群赤潮藻类的非线性动力学行为

群赤潮藻类的非线性动力学行为

赤潮是发生在海洋中的一种现象，具有以浮游生物和陆生生物大量爆发和繁殖后的强烈死亡特征的海滩现象。究其本质,则为生态系统复杂动力学行为的一种表现。因此,对于赤潮藻类生态系统非线性动力学行为的研究成为分析赤潮形成机理以及预测赤潮的基础。高等动物捕食在建立赤潮生态模型时,是一个需要考虑的因素,但其值的选择对整个模型复杂动力学行为的影响并不为人所知,本文就这一问题进行了研究。1浮游动物对pbdf模型的建立本文选取了两种典型赤潮藻类,在海洋富营养化的条件下考虑两种藻类之间的相互作用及浮游动物的捕食,建立模型如下:{dΡ1dt=Ρ1(ε1-a11Ρ1-a12Ρ2-a13Ζ)dΡ2dt=Ρ2(ε2-a21Ρ1-a22Ρ2-a23Ζ)dΖdt=Ζ(-ε3+a31Ρ1+a32Ρ2)(1)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪dP1dt=P1(ε1−a11P1−a12P2−a13Z)dP2dt=P2(ε2−a21P1−a22P2−a23Z)dZdt=Z(−ε3+a31P1+a32P2)(1)其中:P1,P2,Z分别代表硅藻、甲藻及浮游动物的密度;εi(i=1,2)代表两种藻类的内禀增长率;ε3代表浮游动物的死亡率;aii(i=1,2)表示藻类密度制约系数;a12及a21分别表示两种藻类之间的相互作用系数,二者之和(a12+a21)表示藻类间的作用率;a13、a23、a31、a32则表示浮游动物与藻类之间的捕食关系。本文所采用的参数如下:εi=aii=1,a23=μ,a32=d·μ,a13=γ,a31=d·γ。令a12=1,a21=1.5。其中:γ为浮游动物对P1的最大捕食率;d为浮游动物的捕食转化率且0<d<1。此时,模型方程化简为:{dΡ1dt=Ρ1(1-Ρ1-Ρ2-rΖ)dΡ2dt=Ρ2(1-1.5Ρ1-Ρ2-μΖ)dΖdt=Ζ(-1+drΡ1+dμΡ2)(2)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪dP1dt=P1(1−P1−P2−rZ)dP2dt=P2(1−1.5P1−P2−μZ)dZdt=Z(−1+drP1+dμP2)(2)为方便起见,做坐标平移,令:x1=P1-P*1,x2=P2-P*2,x3=Z-Z*。此时,整个方程可写为:⋅X=AX+B(3)⋅X=AX+B(3)其中:X={x1x2x3}‚A={-Ρ*1-αΡ*1-γΡ*1-βΡ*2-Ρ*2-μΡ*2dγΖ*dμΖ*0}‚B={-x1(x1+αx2+γx3)-x2(βx1+x2+μx3)x3(dγx1+dμx2)}。矩阵A的特征值决定了整个系统的稳定性。其特征方程为:λ3+a1λ2+a2λ+a3=0‚(4)其中:a1=P*1+P*2,a2=d(γ2P*1+μ2P*2)Z*+(1-αβ)P*1P*2,a3=(dγ2+dμ2-dγαμ-dγβμ)P*1P*2Z*。由霍尔维茨判据,特征方程的根具有负实部的充要条件为:ai>0(i=1,2,3)且a1a2-a3>0,此时S3是稳定的。当参数取值满足a1a2-a3=0,(5)此时,特征方程(4)的两个共轭复数根的实部为零,即有一对纯虚根,特征方程的根为:λ1,2=±iω0,λ3=-a1,其中ω20=a2。此时,系统发生Hopf分岔。2比较分析2.1分岔控制参数各参数取值如下。d=0.5,α=1,β=1.5,μ=1,εi=aii=1。初始值为:P1=0.2/L,P2=0.6/L,Z=0.03/L。将γ作为分岔控制参数。此时,将各参数值代入(5)计算得到分岔参数γ≈5.5。经过仿真计算发现:当分岔参数变化时,系统经过不动点的0环面T0和极限环的1环面T1,接着产生了2环面T2。由理论和实验证实:T2→混沌道路是通有的。由此我们可以看出,方程(1)所描述的生态系统,会产生稳定的极限环,并通过准周期分岔导致混沌。采用四阶Runge-Kutta方法,分别计算当γ=5.3,6.0,7.8,10.0时,其仿真结果如图1。2.2固定=5.3，d用作分散参数，其他参数的值以固定系统仍然会出现经过不动点的0环面T0和极限环的1环面T1,接着产生了2环面T2,然后产生混沌,如图2所示:3初始值的计算从以上的计算以及数值仿真可以看出,当某些影响因子变化时,藻类的生态动力学模型会产生非常复杂的动力学行为。浮游动物对P1的最大捕食率γ增大时,系统状态会发生质的变化,从稳定态到极限环最后发生混沌。取不同的初始值,做数值计算,结果参考图1。可以看出,在适当的参数范围内,系统只存在一个稳定的1环面极限环。当γ继续增大时,系统会产生2环面T2,继续增大γ系统出现了Vance’s螺旋混沌。由T2→混沌道路是通有的,判定该模型所描述的生态系统通过准周期分岔产生混沌。在此基础上,本文探讨了另外一个重要的因子捕食转化率d。发现即使γ值不发生变化(系统此时处于0环面),当d变化时,系统依然出现了复杂