简谐地震动作用下单自由度体系反应谱特性研究

简谐地震动作用下单自由度体系反应谱特性研究

1976年唐山地震、1989年潘基蒂拉地震、1994年北科周期地震、1995年kober地震和1999年联合地震发生在人口相对集中的城市和附近城市。然而，在地震振动模式中，关于近地地震的规定很少。对近场地震动的研究表明,地震应力波沿断层运动方向传播时产生的速度和位移脉冲,将导致断层沿滑移方向产生不可恢复的位移变形。图1为美国1992年Landers地震中LucerneValley台站记录到的水平分量地震记录。从图中可以看出,加速度时程中所包含的长周期分量在速度时程中明显地表现了出来。通常认为,断层滑移时产生的地震动长周期分量会对长周期结构造成严重的破坏。而地震波是一种十分复杂的波,实际地震波可以看成是由许多频率不同的简谐波分量组成的,因此,对最简单的地震波——简谐地震波反应谱的研究不仅有助于认识一般地震动反应谱的特性,而且对认识近场地震动及其反应谱的特性有着重要意义。近场地震动长周期分量使长周期结构产生类共振现象,从而引起这类结构的破坏。而有关近场地震动高频分量对长周期结构作用的研究尚不可见。事实上,高频简谐加速度产生的速度脉冲也会引起长周期结构产生很大的位移,而在对单自由度体系的简谐作用动力分析中,往往只考虑体系的稳态响应,忽略其瞬态反应,这也就忽略了高频简谐加速度分量作用下长周期结构产生的位移反应。本文基于结构动力学的基本理论,详细分析了简谐地震动作用下单自由度体系的动力反应,讨论了简谐地震动反应谱的特性以及影响谐波地震动反应谱的因素。研究结果表明:输入的高频简谐加速度会引起长周期结构产生很大的位移,这种位移可能超过高频激励引起的结构共振产生的位移,而高频波引起长周期结构产生的最大位移反应发生在结构体系的瞬态响应阶段。因此,近场地震动情况下,结构的抗震设计不仅要考虑共振,还应充分考虑到结构的瞬态位移反应。1振动方程的理论解图2所示为一在地面加速度üg0sinθt作用下的单自由度振动体系。üg0、θ和t分别为简谐地面加速度的幅值、频率和作用时间;m、k和h分别为体系的质量、弹簧刚度和阻尼系数。根据牛顿第二定律,单自由度体系的运动方程为:式中:ü、、u分别为体系随时间t变化的相对加速度、相对速度和相对位移;ω为不考虑阻尼时体系的自振频率。方程(1)的理论解为:其中为考虑阻尼时体系的自振频率。在零初始条件u=u()0=0,情况下,系数A、B、C和D分别为:可见方程(1)的理论解由瞬态自由振动解与稳态受迫振动解组成。研究表明[3～5],地震动持时是影响反应谱形状的因素之一。本文对简谐地震动反应谱的讨论中,在考虑地震动持时这一影响因素时,为了反映更一般的情况,对简谐地震动的加速度、速度与位移反应谱进行了双标准化(或双规准化)处理,即:用它们的纵坐标值分别除以üg0,üg0/θ与üg0/θ2得到相应反应谱的标准化幅值;用它们的横坐标值除以简谐波的振动周期Tg,从而用作用循环周期数i=t/Tg来反映简谐地震动的作用持时。本文采用的地震波是理想情况下的简谐波,因此其速度、位移时程可以通过分别对加速度时程的一次、二次积分并考虑零初始条件得到。以下的讨论中体系的阻尼比都按ξ=0.05考虑。2简单地震法震源的反应谱2.1加速度谱的分析在给定简谐地面运动加速度时程的情况下,根据式(2)、(3),可求得自振频率为ω,阻尼比为ξ的单自由度体系的最大位移反应为:相应地,体系的伪速度PSV与伪加速度PSA可以根据关系式:求出。图3给出了不同简谐波作用循环周期数(i=t/Tg=10,4,2和1)情况下的双标准化反应谱。从图3中可以看出:(1)受阻尼和持时的影响,加速度谱的峰值发生在T/Tg<1的位置,而速度谱与位移谱的峰值出现在T/Tg>1的位置,随阻尼比系数的减小和作用循环周期数的增大,反应谱的峰值位置T/Tg→1。(2)相同作用循环周期数的加速度谱值的大小只与地面简谐波的加速度幅值有关,速度和位移谱的谱值不仅与地面加速度幅值有关,还与波的振动频率有关。(3)简谐地震波的速度谱值在峰值与峰值以前的部分略小于伪速度谱值,在峰值以后的部分明显大于伪速度谱值,速度谱值在长周期段(θ>>ω)趋于地面运动速度的幅值。(4)简谐地震波的反应谱在共振区出现峰值,峰值随作用循环周期数的增加明显增大。在位移谱中,长周期段(θ>>ω)的谱值随作用循环周期数的增加呈阶梯状上升的趋势,当作用循环周期数一定时,位移谱值逐渐趋于地面位移的幅值。作用循环周期数越多,长周期体系的位移反应也越大,其谱值可能远远超过引起共振体系的最大位移反应。2.2加速度、速度和绝对加速度实际工程中通常认为瞬态自由振动很快衰减掉从而可以忽略不计。