大学一些计算概率的题目

习题1-21.设P(A)=0.1,P(A+B)=0.3,且A,B互不相容,求P(B).解:由于A,B互不相容,则P(AB)=0,

再由

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

可得

P(B)=P(A+B)-P(A)=0.2.2.设事件A,B,C互不相容,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4,求P[(A+B)-C].解:由于A,B,C互不相容,则

AB=AC=BC=

,

又由于

(A+B)C=(AC)+(BC)=

因此

P[(A+B)-C]=P(A+B)-P[(A+B)C]=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3+0=0.5.3.设P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(A+B)=1/2,求解:由于因此又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),即P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=1/12,因此4.设P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/16,P(AB)=0,

求事件A,B,C全不发生的概率。解:由P(AB)=0有P(ABC)=0,因此因此又P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=5/8,5.设A,B是任意两个事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB).证明:由于A=(A-B)+AB,且(A-B)(AB)=,由有限可加性可知

P(A)=P(A-B)+P(AB)从而

P(A-B=P(A)-P(AB)。习题1-31.10把钥匙中有3把能把门打开,今任取两把,求能打开门的概率.解:设A={能打开门},则因此2.两封信随机投入四个邮筒中,求前两个邮筒中没有信的概率及第一邮筒中只有一封信的概率.解:设A={前两个邮筒中没有信},则因此设B={第一个邮筒中只有一封信},则因此3.从0~9中任取3个不同的数字,试求下列事件的概率:A1={三个数字中不含0与5},A2={三个数字中不含0或5}.解:设B1={三个数字中不含0},B2={三个数字中不含5},

则A1=B1B2,A2=B1+B2.由已知有,4.从一副扑克(52张)中不重复任取3张,计算取出的3张中至少有两张花色相同的概率。解:设A={取出的3张中至少有两张的花色相同},则由已知有,或5.10个人中有一对夫妇,他们随意坐在一张圆桌周围,求该对夫妇正好坐在一起的概率。解:设A={该对夫妇正好坐在一起},则因此6.1500个产品中有400个次品,1100个正品,任取200个,求(1)恰有90个次品的概率;(2)至少有2个次品的概率。解:(1)A={恰有90个次品},则因此(2)B={至少有2个次品},则7.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解:A={4只鞋子中至少有两只配成一双},则或8.某专业研究生复习时有3张考签,3个考生应试，一个人抽一张后立即放回,再由中一人抽取,如此3人各抽一次。求抽签结束后至少有一张考签没有被抽到的概率。解:A={至少有一张考签没有被抽到},则或9.从1~9中有放回地随机取3次,每一次取一个整数,求取出的3个数之积能被10整除的概率。解:A={3个数中含有5},B={3个数中含有偶数},则习题1-41.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%。从任取一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率.解:设Ai={取到第i等品},i=1,2,3,因此2.设10件产品中有4件不合格,从中任取两件,已知所取两件中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解:设A={至少有一件不合格品},B={两件均是不合格品},且因此3.已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求P(A+B).解:由P(AB)=P(A)P(B|A)可得P(AB)=1/12,由P(AB)=P(B)P(A|B)可得P(B)=1/6,因此P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3.4.事件A与B互斥,且0<P(A)<1,试证明:证明:由于AB=

,则因此5.甲乙两人进行乒乓球单打比赛。甲先发球,发球成功后乙回球失误的概率为0.3;若乙回球成功,田回球失误的概率为0.4;若甲回球成功,乙再次回球失误的概率为0.5.试计算这几个回合中乙输掉1分的概率。解:Ai={第i个回合中回球失误},i=1,2,3,B={乙输掉1分},则P(A1)=0.3,6.

用3个机床加工一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工零件的合格品率分别为0.94,0.9,0.95。

求全部产品中的合格率。解:设A1,A2,A3分别表示3个机床加工的零件,

B={零件为合格品},

P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.95,则B=A1B+A2B+A3B.7.12个行乒乓球中有9个新的,3个旧的。第一次比赛取出3个,用完后放回去,第二次比赛又取出3个。求第二取到的3个球中有两个新球的概率。解:Ai={第1次取出

i个新球},i=0,1,2,3,B={第2次取到两个新球},则因此，习题1-51.甲、乙两人射击,甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,两人同时射击,并假定中靶与否是独立的。求(1)两人都中靶的概率;(2)甲中乙不中的概率;(3)甲不中乙中的概率.解:A={甲击中靶},B={乙击中靶},因此(1)P(AB)=P(A)

