高等数学总复习

复合函数设函数的定义域与的值域的交集非空，则函数称为由函数复合而成的复合函数.变量u称为中间变量.和函数例如，解：一、函数第一章函数与极限初等函数(1)基本初等函数⑤反三角函数②指数函数④三角函数①幂函数③对数函数（以下五种函数统称为基本初等函数）(2)初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成，且用一个式子表示的函数，叫做初等函数.

如果当x无限地接近于x0时

函数f(x)的值无限地接近于常数A

则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的极限

记作

时函数f(x)

A的极限二、极限单侧极限左极限=A右极限=A记作记作注：单侧极限与双侧极限的关系无穷小的定义

1.无穷小是极限为零的函数而不是很小很小的数.2.无穷小这个概念和极限过程有关--是一种变化趋势.三、无穷小与无穷大判断正误是无穷小；是时的无穷小.是时的无穷小；×√×推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小

性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小

性质1有限个无穷小的和也是无穷小

无穷小的性质推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小

(2)limf(x)

g(x)=limf(x)

limg(x)=A

B

如果limf(x)=A

limg(x)=B

那么四则运算法则(1)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)

limg(x)=A

B

如果limf(x)存在

而c为常数

则lim[c

f(x)]=c

limf(x)

如果limf(x)存在

nZ+

则lim[f(x)]n=[limf(x)]n

四、

求函数极限极限存在准则两个重要极限外大内小内外互倒练一练：练一练：常用的等价无穷小量函数的连续性定义

设函数y=f(x)在点x0及其邻域内有定义

如果那么就称函数y=f(x)在点x0处连续

五、函数的连续性

例

解利用连续性求极限举例1.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

2.一切初等函数在其定义区间内都是连续的

注:

所谓定义区间

就是包含在定义域内的区间

（如果f(x)是初等函数

且x0是f(x)的定义区间内的点则）初等函数的连续性导数的定义设函数f(x)在x0及其某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx

时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)如果存在,在x0

处可导,或称y=f(x)在x0

处有导数。该极限值就是f(x)在点x0

处的导数，记为则称函数

y=f(x)一、导数的概念第二章导数与微分切线方程为法线方程为导数的几何意义结论：可导的函数一定是连续的。注意:反之不成立.即连续不一定可导。可导连续可导与连续的关系二、函数的求导法则和差积商的求导法则（四则运算法则）特别地，注意:

如果u

g(x)在点x可导

函数y

f(u)在点u

g(x)可导

则复合函数y

f[g(x)]在点x可导

且其导数为

注：复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的求导法则小结：导数公式和运算法则四、隐函数的导数隐函数的求导法

把方程两边分别对x求导数

然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.例解解得

设函数y

f(x)在某区间内有定义

x0及x0

Dx在这区间内

如果函数的增量Dy

f(x0

Dx)

f(x0)可表示为Dy

ADx

o(Dx)

其中A是不依赖于Dx的常数

o(Dx)是比Dx高阶的无穷小

那么称函数y

f(x)在点x0是可微的

而ADx叫做函数y

f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分

记作dy

即dy

ADx

微分的定义五、微分

函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导，并且函数在点x0的微分一定是dy

f

(x0)Dx

可微与可导的关系函数y

f(x)在任意点x的微分

称为函数的微分

记作dy

或df(x)

即

dy

f

(x)Dx

函数的微分一、洛必达法则

还有其它类型的未定式

0

、

、00、1

、

0

在函数商的极限中

如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大

那么极限可能存在

也可能不存在

这种极00－或

－

限称为未定式

记为未定式第三章微分中值定理与导数的应用

如果函数f(x)和F(x)满足如下条件

(1)f(x)和F(x)都是当x

a时的无穷小

(2)f(x)和F(x)在点a的某去心邻域内都可导且F

(x)

0

定理(洛必达法则)(3)存在或为无穷大.那么例解例

求解原式定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

三、函数单调性的判定法(1)确定函数的定义域

(2)求出导数f

(x)

(3)求出f

(x)全部零点和不可导点

(4)判断或列表判断

(5)综合结论

确定函数单调区间的步骤:

设函数f(x)在x0处连续

且在(a

x0)

(x0

b)内可导

(1)如果在(a

x0)内f

(x)

0

在(x0

b)内f

(x)

0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(a

x0)内f

(x)<0

在(x0

b)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)内

f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

定理2(第一充分条件)确定极值点和极值的步骤:(1)求出导数f

(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f

(x)的符号;

(4)确定出函数的所有极值点和极值.四、函数的极值及其求法例解列表讨论极大值极小值一、不定积分的概念第四章不定积分不定积分的概念

在区间I上,

函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,

记作注意：求得的不定积分最后一定要加上常数C.微分与积分的关系

由此可见,

如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

因此，检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数.二、基本积分表二、基本积分表凑微分换元计算积分变量还原三、第一类换元积分法

例

例

分部积分过程分部积分公式四、分部积分法可用分部积分法的积分小结

(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:

(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:

(3)被积函数为指数函数与三角函数的积:（先积三角函数或指数函数）（先积幂函数）（此时，一般要用到循环积分法）一、定积分的定义在小区间[xi

1,

xi]上任取一点xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

记Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在区间[a,

b]内插入分点:

设函数f(x)在区间[a,

b]上有界.

如果当

0时,

和式的极限存在,

且极限值与区间[a,

b]的分法和xi的取法无关,称此极限为函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分,

记为

即第五章定积分

一般地,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示介于x轴、曲线y

f(x)及直线x

a、x

b之间的各部分面积的代数和.

二、定积分的几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上的定积分表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成的曲边梯形的面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.

三、积分上限的函数及其导数积分上限的函数定理1(积分上限函数的导数)在[a

b]上可导

并且

设函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

x

[a,

b],

我们称为积分上限函数.

或相关公式

牛顿

莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.

定理(牛顿

莱布尼茨公式)

若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,

b]上的一个原函数,

则五、牛顿

莱布尼茨公式六、定积分的换元法假设函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

函数x

(t)满足条件:

(1)

(a)

a,

(

)

b;

(2)

(t)在[

,

](或[

,

])上具有连续导数,

且其值域不越出[a,

b],

则有定理——换元公式.注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限；2.不必变量还原.七、定积分的分部积分法定积分的分部积分法通过微元把定积分的定义的作法简化为两步：①在中的任一小区间上以均匀变化近似代替非均匀变化，列出所求量的微元：②对上式积分，即得所求量的定积分表达式：abxyo第六章定积分的应用[f上(x)

f下(x)]dx,一、平面图形的面积

设平面图形由上下两条曲线y

f上(x)与y

f下(x)及左右两条直线x

a与x

b所围成.

因此平面图形的面积为

在点x处面积元素为

5设平面图形由左右两条曲线x

j左(y)与x

j右(y)及上下两条直线y

d与y

c所围成.

面积为

面积元素为[j右(y)

j左(y)]dy,6求平面图形面积的步骤：(1)画图；确定在x轴上或y轴上的投影区间；(3)确定上下曲线或左右曲线；(4)计算积分.

例3

求曲线解取为积分变量,于是与半圆

图形的面积A.

所围

如图，求出两曲线交点

的坐标A(1,1),B(1,－1),旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,

用圆柱体的体积

[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积

于是体积元素为

dV

[f(x)]2dx.

二、体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.

这直线叫做旋转轴.

旋转体的体积二、体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面