若仅考虑方程(1)的稳态解则有:系数C、D见式(3)。式(6)也可写做:令频比β=θ/ω,系数Ast和ε分别为:则任意时刻体系的稳态位移、速度、加速度和绝对加速度反应分别为:其中:RD、RV和RA分别为位移、速度和加速度动力放大系数,且它们存在以下关系:系数C1和D1分别为:体系的绝对加速度幅值为:其中TR为加速度传递系数,且:于是可求得体系的最大稳态位移、速度和绝对加速度反应分别为:则简谐地震波的稳态加速度、速度和位移谱(见图4)之间存在以下关系:从图4中可以看出:(1)仅考虑稳态解时,忽略阻尼的影响,加速度谱与速度谱之间近似存在关系SAst≈ωSVst,这与全解反应谱中伪加速度谱与伪速度谱之间的关系相同。而速度谱与位移谱之间在谱值上仅一常数θ之差,形状完全相同。(2)简谐波的稳态速度谱与位移谱在过峰值以后的长周期段(θ>>ω)都趋于常数。2.3最大瞬态位移约发生时间由式(2)、(3)知,单自由度体系在任意时刻的瞬态位移解为:式(18)也可写做:其中:由于瞬态解中包含随时间t变化的衰减项,所以其最大反应与式(19)中的相位角φ有关。但不难看出,当ω<<θ时,相位角φ→0,最大瞬态位移约发生在t=T/4(T为体系的自振周期)时刻。当地面简谐地震动加速度时程给定后,单自由度体系的最大瞬态位移反应为:对式(19)分别求一次、二次导数,忽略阻尼的影响,可得到瞬态解加速度、速度与位移反应谱之间近似存在以下关系:图5给出了不同作用循环周期数情况下的简谐波瞬态解的双标准化反应谱。从图5中可以看出:(1)简谐地震波的瞬态解加速度、速度和位移谱之间与全解伪加速度谱、伪速度谱和位移谱之间有大致相同的关系。(2)简谐地震波的瞬态解谱与全解谱的其它特征基本相同。2.4全解和瞬态解的比较由本文对单自由度体系的动力反应分析可知,简谐地震波全解反应谱、稳态解反应谱和瞬态解反应谱之间存在一定的差别。图6是简谐地震波三种双标准化反应谱之间的比较。这里全解谱和瞬态解谱采用的简谐地震波的作用循环周期数都为i=10。由图6可以看出:(1)简谐地震波的全解反应谱、稳态解反应谱和瞬态解反应谱都在共振区出现峰值,且峰值大小都比较接近。(2)在简谐地震波反应谱峰值以前的高频段(θ<ω),无论是加速度谱、速度谱还是位移谱,都以全解谱的谱值为最大,瞬态解谱的谱值最小。而在过峰值以后的长周期段(θ>>ω),全解谱谱值近似等于稳态解谱值与瞬态解谱值之和。3列简谐波的加速度特征工程地震中常用的傅里叶谱是把复杂的地震动时程a(t)展开为N个不同频率三角级数的组合:式中A(ωj)与ϕ(ωj)分别为频率分量ωj的幅值和相位,称为傅里叶幅值谱和傅里叶相位谱,两者合称为傅里叶谱,频域中的傅里叶谱和时域中的时程是完全等价的。为了说明简谐波与其叠加波之间的关系以及它们反应谱的特性,本文在不考虑频率分量相位的情况下,以三列振动幅值相同,振动周期分别为0.2s、0.4s和1s,且作用时间都为4s的简谐波为例,三列简谐波及其叠加波的加速度时程如图7所示。图8(a)、(b)和(c)分别为三列简谐波及其叠加波的加速度标准化反应谱、速度标准化反应谱和位移标准化反应谱(将它们的加速度、速度和位移反应谱的纵坐标值分别除以叠加波的最大加速度、速度和位移得到标准化幅值)。由图8可以看出:叠加波的反应谱明显地表现出其所包含的各简谐波分量;各简谐波的反应谱峰值与叠加波反应谱中各对应分量的峰值大小基本接近;叠加波的谱值不小于各组成谐波分量的谱值,在长周期段,叠加波的反应谱值可近似表示为其各组成谐波分量反应谱谱值之和,而在位移反应谱中这一特点表现的更为明显。众所周知,在近断层场地,地面结构主要受来自地震动中产生的体波的影响,而体波中含有丰富的纵波和横波分量,其中纵波的周期短,振幅小,而横波的周期较长,振幅较大。尽管振幅较小的纵波本身不会使结构产生较大的位移反应,但如果再与横波造成的结构位移反应进行叠加,那么高频分量丰富的体波对地面结构的位移反应影响将是十分显著的。4反应谱和解析法(1)在简谐地震波引起的结构体系的自由瞬态振动阶段,其最大位移反应与结构的固有振动周期成正比。在高频简谐加速度波的作用下,长周期结构的最大位移反应会远远超过高频波引起的共振结构的最大位移反应。因此,近场地震动情况下,自由瞬态振动可以引起结构产生很大的位移反应。(2)抗震设计所关注的主要是结构在地震作用下的最大反应,反应谱恰好表现出了这一要求,而至于最大反应究竟发生在结构的稳态振动阶段还是瞬态振动阶段却并不明确。从简谐波的反应谱来看,结构的最大位移反应不仅可能发生在共振情况下,还可能发生在自由瞬态振动阶段,因此,结构抗震不仅要避免共振发生,还须充分考虑到结构瞬态自由振动阶段的位移破坏