P(B)=0.80.7=0.56;2.一个自动报警系统由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵时报警器就失灵。若使用100小时后雷达失灵的概率是0.1,计算机失灵的概率是0.3，若两人部分失灵与否是相互独立的，求这个报警器使用100小时后不失灵的概率.解:设A={雷达失灵},B={计算机失灵},且P(A)=0.1,P(B)=0.3,3.制造一种零件可采用两种工艺,第一种工艺有三道工序,每道工序的废品率分别为0.1,0.2,0.3;第二种工艺有两道工序,两道工序的废品率都为0.3。如果用第一种工艺,合格品中一级品率为0.9;用第二种工艺,合格品中一级品率为0.8。试问哪一种工艺难保证得到一级品的概率更大?解:Ai={第一种工艺的第i道工序的合格品},i=1,2,3,Bi={第二种工艺的第i道工序的合格品},i=1,2,Ci={第i种工艺生产的一级品},i=1,2,因此P(A1)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.7,P(B1)=P(B2)=0.7,P(C1)=P(A1A2A3C1)=P(A1)P(A2)P(A3)P(C1)=0.4516;P(C2)=P(B1B2C2)=P(B1)P(B2)P(C2)=0.392.4.甲,乙,丙三部机床独立地工作,由1人照管。某段时间内它们不需要电子管的概率分别是0.9,0.8,0.85。求这段时间内机床因无人照管而停工的概率。解:Ai={第i部机床需要照管},i=1,2,3,因此P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.15,P(A1A2+A2A3+A1A3)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)–P[(A1A2)(A2A3)]-P[(A2A3)(A1A3)]-P[(A1A2)(A1A3)]+P[(A1A2)(A2A3)(A1A3)]=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)-2P[(A1A2)(A2A3)]=P(A1)P(A2)+P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)-2P(A1)P(A2)P(A3)=0.02+0.03+0.015-0.006=0.0595.排球竞赛规则规定:发球方赢球时得分,输球时则被对方得到发球权。甲乙两个排球队进行比赛,已知甲队发球时,甲队赢球和输球的概率分别为0.4和0.6;当乙队发球时,甲队赢球和输球的概率均为0.5。无论哪个球队发球，比赛进行到任何一队得分时为止。求当甲队发球时各队得分的概率。解:A={甲队发球,甲队得分},B={乙队发球,乙队得分},Ai={甲队第i次发球,甲队得分},Bi={乙队第i次发球,乙队得分},则P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5。6.

事件A在每次试验中发生的概率为0.3。当A发生次数不少于3时指示灯发出信号。进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X={5次重复试验中事件A发生次数},

Y={7次重复试验中事件A发生次数},

则p=P(A)=0.3。7.有一大批产品,其验收方法如下:先做第一次检验：从中任取10件,经检验无次品,则接收这批产品,次品数量大于2则拒绝这批产品;否则做第二次检验:从中再任取5件,当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10％,求(1)这批产品经第一次检验就能被接受的概率;(2)需要做第二次检验的概率;(3)这批产品按第二次检验标准能被接受的概率;(4)这批产品在第一次检验未能做决定且第二次检验时被接受的概率;(5)这批产品被接受的概率。解:设X={第1次检验中次品数量},Y={第2次检验中次品数量},

则p=P(A)=0.1。总习题一4.若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和解:由P(A-B)=P(A)-P(AB)可得

P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2,

因此

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7;5.设P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,

求事件A,B,C至少有一个发生的概率。解:由P(AB)=0有P(ABC)=0,因此P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.875.6.设三个事件A1,A2,A3满足Ai

A,(i=1,2,3),证明:P(A)

P(A1)+P(A2)+P(A3)-2.证明:由于A1,A2,A3满足Ai

A,则A1A2A3

A,因此

P(A)

P(A1A2A3)=P(A1A2)+P(A3)-P(A1A2+A3)

P(A1A2A3)=P(A1A2)+P(A3)-1又

P(A1A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1+A2)

P(A1)+P(A2)-1,因此

P(A)

P(A1)+P(A2)+P(A3)-2.6.设三个事件A1,A2,A3满足Ai

A,(i=1,2,3),证明:P(A)

P(A1)+P(A2)+P(A3)-2.另证:由于A1,A2,A3满足Ai

A,则

P(A)

P(A1),0

P(A2)-1,0P(A3)-1,因此

P(A)

