28.31c=40×0.75-28.31=1.69元。如何理解二叉树数值定价方法？二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时运用风险中性定价原理获得每个结点的期权价值，从而为期权定价。其中，模型中的隐含概率是风险中性世界中的概率。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯定价偏微分方程。一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10％，波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。并应用控制方差技术对这一估计进行修正。△tudp1-p看跌期权0.08331.09050.91700.52660.47342.71运用二叉树方法得到欧式看跌期权为2.62美元，由布莱克——舒尔斯公式计算可得，因此美式看跌期权的更优估计值为美元。Ateachnode:Uppervalue=UnderlyingAssetPriceLowervalue=OptionPriceValuesinredarearesultofearlyexercise.Strikeprice=50Discountfactorperstep=0.9917Timestep,dt=0.0833years,30.42daysGrowthfactorperstep,a=1.0084Probabilityofupmove,p=0.5266Upstepsize,u=1.090564.83403Downstepsize,d=0.9170059.4555054.5231654.523160.914154050502.7072991.94726645.8520845.852084.7499414.14792442.048267.95174338.5611.44NodeTime:0.00000.08330.16670.2500一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10％，指数红利率为每年4％，波动率为每年25％。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图，为期权定价。△tudp1-p期权价格0.04171.05240.95020.51180.488219.66Ateachnode:Uppervalue=UnderlyingAssetPriceLowervalue=OptionPriceValuesinredarearesultofearlyexercise.Strikeprice=500Discountfactorperstep=0.9958Timestep,dt=0.0417years,15.21daysGrowthfactorperstep,a=1.0025607.0929Probabilityofupmove,p=0.5118107.0929Upstepsize,u=1.0524576.8896Downstepsize,d=0.950278.00789548.1888548.188851.6959548.18884520.916520.91632.4312324.5585849549549519.6292712.515840470.3733470.37336.3784710446.9719446.971900424.73470403.60380NodeTime:0.00000.04170.08330.12500.1667如何理解蒙特卡罗模拟方法？其主要优缺点是什么？蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。有限差分方法的主要特点是什么？有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。12、一个无红利股票的美式看涨期权还有四个月到期，执行价为21美元，股票现价为20美元，无风险利率为10％，波动率为30％。运用显性有限差分法为该期权定价。股票价格区间为4美元，时间区间为1个月。根据题意，，，股票价格（美元）43到期时间210400.000.000.000.000.00360.000.000.000.000.00320.010.000.000.000.00280.070.040.020.000.00240.380.300.210.110.00201.561.441.311.171.00165.005.005.005.005.00129.009.009.009.009.00813.0013.0013.0013.0013.00417.0017.0017.0017.0017.00021.0021.0021.0021.0021.0013、某种不支付股息股票价格的年波动率为25%，市场无风险利率为10%，请计算该股票6个月期处于平价状态的欧式看涨期权的Delta值。在本题中，S=X,r=0.1,σ=0.25,T-t=0.5,因此，N(d1)=0.64。该期权的Delta值为0.64。14、某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权，假设现在日元的汇率为1日元=0.80美分，期权的协议价格为0.81美分，美国和日本的无风险利率分别为8%和5%，日元的年波动率为15%，请计算该期权的Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho值，并解释其含义。在本题中，S=0.80,X=0.81,r=0.08,rf=0.05,T-t=0.5833一份看涨期权的Delta值为：由于因此，一份看涨期权的Gamma值为：一份看涨期权的Vega值为：一份看涨期权的Theta值为：一份看涨期权的Rho值为：15、某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合：种类头寸期权的Delta期权的Gamma期权的Vega看涨―10000.502.21.8看涨―5000.800.60.2看跌―2000―0.401.30.7看涨―5000.701.81.4现有一种可交易期权,其Delta值为0.6，Gamma值为1.5，Vega值为0.8，请问：为使该组合处于Gamma和Delta中性状态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？为使该组合处于Vega和Delta中性状态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？该组合的Delta值为：-1000×0.50-500×0.80-2000×（-0.40）-500×0.70=-450该组合的Gamma值为：-1000×2.2-500×0.6-2000×1.3-500×1.8=-6000该组合的Vega值为：-1000×1.8-500×0.2-2000×0.7-500×1.4=-4000（1）买进4000份该可交易期权就可得到Gamma中性组合，因为4000份该期权多头的Gamma值为4000×1.5=6000。买进期权后，整个组合的Delta值变为：4000×0.6-450=1950。为了使新组合同时处于Gamma和Delta中性，还得卖出1950英镑。（2）买进5000份该可交易期权就可得到Vega中性组合，因为5000份该期权多头的Vega值为5000×0.8=4000。买进期权后，整个组合的Delta值变为：5000×0.6-450=2550。为了使新组合同时处于Gamma和Delta中性，还得卖出2550英镑。16、在上例中，假设有第二种可交易期权，其Delta值为0.1，Gamma值为0.5，Vega值为0.6，请问应如何使该组合处于Delta、Gamma和Vega中性状态？令w1为第1种可交易期权的头寸，w2为第2种可交易期权的头寸，为了使该组合处于Gamma和Vega中性状态，w1和w2必须同时满足如下条件：6000=1.5w1+0.5w24000=0.8w1+0.6w2解得：w1=3200,w2=2400。此时整个组合的Delta值为：-450+3200×0.6+2400×0.1=1710因此，只要买进3200份第1种期权，2400份第2种期权，同时卖出1710英镑就可以使新组合同时处于Delta、Gamma和Vega中性状态。17、某市场变量的年波动率为20％，计算此变量相应的日变化率。由于该市场变量的年波动率为：，因此其日波动率是：18、某项资产的年波动率为35％，该资产目前的市场价值40万美元，计算该资产99％置信度一星期时间的VaR美元值。根据波动率的关系