P(A1)+P(A2)+P(A3)-2.7.某教育书店一天中售出数学类、外语类和理化类书籍各50本,设每位顾客每类书至多购买一本,其中只购买数学书的占20%,只购买外语书的占25%,只购买理化书的占15%,三类书全部购买的占10%,问:(1)总共有多少顾客购书?(2)只购买数学书和外语书的人数占总顾客人数的比例?解:设A,B,C分别表示购买数学,外语和理化书的人数,则0.1A0.2B0.25C0.15xzy设总人数为N,则0.1A0.2B0.25C0.15xzy总共有100人购书，其中只购买数学书和外语书的人数占总顾客人数的比例为5%。8.一批产品共100件,其中98件正品2件次品,从中采用三种方式任意抽取3件:(I)一次取3件;(II)每次取1件,取后放回,取3次;(II)每次取1件,取后放回,取3次;(III)每次取1件,取后不放回,取3次。试求:(1)取出3件中恰好有1件次品的概率;(2)取出3件中至少有1件次品的概率。解:A={恰好有1件次品},B={至少有1件次品},(I)一次取3件:解:A={恰好有1件次品},B={至少有1件次品},(II)每次取1件,取后放回,取3次:(III)每次取1件,取后不放回,取3次:9.宾馆一楼有3部电梯,有5人要乘坐电梯。假定各人选择电梯是随机的,求每部电梯中至少有一人的概率。解:设Ai={第i部电梯内无人},i=1,2,3,B={每部电梯内至少有1人},因此10.某教研室7名男教师4名女教师,从中选出3名优秀教师,问3名优秀教师中至少有一名女教师的概率.解:设A={至少有1名女教师},则11.某地区电话号码由8字打头的八个数字组成,求(1)一个电话号码的八个数字全不相同的概率p;(2)一个电话号码的八个数字不全相同的概率q.解:甲乙两人先后从52张牌中各抽取13张，问甲或乙拿到四张A的概率.(1)甲抽后不放回,乙再抽;(2)甲抽后放回,乙再抽.解:设A={甲抽到4张A},B={乙抽到4张A},(1)AB=,因此(2)AB,因此13.包括a,b在内共n人排队,问a,b中间恰好有r人的概率.解:设A={a,b之间恰好有r个人},则a有n-(r

+1)个位置可选择b的位置相对固定14.

10个考签中有4个难签,3人参加抽取(不放回),甲先乙次丙最后。证明每个人抽到难签的概率相同。解:

设A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则15.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取后不放回。如果取到合格品就不再取取下去,求在3次内取到合格品的概率。解:Ai={第i次取到合格品},i=1,2,3,A={3次内取到合格品},则由于因此或16.有两箱同类的零件,第1箱装了50只,其中10只一等品;第2箱装了30只,其中18只一等品。今从中任选一箱,再从该箱中取零件两次,每次取1只,做不放回抽样。求(1)第1次取到的是一等品的概率;(2)在第1次取到的是一等品的条件下第二次也取到一等品的概率。解:(1)Ai={第i次取的是一等品},i=1,2,B={零件取自第1箱},i=1,2,则P(B)=0.5,因此(2)在第1次取到的是一等品的条件下第二次也取到一等品的概率。解:(1)Ai={第i次取的是一等品},i=1,2,B={零件取自第1箱},i=1,2,则P(B)=0.5,因此其中17.发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“-”。由于通信系统受到干扰,当发出信号“·”时收报台分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“-”;当发出信号“-”时收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“·”。求当收报台收到信号“·”时,发报台确系发信号“·”的概率;当收报台收到信号“-”时,发报台确系发信号“-”的概率解:A={发报台发出信号“·”},B={收报台收到信号“·”},则因此同理,18.设袋中有a只红球b只白球,每次从袋中任取一球,观察后放回,并同时再放入m只与所取出的那只同色的球.连续在袋中取球4次,试求第一、二次取到红球且第三次取到白球,第4次取到红球的概率。解:Ai={第i次取到红球},i=1,2,3,4,则19.设袋中有2n-1只白球,2n只黑球,一次取出n只,如果已知取出的球都是一种颜色,试计算该颜色是黑色的概率.解:设A={取到白球},B={取到黑球},C={取到同一种颜色的球},且AB=,BC,AC,某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形,其概率分别为0.6,0.3,0.1。有关部门每月抽查商场的两个柜台,规定:如果两个柜台受到投诉的事件数之和超过1则给商场通报批评;若一年中有三个月受到通报批评则该商场受挂牌处分一年。求该商场受处分的概率.解:设A

={某月商场受到通报批评},Bi={第一个柜台受到i次投诉},i=0,1,2,Ci={第一个柜台受到i次投诉},i=0,1,2,则设X表示一年中受到处分的次数,则P(X3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.696.因此21.甲乙丙三人同向一飞机射击,设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7。如果只有1人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有2人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若3人都击中,则飞机一定被击落。试求飞机被击落的概率。解:A1,A2,A3分别表示甲丙击中飞机,Bi={有i人击中飞机},i=1,2,3,则P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7,A1,A2,A3分别表示甲丙击中飞机,Bi={有i人击中飞机},P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7,令B={击落飞机},则B=BB1+BB2+BB3,P(B)=P(B1)P(B|B1)+P(B2)P(B|B2)+P(B3)P(B|B3)=0.36

0.2+0.410.6+0.141=0.072+0.246+0.14=0.458.22.

甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7。令各投3次,求(1)两人投中次数相同的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率。解:设X,Y分别表示甲乙投中的次数,

A={甲投中},B={乙投中},则P(A)=0.6,P(B)=0.7,解:设